DES INTERSECTIONS DES SURFACES COURBES

48. Lorsque les générations de deux surfaces courbes sont entièrement déterminées et connues; lorsque, pour chacune d'elles, la suite de tous les points de

l'espace par lesquels elle passe n'a plus rien d'arbitraire; lorsque pour chacun de ces points, une des deux projections étant prise à volonté, ]'autre projection peut toujours être construite; si ers deux surfaces ont quelques points communs dans l'espace, la position de tous ces points communs est absolument déterminée; elle dépend et de la forme des deux surfaces courbes, et de leurs positions respectives; et elle est de nature à pouvoir toujours être déduite de la définition des générations des surfaces, dont elle est une conséquence nécessaire.

La suite de tous les points communs à deux surfaces courbes déterminées forme en général dans l'espace une certaine ligne courbe qui, pour des cas très particuliers, peut se trouver dans un certain plan et n'avoir qu'une seule courbure; qui, pour des cas infiniment plus particuliers, peut devenir une ligne droite et n'avoir aucune courbure; enfin qui, pour des cas infiniment plus particuliers encore, peut se réduire à un point unique; mais qui, dans le cas général, est ce (ju'on nomme courbe à double courbure, parce qu'elle participe ordinairement des courbures des deux surfaces courbes, sur chacune desquelles elle se trouve en même temps, et dont elle est l'intersection commune.

49. Il existe entre les opérations de l'Analyse et les méthodes de la Géométrie descriptive une correspondance dont il est nécessaire de donner ici une idée.

Dans l'Algèbre, lorsqu'un problème est mis en équations, et qu'on a autant d'équations que d'inconnues, on peut toujours obtenir le même nombre d'équations, dans chacune desquelles il n'entre qu'une des in-

connues; ce (jui met à portée de connaître les valeurs de chacune d'elles. L'opération par laquelle on parvient à ce but, et qui s'appelle élimination^ consiste, au moyen d'une des équations, à chasser une des inconnues de toutes les autres équations; et en chassant ninsi successivement les différentes inconnues, on arrive à une équation finale qui n'en contient plus qu'une seule dont elle doit produire la valeur.

L'objet de l'élimination, dans l'Algèbre, a la plus grande analogie avec les opérations par lesquelles, dans la Géométrie descriptive, on détermine les intersections des surfaces courbes.

En effet, supposons que, considérant un point dans l'espace, et représentant par a;, t/, z les distances de ce point à trois plans rectangulaires entre eux, on établisse une relation entre ces trois distances, et que cette relation soit exprimée par une équation, dans laquelle entrent les trois quantités a;, t/, z, et des constantes. En vertu de cette relation, la position du point ne sera pas déterminée : car les quantités x^ î/, z pourront changer de valeur, et par conséquent le point pourra changer de position dans l'espace, sans que la relation exprimée par l'équation cesse d'avoir lieu; et la surface courbe, qui passe par toutes les positions que le point peut occuper ainsi, sans nue la relation entre ces trois coordonnées soit altérée, est celle à laquelle appartient l'équation.

Par exemple, supposons qu'une sphère dont le rayon soit exprimé par A ait son centre au point d'intersection commune des trois plans rectangulaires, et qu'en considérant un certain point sur la surface de la sphère, on imagine des perpendiculaires abaissées de

ce point sur les trois plans et représentées par les lettres x, y^ z; il est évident que le rayon de la sphère, dirigé au point que l'on considère, sera la diagonale d'un parallélépipède rectangle, dont les trois arêtes seront x^ y, z; que son carré sera égal à la somme des carrés des trois arêtes ; et qu'ainsi l'on aura l'équation .7;2 -{-y- -\- z^ = A^. Gela posé, si le point change de position sur la surface de la sphère, ses distances rc, y, z aux trois plans rectangulaires changeront; mais sa distance au centre ne changera pas, et la somme des carrés de ces trois coordonnées, qui est toujours égale au carré du rayon, aura toujours la même valeur : on aura donc encore entre les coordonnées de ce point la relation exprimée par l'équation x~ -\- y- -{- z' = A^. Cette équation, qui a lieu pour tous les points de la surface de la sphère, et qui a lieu pour eux seuls, est celle de cette surface. Toutes les surfaces courbes ont ainsi chacune leur équation; et s'il n'est pas toujours facile d'avoir cette équation exprimée en quantités aussi simples que les distances x, y, z, il est toujours possible de l'obtenir en quantités plus compliquées, telles que les inclinaisons des plans tangents, les rayons des courbures : il suffit à notre objet d'en avoir fait connaître une pour exemple.

Actuellement, si, ayant en x, ?/, z les équations de deux surfaces courbes différentes, et en supposant que pour les points des deux surfaces les distances soient prises par rapport aux mêmes plans rectangulaires, on élimine une des trois quantités rc, î/, z, par exemple z, entre les deux équations; par la simultanéité de ces deux équations, on établit d'abord que ce n'est pas de tous les points de la première surface indistinctement.

ni de tous ceux de la seconde, que Ton s'occupe, mais seulement de ceux de leur intersection, pour chacun desquels les équations doivent avoir lieu, puisqu'ils sont en même temps sur les deux surfaces. Ensuite l'équation en rr, t/, qui résulte de l'élimination de z, exprime la relation qui existe entre ces deux distances pour tous les points de l'intersection, quelle que soit la distance z qui a disparu, et dont il n'est plus question dans l'équation; elle est donc l'équation de la projeclion de l'intersection des deux surfaces sur le plan perpendiculaire aux z.

On voit donc qu'en Algèbre l'objet de l'élimination entre plusieurs équations à trois inconnues est de déterminer, sur les trois plans auxquels tout l'espace est rapporté, les projections des intersections des surfaces auxquelles les équations appartiennent.

50. La correspondance entre les opérations de l'Analyse et les méthodes de la Géométrie descriptive ne se borne pas à ce que nous venons de rapporter; elle existe partout. Si dans l'espace, pour opérer des générations quelconques, on fait mouvoir des points, des lignes courbes, des surfaces, ces mouvements peuvent toujours être dictés par des opérations analytiques; et les objets nouveaux auxquels ils donnent lieu sont exprimés par les résultats mêmes des opérations. Réciproquement, il n'y a aucune opération d'Analyse en trois dimensions, qui ne soit l'écriture d'un mouvement opéré dans l'espace et dicté par elle. Pour apprendre les Mathématiques de la manière la plus avantageuse, il faut donc que l'élève s'accoutume de bonne heure à sentir la correspondance qu'ont entre

elles les opérations de l'Analyse et celles de la Géométrie ; il faut qu'il se mette en état, d'une part, de pouvoir écrire en Analyse tous les mouvements qu'il peut concevoir dans l'espace, et, de l'autre, de se représenter perpétuellement dans l'espace le spectacle mouvant dont chacune des opérations analytiques est l'écriture.

51. Revenons actuellement à notre objet, qui est la méthode de déterminer les projections des intersections des surfaces courbes.

Pour mettre plus de clarté dans l'exposition de cette méthode, nous ne la présenterons pas d'abord avec toute l'élégance dont elle est susceptible ; nous y arriverons par degrés. De plus, l'énoncé sera général et applicable à deux surfaces quelconques ; et quoique les lettres que nous emploierons se rapportent à la figure 26, qui présente le cas particulier de deux surfaces coniques, à bases circulaires et à axes verticaux, il faut néanmoins toujours concevoir que les surfaces dont il s'agit peuvent être, chacune en particulier, tout autre qu'une surface conique.

52. Premier problème général. — Les générations de deux surfaces courbes étant connues, et toutes les données qui fixent ces générations étant déterminées sur les plans de projection, construire les projections de la courbe à double courbure, suivant laquelle les deux surfaces se coupent ?

Solution. — On concevra une suite de plans indéfinis, placés d'une manière convenue dans l'espace; ces

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plans pourront, par exemple, être tous horizontaux, et c'est eu effet ce que nous supposerons d'abord. Dans ce cas, la projection verticale de chacun d'eux sera une droite horizontale indéfinie; et parce qu'on est maître de les mener à distances arbitraires, nous supposerons que dans la projection verticale on ait mené tant de droites horizontales {fi g, 26) ee', ce', ee', etc., qu'on ait voulu, et que la suite de ces droites soit la projection verticale de la suite des plans qu'on a conçus. Cela posé, on fera successivement, pour chacun de ces plans, et par rapport à la droite ee' qui en est la projection, l'opération que nous allons indiquer pour celui d'entre eux qui est projeté en EE'.

Le plan EE' coupera la première surface en ujie certaine courbe, qu'il sera possible de construire, si l'on connaît la génération de la surface; car cette courbe est la suite des points dans lesquels le plan EE' est coupé par la génératrice dans toutes ses positions. Cette courbe étant plane et horizontale aura sa projection horizontale égale, semblable à elle-même, et placée de la même manière; il sera donc possible de construire cette projection, et nous supposerons que ce soit la courbe FGHIK.

Le même plan El*]' coupera aussi la seconde 'surface dans une autre courbe plane horizontale, dont il sera toujours possible de construire la projection horizontale, et nous supposerons que cette projection soit la courbe FOGPN.

Cela fait, il peut arriver que les deux courbes, dans lesquelles le même plan EE' coupe les deux surfaces, se coupent elles-mêmes, ou qu'elles ne se coupent pas : si elles ne se coupent pas, quelque prolongées quelles

soient, ce sera une preuve qu'à la hauteur du plan EE' les deux surfaces n'ont aucun point commun; mais si ces 4^ux courbejB se coupent, elles le feront en un certain nombre de points qui seront communs aux deux surfaces, et qui seront par conséquent autant de points de l'intersection demandée. En elîet, en tant que les points d'intersection des deux courbes sont sur la première d'entre elles, ils sont siir la première des deux surfaces proposées; en tant qu'ils sont sur la seconde courbe, ils sont aussi sur la seconde surface : donc, en tant qu'ils sont sur les deux courbes à la fois, ils sont aussi sur les deux surfaces.

Or, les projections horizontales des points dans lesquels se coupent les deux courbes doivent se trouver, et sur la projection de la première, et sur la projection de la seconde; donc les points F, G, ... de rencontre des deux courbes FGIIIK et FOGPN seront les projections horizontales d'autant de points de l'intersection demandée des deux surfaces courbes. Pour avoir les projections verticales des mêmes points, il faut observer qu'ils sont tous compris dans le plan horizontal EE', et que leurs projections doivent être sur la droite EE'. Donc, si l'on projette les points F, G, . . . sur EE' en /, g, . . ., on aura les projections verticales des mêmes points.

Actuellement, si pour toutes les autres horizontales ce', ee\ . . ., on fait la même opération que nous venons de faire pour EE', on trouvera pour chacune d'elles, dans la projection horizontale, une suite de nouveaux points F, G, . . ., et dans la projection verticale une suite de nouveaux points /, g, Puis, si

par tous les points F, . . . , on fait passer une branche

de courbe, par tous les points G, . . . , une autre branche, et ainsi de suite, l'assemblage de toutes ces branches, qui pourront quelquefois rentrer l'une dans l'autre, sera la projection horizontale de l'intersection des deux surfaces ; de même, si par tous les points /, . . . , on fait passer une branche de courbe, par tons les points g, . . . , une autre branche, et ainsi de suite, l'assemblage de toutes ces branches, qui pourront aussi quelquefois rentrer les unes dans les autres, sera la projection verticale de l'intersection demandée.

53. La méthode que nous venons d'exposer est générale, même en supposant qu'on ait choisi pour système de plans coupants une suite de plans horizontaux. Nous allons voir que, dans certains cas, le choix du système de plans coupants n'est pas indifférent, qu'on peut quelquefois le faire tel, qu'il en résulte des constructions plus faciles et plus élégantes, et même qu'il peut être avantageux, au lieu d'un système de plans, d'employer une suite de surfaces courbes, qui ne diffèrent entre elles que par une de leurs dimensions.

Pour construire l'intersection de deux surfaces de révolution dont les axes sont verticaux, le s,ystème de plans le plus avantageux est une suite de plans horizontaux; car chacun des plans coupe les deux surfaces en des circonférences de cercles dont les centres sont sur les axes respectifs, dont les rayons sont égaux aux ordonnées des courbes génératrices, prises à la hauteur du plan coupant, et dont les projections horizontales sont des cercles connus de grandeur et de position. Dans ce cas, tous les points de la projection horizontale de l'intexsicetion des deux sijirfaces se trouvent 4onc par des

intersections d'arcs de cercle. Oh sent que si les surfaces de révolution avaient leurs axes parallèles entre eux, mais non vrriicaux, il faudrait changer de ])lans de projection, et les choisir de manière que l'un d'enirc eux fût perpendiculaire aux axes.

54. S'il s'agissait de construire l'ihtérsection de deux sui faces coniques à bases quelconques, Ct dont les traces sur le plan horizontal fussent données ou construites, le système de plans horizontaux entramciait tlans des opérations qui seraient trop longues pour ce cas; car chacun des plans horizontaux couperait les dvux surfaces dans des courbes, qui srraient bien à la \ érité semblables aux traces des surfaces respectives : mais ces courbes ne seraient point égales aux traces; il faudrait les construire par points, chacune en particulier, tandis que si, après avoir mené une droite par les sommets donnés des deux cônes, on emploie le système de plans qui passent par cette droite, chacun de ces plans coupera les deux surfaces coniques en quatre droites; et ces droites, qui seront dans le même plan, se couperont, indépendaninfient des sommets, en quatre points, qui seront sur l'intersection des deux surfaces. Dans ce cas, chacun des points de la projection horizontale de l'intcrseCtion sera donc construit par l'intersection de deux lignes droites.

55. Pour deux surfaces cylindriques à bases quelconques, et dont les génératrices seraient inclinées diversement, le système des plans horizontaux ne serait pas le plus favorable que l'on pourrait choisir. Chacun de ces plans couperait, à la vérité, les deux

lOO LÇS MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

surfaces dans des courbes semblables et égales à leurs traces respectives; mais les courbes qui ne correspondraient pas verticalement aux traces auraient pour projections des courbes qui seraient distantes des traces elles-mêmes, et qu'il faudrait construire par points. Si l'on choisit le système de plans parallèles en même temps aux génératrices des deux surfaces, chacun de ces plans coupera les deux surfaces dans des lignes droites, et ces droites se couperont en des points qui appartiendront à l'intersection des deux surfaces. Par là, les points de la projection horizontale seront construits par des intersections de lignes droites. Au reste, ceci n'est que la conséquence nécessaire de ce que nous avons dit pour le cas de deux surfaces coniques.

56. Enfin, pour deux surfaces de révolution dont les axes seraient dans le même plan, mais non parallèles entre eux, ce ne serait plus un système de plans qu'il serait convenable de choisir, ce serait le système de surfaces sphériques, qui auraient leur centre commun au point de rencontre des deux axes : car chacune des surfaces sphériques couperait les deux surfaces de révolution dans les circonférences de deux cercles qui auraient leurs centres sur les axes respectifs, et dont les plans seraient perpendiculaires au plan mené par les deux axes ; et les points d'intersection de ces deux circonférences, qui seraient en même temps et sur la surface sphérique et sur les deux surfaces de révolution, appartiendraient à l'intersection demandée. Ainsi les points de la projection de l'intersection seraient construits par les rencontres de cercles et de lignes droites. Dans ce cas, la position la plus avanta-

geuse des deux plans de projection est que Tun soit perpendiculaire à un des axes, et que l'autre soit parallèle aux deux axes. Ce petit nombre d'observations, par rapport aux surfaces courbes qui se rencontrent le plus fréquemment, suflit pour faire voir la manière dont la méthode générale doit être employée, et comment, par la connaissance de la génération des surfaces courbes, on peut choisir l'espèce de section qui doit donner des constructions plus faciles.

57. Lorsque deux surfaces courbes sont définies de formes et de positions respectives, non seulement la courbe de leur intersection est déterminée dans l'espacé mais encore toutes les afîeetions de ces courbes s'ensuivent immédiatement. Ainsi, par exemple, dans chacun de leurs points la direction de leur tangente est déterminée : il en est de même de celle de leur plan normal, c'est-à-dire du plan qui coupe la courbe à angle droit, et qui est par conséquent perpendiculaire à la tangente au point d'intersection. Quoique nous devions avoir souvent occasion, dans la suite., de considérer les plans normaux aux courbes à double courbure, nous n'entrerons ici, par rapport à leur détermination, dans aucun détail, parce que ces plans étant toujours perpendiculaires aux tangentes, il nous suffira d'avoir donné la manière de construire les projections des tangentes aux intersections des surfaces courbes.

58. Second problème général. — Par un point pris à volonté sur l'intersection de deux surfaces courbes, mener la tangente à cette intersection.

Solution. — Le point pris à volonté sur l'intersection des deux surfaces courbes se trouve en même temps et sur l'une et sur l'autre de ces surfaces. Si donc par ce point considéré sur la première surface on mène à cette surface un plan tangent, ce plan touchera l'intersection dans le point que l'on considère. Pareillement, si par le même point considéré sur la seconde surface on mène à cette surface un plan tan- «j'ent, ce plan touchera l'intersection dans le point que l'on considère. Les deux plans tangents toucheront donc l'intersection dans le même point, qui sera en même temps un de leurs points communs, et par conséquent un de ceux de la droite dans laquelle ils se coupent; donc l'intersection des deux plans tangents sera la tangente demandée.

Ce problème donne lieu à l'observation suivante, qui est d'un grand usage dans la Géométrie descriptive.

« La projection de la tangente d'une courbe à double courbure est elle-même tangente à la projection de la courbe, et son point de contact est la projection de celui de la courbe à double courbure. »

En effet-, si, par tous les points de la courbe à double courbure, on conçoit des perpendiculaires abaissées sur un des plans de projection, par exemple, sur le plan horizontal, toutes ces perpendiculaires seront sur une surface cylindrique verticale, qui sera coupée par le plan horizontal dans la projection même. De même, si, par tous les points de la tangente à la courbe à double courbure, on conçoit des verticales abaissées, elles seront dans un plan vertical qui sera coupé par le plan horizontal dans la projection même de la tan-

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gente. Or, la surface cylindrique et le plan vertical se touchent évidemment dans toute l'étendue de la verticale abaiflsée du point do contact, et qui leur est commune ; donc les intersections de la surface cylindrique et du plan par le plan horizontal se toucheront dans un point qui st;ra l'intersectiou de la droite du contact. de la surface cylindrique et du plan vertical. Donc enfin les projections d'une courbe à double courbure et d'une de ses tangentes se touchent en un point qui est la projection du point de contacrt de la courbe.

59. Nous allons actuellement faire l'application de tout ce qui précède à quelques cas particuliers; et pour commencer par des considérations simples, nous supposerons d'abord qu'une des deux surfaces dont il i&v!t détjBrminer l'dntersecrtion soit un plan.

Première question. — Construire l'intersection d'une surface cylindrique donnée par un plan donné de position ?

La position des pians de projection étant arbitraire, nous supposerons d'abord, ce qui est toujours possible, que ces deux plans aient été choisis de manière que l'un soit perpendiculaire à la génératrice de la surface, et que l'autre soit perpendiculaire au plan coupant, parce que, dans cette supposition, la construction est beaucoup plus facile; puis, pour donner aux élèves l'habitude des projections, nous supposerons que les deux plans de projection soient placés d'une manière quelconque.

Solution. — Premier cas, dans lequel on suppose que la ^nératrice de la surface soit perpendiculaire à Vun

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des plans de projection^ par exemple, au plan horizontal, et que le plan coupant soit perpendiculaire à Vautre.

Soient A {fig. 27) la projection horizontale de la droite, à laquelle la génératrice de la surface cylindrique doit toujours être parallèle; aa" sa projection verticale; BCDE la trace donnée de la surface cylindrique, trace qui sera la projection horizontale de la surface indéfinie, et, par conséquent, celle de la courbe d'intersection ; soient /g la projection verticale donnée du plan coupant, projection qui sera aussi celle de l'intersection demandée, et FG la trace horizontale du même plan : il est évident que si l'on mène à la courbe BCDE, et perpendiculairement à LM, les tangentes indéfinies Ee", Ce", les droites ee", ce" seront les projections verticales de la génératrice dans ses positions extrêmes, et que les points e',.c', dans lesquels elles couperont la projection fg du plan coupant, termineront sur fg la projection verticale de l'intersection demandée.

Cela posé, si par un point pris arbitrairement sur l'intersection (point dont la projection horizontale sera un point H, pris à volonté sur la courbe BCDE, et dont on aura la projection verticale en projetant le point H en i' sur fg) on veut mener la tangente à cette intersection, il est clair que cette tangente sera comprise dans le plan coupant, et que sa projection verticale sera la droite fg; il est clair aussi qu'elle sera comprise dans le plan vertical tangent à la surface cylindrique, et que sa projection horizontale, qui sera la même que celle du plan tangent, sera la droite FHN tangente en H à la courbe donnée BCDE . Ainsi tout est déterminé par rapport à l'intersection demandée-

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tob' LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

60. Actuellement, posons qu'il s'agisse de construire cette intersection telle qu'elle existe dans son plan et, par un de ses points pris à volonté, de lui mener une tangente. Si le plan de projection verticale se trouve à une trop grande distance de la courbe BCDE, on pourra concevoir un autre plan vertical qui lui soit parallèle, qui passe dans l'intérieur de la courbe BCDE, et dont la projection horizontale soit la droite EG parallèle à LM. Ce plan vertical coupera le plan coupant dans une droite parallèle à sa projection /g, et autour de laquelle, comme charnière, nous supposons que le plan coupant tourne pour devenir vertical et présenter en face la courbe demandée. Gela posé, par tant de points H qu'on voudra, pris arbitrairement sur BCDE, on concevra des plans verticaux perpendiculaires au plan vertical de projection, et dont on aura en même temps les projections horizontales et verticales, en menant par tous les points H des droites llJKii' perpendiculaires à LM. Chacun de ces plans coupera le plan coupant dans une droite horizontale perpendiculaire à la charnière, et dont la projection verticale sera le point de rencontre i' des deux droites /g, ii'. De plus, dans chaque plan, cette droite horizontale rencontrera la charnière dans un point dont la projection horizontale sera l'intersection J des deux droites EG, HJKii'; et elle rencontrera la courbe demandée dans des points dont les projections horizontales seront les intersections H, K de la droite HJKu' avec la courbe BCDE. Enfin cette droite et toutes ses parties seront égales à leurs projections horizontales. Or, lorsque le plan coupant tourne autour de la charnière pour devenir vertical, toutes ses droites,

qui d'abord étaient horizontales, ne cessent pas d'être perpendiculaires à la charnière, et ne changent pas de grandeur. Donc, si par tous les points i' on mène à /g des perpendiculaires indéfinies A/f, et si sur ces perpendiculaires on porte JH de i' en /i, et JK de i' en /c, on aura tant de points A, A: qu'on voudra, par lesquels on fera passer la courbe demandée e' kc' h.

61. La courbe étant construite dans son plan, il s'agit par un de ses points A, pris arbitrairement, de lui mener une tangente; on aura la projection \erticale de ce point en abaissant du point h sur fg la perpendiculaire hi'; on aura sa projection horizontale en projetant i' en H sur la courbe BCDE; on aura la projection horizontale de la tangente demandée, en menant la droite FN, tangente en H, à la courbe BCDE, et il suffira de rapporter sur le plan de la courbe un point quelconque de la tangente, celui, par exemple, qui est projeté sur le point N pris arbitrairement, et dont la projection verticale est sur fg en a'. Or, en raisonnant pour ce point comme pour tout autre point du plan coupant, il est clair que si par le point a' on mène à fg la perpendiculaire a' n, et que si sur cette droite on porte de a' en n la distance NA du point N à la droite EC, le point n sera le second point de la tangente. Donc en menant la droite hn^ on aura la tangente demandée.

62. Quelle que soit la courbe donnée BCDE, on voit que l'intersection e' kc' h jouit de la propriété, que, pour un de ses points, quelconque, la soustangente a' n est égale à la sous-tangente AN de la

première. Cette propriété, qui est très connue pour le cercle et l'ellipse, lorsque ces deux courbes ont un axe commun, n'a lieu par rapport à elles que parce qu'elles sont les intersections d'une même surface cylindrique par deux plans différents.

63. Enfin, il peut arriver qu'on ait besoin de tracer sur le développement de la surface cylindrique l'effet de la section faite par le plan coupant. Pour cela, après avoir développé la courbe BCDE, avec toutes ses divisions, sur une droite IIQ; si par toutes les divisions de RQ on lui mène des perpendiculaires indéfinies, on aura sur le développement de la surface les traces des différentes positions de la droite génératrice, et il ne s'agira plus que de porter sur ces perpendiculaires les parties des génératrices correspondantes, comprises entre la section perpendiculaire BCDE et la section faite par le plan coupant. Or, ces parties de génératrices sont égales à leurs projections verticales, et ces projections sont toutes terminées d'une paît à la droite LM, et de l'autre à fg. Donc, si le point H, par exemple, tombe en S sur la droite RQ, en portant ii' sur la perpendiculaire qui passe par le point S, de S en T, le point T sera sur la surface développée celui où la génératrice qui passe par le point H est coupée par le plan coupant. I^a courbe XTYZ, qui passera par tous les points déterminés de la même manière, sera la courbe demandée.

64. Il est évident que si l'on prolonge la tangente au point H jusqu'à .ce qu'elle rencontre la trace horizontale GF du plan coupant quelque part en un

point F, et que si l'on porte HF sur RQ de S en U, la droite TU sera tangente à la courbe; car lorsque la surface cylindrique se développe, ses éléments ne changent pas d'inclinaison par rapport au plan horizontal.

Second cas, dans lequel on suppose la surface cylindrique et le plan coupant placés d'une manière quelconque par rapport aux deux plans de projections.

65. Solution (fig. 28). — Soient A A' et aa' les deux projections de la droite à laquelle la génératrice doit être parallèle; CEDF la trace donnée de la surface cylindrique; et HG/î, hh les traces du plan cou])ant.

On imaginera une suite de plans parallèles à la génératrice de la surface cylindrique, et qui seront de plus tous perpendiculaires à un des plans de projection, par exemple, au plan horizontal; chacun de ces plans sera projeté suivant une droite OKE parallèle à AA', et coupera la surface en des droites qui seront des positions de la génératrice et qui rencontreront le plan horizontal aux points d'intersection E, F de la droite OKE avec la courbe CEDF. Si donc on projette les points E, F sur LM en e, /, et si par ces derniers points on mène à la droite aa' les parallèles ee\ ff\ on aura les projections verticales des intersections de la surface avec chacun des plans parallèles à la génératrice.

Ces mêmes plans couperont aussi le plan coupant en des droites qui seront parallèles entre elles, qui auront toutes leurs traces horizontales sur les différents

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points 0 de la droite HG, et dont les projections verticales seront aussi parallèles entre elles. Pour avoir ces projections, il faut d'abord chercher la direction de l'une d'elles, de celle, par exemple, qui correspond au plan vertical mené par AA'. Pour cela, si l'on prolonge AA' jusqu'à ce qu'elle rencontre, d'une part, la trace du plan coupant en un point N, et, de l'autre, la droite LM en un point B, et si l'on projette le point B en b sur A6, les deux points N et è seront sur les deux plans de projection les traces de l'intersection du plan coupant avec le plan vertical. Donc, si l'on projette le point N en n sur LM, et si l'on mène la droite nb, on aura la projection verticale de cette intersection. Donc, en projetant sur LM tous les points O, dans lesquels la trace GH est coupée par les projections des l)lans verticaux, ce qui donnera une suite de points o, et en menant par ces derniers les parallèles oik à n6, on aura les projections verticales des intersections du plan coupant par la suite des plans verticaux. Donc enfin les points de rencontre i, k de chaque droite oik avec les projections ee\ ff des sections faites dans la surface cylindrique par le plan vertical correspondant, seront sur la projection verticale de l'intersection demandée; et la courbe qui passera par tous les joints i, /f, ainsi déterminés, sera cette projection. Si l'on projette les points t, /c, en J, K, sur la projection OKE du plan vertical correspondant, on aura la projection horizontale des mêmes points, et la courbe KJP, qui passera par tous les points ainsi déterminés, sera la projection horizontale de l'intersection.