Pour avoir les tangentes de ces deux projections

ir2 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

aux points J, i, il faut se rappeler que ces tangentes sont les projections de la tangente à l'intersection. Or^ cette dernière tangente étant en même temps dans le plan coupant et dans le plan tangent à la surface cylindrique doit avoir sa trace horizontale dans l'intersection des traces horizontales de ces deux plans : de plus, la trace du plan tangent est la tangente en F à la courbe GEDF. Donc, si l'on mène cette tangente, et si, après l'avoir prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la trace du plan coupant en un point G, on mène la droite GJ, cette droite touchera au point J, la projection horizontale de l'intersection. Enfin, projetant le point G sur LM en g, et menant la droite gi, on aura la tangente en i de la projection verticale de la même courbe.

67. S'il faut construire la courbe de l'intersection, telle qu'elle existe dans son plan, on concevra que le plan coupant tourne autour de sa trace horizontale HG, comme charnière, pour s'appliquer sur le plan horizontal. Dans ce mouvement, chacun des points de la section, celui, par exemple, qui est projeté en J, décrira un arc de cercle dont le plan sera vertical, perpendiculaire à HG, et dont on aura la projection indéfinie, en menant par le point J une droite RJS perpendiculaire à HG : donc, lorsque le plan sera abattu, le point de la section tombera quelque part sur un point de cette droite. Reste à trouver la distance de ce point à la charnière : or la projection horizontale de cette distance est JR, et la dilîérence des hauteurs de ses extrémités est la verticale is. Si l'on porte JR sur LM de s en /, l'hypoténuse ri sera

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Il3

cette distance. Donc, portant ri sur RJ de R en S, le point S sera un des points de l'intersection considérée dans son plan abattu sur le plan horizontal; et la courbe STUV, menée par tous les points S semblablement construits, sera cette intersectioji elle-même.

68. Pour avoir la tangente de cette courbe au point S, il suffît d'observer que, pendant le mouvement du plan coupant, la tangente ne cesse pas de passer par le point G de la charnière : donc, si l'on mène la droite SG, on aura la tangente demandée.

69. Deuxième question. — Construire l'intersection d'une surface conique à base quelconque donnée, par un plan donné de position ?

Solution. — Nous supposerons, ce qui est toujours possible, que le plan vertical de projection soit placé perpendiculairement au plan coupant.

Soient A et a' (fig, 29) les projections du sommet du cône ou du centre de la surface conique,* l^CDE la trace de cette surface sur le plan horizontal, /g la projection verticale du plan coupant, et G/ sa trace horizontale. On imaginera par le sommet du cône une suite de plans perpendiculaires au plan vertical de projection : les projections verticales de ces plans seront les droites a' c menées par la projection du sommet, et leurs traces horizontales seront les droites cC perpendiculaires à LM, qui couperont la trace de la surface conique quelque part en des points C, C, .... Ces plans couperont la surface en des droites dont les projections verticales seront les

MONOK. — I. 8

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droites a' c^ ..., et dont on aura les projections horizontales en menant au point A les droites CA, C'A, .... Les mêmes plans couperont aussi le plan coupant dans des droites qui seront perpendiculaires au plan vertical. Les projections de ces droites seront les points h, ... de rencontre de /g avec les droites a' c, . . .,et Ton aura leurs projections horizontales en abaissant des points /i, ... sur LM les perpendiculaires indéfinies AH, .... Cela fait, les droites h H, ... couperont les droites correspondantes CA, C'A, ..., en des points H, H', . . . qui seront les projections horizontales d'autant de points de l'intersection demandée; et la courbe PHQH', qui passera par tous les points construits de cette manière, sera la projection de l'intersection.

70. Pour mener à cette courbe une tangente par un point H pris à volonté sur elle, il suffit de chercher sur le plan horizontal la trace de la tangente de l'intersection dans le point qui correspond au point H. Or, cette trace doit être sur celle du plan coupant, et par conséquent sur G/; elle doit être aussi sur celle du plan qui touche la surface conique dans la droite, dont la projection est AH ; de plus, si l'on prolonge AH jusqu'à ce (|u'elle rencontre la courbe BCDE quelque part en un point C, la tangente CF de cette courbe au point G sera la trace horizontale du plan tangent. Donc le point F de rencontre des deux traces / G, CF sera sur la tangente au point H de la courbe PHQH'.

71. S'il est nécessaire de construire l'intersection considérée dans son plan, on pourra jndiiïéremment

l6 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

concevoir, ou que le plan coupant tourne autour de G / comme charnière, pour s'abattre sur le plan horizontal, et construire la courbe dans la position qu'elle aura prise alors, ou qu'il tourne autour de sa projection verticale /g pour s'appliquer sur le plan vertical; c'est cette dernière hypothèse que nous allons suivre.

Toutes les horizontales dans lesquelles la suite des plans menés par le sommet a coupé le plan coupant, et qui sont perpendiculaires à /g, ne changent pas de grandeur dans le mouvement du plan coupant, et ne cessent pas d'être perpendiculaires à /g : donc, si par tous les points h on mène à /g des perpendiculaires indéfinies, et si l'on porte sur elles les horizontales correspondantes KH, KH', de h en N et en N', les points N et N' seront des points de la section; et la courbe RNSN', menée par tous les points ainsi construits, sera l'intersection considérée dans son plan.

72. D'après tout ce qui précède, il est évident que, pour mener à cette courbe une tangente en un point N, pris arbitrairement sur elle, il faut du point N abaisser sur /g la perpendiculaire N/î, mener la droite a' h jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un pomt c, projeter ce dernier point en C sur la courbe BCDE, mener à cette courbe la tangente en C, qui coupera la trace G/ quelque part en un point F, et porter F/ perpendiculairement à /g de / en 0. La droite ON sera la tangente demandée.

Quant à la manière de construire le développement de la surface conique à base quelconque, et de tracer sur ce développement l'efl'et de l'intersection par le

plan coupant, nous Texposerons incessamment, après avoir parlé de rinterscetion de la surface conique par celle d'une sphère qui aurait son centre au sommet.

73. Troisième question. — Construire l'intersection de deux surfaces coniques à bases circulaires, et dont les axes sont parallèles entre eux ?

Solution. — Nous ne répéterons pas ici, sur la figure 26, tout ce que nous avons dit en exposant la méthode générale à laquelle cette figure servait de type ; nous observerons seulement que, dans le cas dont il s'agit ici, de même que dans celui de deux surfaces quelconques de révolution, les sections faites dans les deux surfaces par les plans horizontaux sont des cercles : mais nous entrerons dans quelques détails par rapport aux tangentes, dont nous n'avons pas eu occasion de parler.

74. Pour trouver la tangente au point D (fig. 9,0) de la projection horizontale de l'intersection, nous nous rappellerons qu'elle est la projection de la tangente de l'intersection des deux surfaces, au point qui correspond à D, et qu'il suffit, pour la déterminer, de trouver le point S qui est, sur le plan horizontal, la trace de la tangente de l'intersection. Or cette dernière tangente est dans les deux plans qui touchent les surfaces coniques dans le point de l'intersection; donc, si l'on trouve les traces horizontales Rr, ()q de ces deux plans tangents, elles détermineront par leur rencontre le point S. Mais le plan tangent à la première surface la touche dans une droite qui pas3e

Il8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

par le sommet, et dont on aura la projection horizontale en menant la droite indéfinie AD. De plus, si l'on prolonge AD jusqu'à ce qu'elle rencontre en un point Q la trace circulaire horizontale TQUV de la surface, le point Q sera un point de la ligne de contact de la surface et du plan; par conséqueni, la trace horizontale du plan sera tangente en Q au cercle TQUV : scit donc menée cette tangente Q^. Pareillement, si l'on prolonge le rayon BD jusqu'à ce qu'il rencontre en R la trace horizontale circulaire RXYZ de la seconde surface, et si l'on mène à ce cercle la tangente en R, cette droite Rr sera la trace horizontale du plan tangent à la seconde surface. Donc, si par le point S d'intersection des deux tangentes Q(/, Rr on mène la droite SD, on aura la tangente au point D de la projection horizontale de l'intersection.

Quant à la tangente au point correspondant d de la projection verticale, il est clair qu'on l'obtiendra en projetant le point S en 5, et en menant ensuite la droite sd, qui sera cettp tangente.

75. Il peut arriver qu'il soit nécessaire de construire sur le développement de l'une des surfaces coniques, peut-être même sur celui de chacune d'elles, l'effet de leur mutuelle intersection; ce qui serait nécessaire, par exemple, s'il fallait exécuter les cônes avec des substances flexibles, telles que des feuilles de métal : dans ce cas, on opérera pour chaque cône, comme nous allons l'indiquer pour le premier.

Nous observerons d'abord que, lorsqu'une surface conique se développe pour devenir plane, les lignes droites qui sont sur cette surface no changent ni de

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. ij^

iorme, ni de grandeur, parce que chacune d'elles est successivement la charnière autour de laquelle s'opère le développement : ainsi tous les points de la surface restent toujours à la même distance du sommet. De plus, lorsque, comme dans ce cas, la surface conique est droite et circulaire, tous les points de la trace horizontale circulaire sont à égale distance du sommet ; ils doivent donc être à égale distance du sommet sur le développement, et par conséquent sur un arc de cercle dont le rayon est égal à la distance constante du sommet à la trace circulaire. Donc, si après avoir pris arbitrairement un point pour représenter le sommet sur le développement, on décrit de ce point, comme centre, et d'un rayon égal à aC, un arc de cercle indéfini, cet arc sera aussi indéfiniment le développement de la trace horizontale de la surface. Puis, si, à partir du point T de la trace par lequel on veut commencer le développement, on porte l'arc de cercle TQ sur l'arc qu'on vient de décrire, on déterminera la position du point Q sur le développement; et la droite indéfinie, menée par ce point au centre du développement, sera la position qu'occupera la droite de la surface qui est projetée en AQ, et sur laquelle devra se trouveï le point D, d de la section rapportée. Pour construire ce point, il ne s'agira plus que de trouver sa distance au sommet, et de là porter sur là droite indéfinie, à partir du centre du développement. Pour cela, par le point d dans la projection verticale, on mènera l'horizontale dk jusqu'à ce qu'elle coupe le côté a G du cône en un point k; et la droite ak sera cette distance. En construisant de même successivement tous les autres points dfr l'intersection, et faisant passer par tous ces points

une courbe, on aura l'intersection des deux surfaces rapportées sur le développement de la première : on opérera de même pour la seconde surface.

76. Quatrième question. — Construire l'intersection de deux surfaces coniques à bases quelconques ?

Solution. — Soient A, a (fig. 3o) les projections du sommet de la première surface; CGDG', sa trace donnée sur le plan horizontal; B, è, les projections du sommet de la seconde; et EHFH', sa trace sur le plan horizontal. On concevra par les deux sommets une droite, dont on aura les projections en menant les droites indéfinies AB, ab, et dont on construira facilement la trace I sur le plan horizontal. Par cette droite on concevra une série de plans qui couperont chacun les deux surfaces coniques dans le système de plusieurs lignes droites ; et celles de ces lignes droites qui seront dans le même plan détermineront par leurs rencontres autant de points de l'intersection des deux surfaces. Les traces horizontales de tous les plans de cette série passeront nécessairement par le point I; et, parce que la position de ces plans est d'ailleurs arbitraire, on pourra donc se donner arbitrairement leurs traces en menant par le point I tant de droites IK qu'on voudra, pour chacune desquelles on fera l'opération que nous allons décrire pour une seule d'entre elles.

La trace Kl de chacun des plans de la série coupera la trace horizontale de la première surface conique en des points G, G', qui seront aussi les traces horizontales des lignes droites, suivant lesquelles le plan coupe

«I2î2 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

la surface conique : ainsi AG, AG' seront les projections horizontales indéfinies de ces droites, et l'on aura leurs projections verticales en projetant G, G' en g, g', et en menant les droites indéfinies ag, ag' . Pareillement la trace Kl du même plan de la série coupera la trace horizontale de la seconde surface conique dans des points H, H', par lesquels si l'on mène indéfiniment BH, BH', on aura les projections horizontales des droites, suivant lesquelles le même plan de la série coupe la seconde surface; et l'on aura leurs projections verticales en projetant H, H' en h^ h\ et en menant les droites indéfinies bh, bh'.

Gela fait, pour le même plan dont la trace est Kl, on aura sur la projection horizontale un certain nombre de droites AG, AG', BH, BH'; et les points P, Q, R, S, où celles qui appartiennent à l'une des surfaces rencontreront celles qui appartiennent à l'autre, seront les projections horizontales d'autant de points de l'intersection des deux surfaces. Ainsi en opérant successivement de la même manière pour d'autres lignes Kl, on trouvera de nouvelles suites de points PQRS; et faisant ensuite passer par tous les points P une première branche de courbe, par tous les points Q une seconde, par tous les points R une troisième, etc., on aura la projection horizontale de l'intersection demandée.

Pareillement, pour le même plan dont la trace est Kl, on aura sur la projection verticale un certain nombre de droites ag, ag', bh, bh\ dont les points de rencontre seront les projections verticales d'autant de points de l'intersection.

Il faut observer ici qu'il n'est pas nécessaire de cons-

truire les deux projections de la courbe d'intersection, indépendamment l'une de l'autre, et (ju'un point de l'une étant construit, on peut trouver son correspondant sur l'autre projection, en le projetant par une perpendiculaire à la commune intersection des deux plans de projection sur l'une des droites qui doit le contenir; ce qui fournit les moyens de vérifier les ope rations, et d'éviter dans certains cas les intersections de droites qui se couperaient sous des angles trop obliques.

77. Pour trouver les tangentes à la projection horizontale, celle, par exemple, qui la touche au point P, il faut construire la trace horizontale T de la tangente de l'intersection au point qui correspond à P. Or cette tangente est l'intersection des deux plans qui touchent les surfaces coniques dans ce point : sa trace sera donc dans la rencontre des traces horizontales de ces deux plans tangents. De plus, A(x' P est la projection de la droite de contact du plan qui touche la première surface ; ainsi la trace de ce premier plan sera la tangente de la courbe GGDG' au point G' : soit G' TV cette tangente. Pareillement BH' P est la projection horizontale de la droite de contact du plan qui touche la seconde surface; ainsi la trace horizontale du second plan tangent sera la tangente au point II' de la courbe EHFH' : soit H' TU cette tangente. Les deux tangentes G' V, H' U se couperont donc en un point T, par lequel, si l'on mène la droite TP, on aura la tangente au point P demandée.

En raisonnant de même pour les autres points Q, R, S, on trouvera : 1° que la tangente en Q doit passer

par le point de rencontre des tangentes en G' et en H; •2^ que la tangente en R doit passer par la rencontre des tangentes en H et en G; 3° que la tangente en S doit passer par la rencontre des tangentes en G et en H\

Quant aux tangentes de la projection verticale, elles n'ont aucune difficulté, lorsque celles de la projection horizontale sont déterminées, car en projetant les traces horizontales des tangentes de l'intersection, on a les points par lesquels elles doivent passer.

78. Cinquième question. — Construire l'intersection d'une surface conique à base quelconque, et de celle d'une sphère ?

Nous supposerons ici que les deux surfaces sont concentriques, c'est-à-dire que le sommet du cône est placé au centre de la sphère, parce que nous aurons besoin de ce cas particulier pour la question suivante.

Solution. — Soient A, a {fig. 3i) les projections du centre commun des deux surfaces, BCDE la trace horizontale donnée de la surface conique, am le rayon de la sphère, et le cercle If g' m la projection verticale de la sphère. On concevra par le centre commun des deux surfaces une série de plans, que l'on pourra de plus supposer tous perpendiculaires à l'un des deux plans de projection. Dans la figure 3i, nous les avons supposés verticaux. Chacun de ses plans coupera la surface conique dans un système de lignes droites, et la surface de la sphère dans la circonférence d'un de ses grands cercles; et pour chaque plan, les rencontres de ces droites avec la cir-

il6 LES MAITRES DE LA PENSEE SCIÈNTIF'lQUE.

conférence du cercle détermineront des points de l'intersection demandée : soient donc menées par le point A tant de droites indéfinies CAE qu'on voudra, qui seront les projections horizontales d'autant de plans verticaux de la série, et en même temps celles des lignes suivant lesquelles ces plans coupent les deux surfaces. Chaque droite CAE coupera la trace horizontale BCDE de la surface conique en des points C, E, qui seront les traces horizontales des sections faites dans cette surface par le plan correspondant; et si, après avoir projeté les points C, E sur LM en c, e, on mène les droites ac^ ae, on aura les projections verticales des mêmes sections. Il s'agit actuellement de trouver les rencontres de ces sections avec celles de la sphère par le même plan.

Pour cela, après avoir mené par le point A la droite GAF parallèle à LM, on concevra que le plan vertical mené par CE tourne autour de la verticale qui est élevée par le point A et projetée en ci a, jusqu'à ce qu'il devienne parallèle au plan vertical de projection, et de plus qu'il entraîne avec lui les sections qu'il a faites dans les deux surfaces. Dans ce mouvement, les points C, E décriront autour du point A, comme centre, des arcs de cercle CG, EF, et viendront s'appliquer en G, F ; et si l'on projette ces derniers points sur LM en g, /, les droites «g, af seront les projections verticales des sections faites dans la surface conique, considérées dans la nouvelle position qu'elles ont prise en vertu du mouvement du plan. La section faite dans la surface de la sphère, considérée de même dans la nouvelle position, aura pour projection verticale la circonférence If g' m. Donc les points de rencontre /',

g' de cette circonférence avec les droites ag, af seront les projections des points de l'intersection demandée, considérés aussi dans la nouvelle position du plan.

Actuellement, pour avoir les projections des mornes points considérés dans leur position naturelle, il faut supposer que le plan vertical de la série retourne dans su position primitive. Dans ce mouvemeni, tous les points du plan, et par conséquent ceux de l'intersection qu'il contient, décriront des arcs de cercles horizontaux autour de la verticale élevée par le point A comme axe, et dont les projections verticales seront des droites horizontales. Donc, si par les points g\ f on mène les horizontales ^'i, f'h^ elles contiendront les projections verticales des points de l'intersection : mais ces projections doivent aussi se trouver sur les droites respectives ac^ ae; donc elles seront aux points de rencontre i, h de ces dernières droites avec les horizontales g'i, f h. Ainsi la courbe /c/mi, imenée paj* tous les points construits de la même manière pour toute autre droite que CE, sera la projection verticale de l'intersection demandée.

Si l'on projette les points i, h sur CE en J, 11, on aura les projections horizontales des mêmes points de l'intersection; et la courbe KHNJ menée par tous les points J, H, construits de la même manière pour toute autre droite que CE, sera la projection horizontale de l'intersection.

79. Pour trouver la tangente au point J de la projection horizontale, il faut construire la trace horizontale P de la tangente au point correspondant de l'intersection. Cette droite doit se trouver à la rencontre

des traces des plans tangents aux deux surfaces au point de l'intersection qui correspond au point J. Or il est évident que, si par le point C on mène à la courbe BGDE la tangente CP, on aura la trace du plan tangent à la surface conique. Quant à celle du plan tangent de la sphère, on opérera comme nous l'avons vu pour les surfaces de révolution, c'est-à-dire en menant par le point g' au cercle If g' m la tangente g'o prolongée jusqu'à la droite LM en o, en portant ensuite a' o sur CE de A en 0, et menant par le point 0 la droite OP perpendiculaire à CE. Donc les deux traces CP, OP se couperont en un point P par lequel, si l'on mène la droite JP, on aura la tangente au point J.

Enfin, il est évident que l'on aura la tangente au point i de la projection verticale de l'intersection, en projetant le point P sur LM en p, et menant ensuite la droite ip, qui sera la tangente demandée.

80. Si la sphère et la surface conique n'étaient pas concentriques, il faudrait concevoir par leurs deux centres une ligne droite, et choisir la série des plans coupants qui passerait par cette droite. Chacun de ces plans couperait la surface conique dans des dioites, et celle de la sphère dans un de ses grands cercles, comme dans le cas précédent, ce qui donne également une construction simple; mais alors il serait avantageux de placer le plan vertical de projection parallèlement à la droite menée par les deux centres, afin que, dans le mouvement que l'on fait faire à chaque, plan coupant pour le rendre parallèle au plan vertical de projection, les deux centres soient immobiles et ne

changent pas de projections; ce qui simplifie les constructions.

81. Sixième question. — Construire le développement d'une surface conique à base quelconque, et rapporter sur cette surface ainsi développée une section dont on a les deux projections ?

Solution. — On concevra la surface d'une sphère d'un rayon pris à volonté, et dont le centre soit placé au sommet du cône, et on construira, comme nous l'avons fait dans la question précédente, les projections de l'intersection de ces deux surfaces. Cela fait, il est évident que tous les points de l'intersection sphérique étant à la même distance du sommet, ils doivent aussi sur la surface développée se trouver à la même distance du sommet, et par conséquent sur un arc de cercle décrit du sommet comme centre, et avec un rayon égal à celui de la sphère. Ainsi, en supposant que le point R {fig. 33) soit le sommet de la surface développée, si de ce point comme centre, et d'un rayon égal à am {fig. 3i), on décrit un arc de cercle indéfini STU, ce sera sur cet arc que tous les points de l'intersection sphérique viendront s'appliquer, de manière que les parties de cet arc seront rospectivement égales aux parties correspondantes de l'intersection sphérique. Il s'agit donc actuellement, après avoir pris à volonté sur cette intersection un point pour origine, par exemple, celui qui est projeté en N, n (fig. 3i), et un point S {fig. 33) pour son correspondant sur la surface développée, de développer Jes différents arcs'de l'intersection sphérique, et de les