DES PLANS TANGENTS ET DES NORMALES AUX SURFACES COURBES

23. Comme il n'y a aucune surface courbe qui ne puisse être engendrée de plusieurs manières par le mouvement de lignes courbes, si par un point quelconque d'ime surface on considère deux génératrices diiïérentes dans la position qu'elles doivent avoir, lorsqu'elles passent l'une et l'autre par ce point, et si l'on conçoit les tangentes en ce point à chacune des deux génératrices, le plan mené par ces deux tangentes

4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

est le plan tangent. Le point de la surface, dans lequel les deux génératrices se coupent, et qui est en même temps commun aux deux tangentes et au plan tangent, est le point de contact de la surface et du plan. La droite menée par le point de contact perpendiculairement au plan Langent s'appelle normale à la surface. Elle est perpendiculaire à l'élément de la surface, parce que la direction de cet élément coïncide, dans tous les sens, avec celle du plan tangent, qui peut en être r(;gardé comme le prolongement.

24. La considération des plans tangents et des normales aux surfaces courbes est très utile à un grand nombre d'arts ; et, pour plusieurs d'entre eux, elle est absolument indispensable. Nous n'apporterons ici qu'un seul exemple de chacun de ces deux cas, et nous les prendrons dans l'Architecture et dans la Peinture.

Les différentes parties dont sont composées les voûtes en pierres de taille, se nomment poussoirs ' et l'on appelh^ joints les faces par lesquelles deux voussoirs contigus se touchent, soit que ces voussoirs fassent partie d'une même assise, soit qu'ils soient compris dans deux assises consécutives.

La position des joints dans les voûtes est assujétie à plusieurs conditions qui doivent être nécessairement remplies. Nous ferons connaître successivement toutes ces conditions dans la suite du cours; mais, dans ce moment, nous ne nous occuperons que de celle qui a rapport à notre objet.

Une des conditions auxquelles la position des joints doit satisfaire, c'est qu'ils soient perpendiculaires entre eux, et que les uns et les autres rencontrent per-

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pendiculaircment la surface de la voûte. Si l'on s'écartait, sensiblement de cette loi, non seulement on blesserait les convenances générales, sans lesquelles rien ne peut avoir de la grâce, mais encore on s'exposerait à rendre la voûte moins solide et moins durable : car, si l'un des joints était oblique à la surface de la voûte, des deux voussoirs contigus à ce joint, l'un aurait un angle obtus, l'autre un anj^le aigu; et dans la réaction que les deux voussoirs exercent l'un sur l'autre, ces deux angles ne seraient pas capables de la même résistance; à cause de la fragilité des matériaux, l'angle aigu serait exposé à éclater; ce qui altérerait la forme de la voûte, et compromettrait la durée de l'édifice. Ainsi la décomposition d'une voûte en voussoirs exige donc absolument la considération des plans tangents et des normales à la surface courbe de la voûte.

'i5. Passons à un autre exemple pris dans un genre qui, au premier coup d'œil, ne paraît pas susceptible d'une aussi grande sévérité.

On a coutume de regarder la Peinture comme composée de deux parties distinctes. L'une est l'art proprement dit : elle a pour objet d'exciter dans le spectateur une émotion déterminée, de faire naître en lui un sentiment donné, ou de le mettre dans la situation qui le disposera le mieux à recevoir une certaine inqjression; elle suppose dans l'artiste une grande habitude de la philosophie ; elle exige de sa part les connaissances les plus exactes sur la nature des choses, sur la manière dont elles agissent sur nous, et sur les signes, même involontaires, par lesquels cette action se manifeste; elle ne peut être que le résultat d'une éducation très

h' LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

distinguée, que l'on ne donne à personne, et que nous sommes bien éloignés de donner à nos jeunes artistes ; elle n'est soumise à aucune règle générale; elle ne supporte que des conseils.

L'autre partie de la peinture en est, à proprement parler, le métier : son but est l'exécution exacte des conceptions de la première. Ici rien n'est arbitraire; tout peut être prévu par un raisonnement rigoureux, parce que tout est le résultat nécessaire d'objets convenus et de circonstances données. Lorsqu'un objet est déterminé de forme et de position, lorsque l'on connaît la nature, le nombre et la position de tous les corps qui peuvent l'éclairer, soit par une lumière directe, soit par des rayons réfléchis; lorsque la position de l'œil du spectateur est fixe; lorsque enfin toutes les circonstances qui peuvent influer sur la vision sont bien établies et connues, la teinte de chacun des points de la surface visible de cet objet est absolument déterminée. Tout ce qui a rapport à la couleur de cette teinte et à son éclat dépend de la position du plan tangent en ce point à l'égard des corps éclairants et de l'œil du spectateur : elle peut être trouvée par le seul raisonnement; et lorsqu'elle est ainsi déterminée, elle doit être appliquée avec exactitude. Tout afîaiblissement, toute exagération changeraient les apparences, altéreraient les formes et produiraient un autre effet que celui qu'attend l'artiste.

Je sais bien que la rapidité de l'exécution, (|ui est souvent nécessaire, ne permettrait que bien rarement l'emploi d'une méthode qui priverait l'esprit de tout secours matériel, et l'abandonnerait à l'exercice de ses

seules facultés, et qu'il est beaucoup plus facile au peintre de poser les objets, d'observer leurs teintes et (le los imiter : mais s'il était accoutumé à considérer lès ])usilions des plans tangents et les deux courbures des surfaces en chacun de leurs points, courbures qui IVronl l'objet de leçons ultérieures, il tirerait de ce moyen matériel un parti plus avantageux; il serait en état de rétablir les ciîets que l'omission de quelques circonstances a empêché de naîlrc, et de supprimer Cj«;ux auxquels donnent lieu des circonstances étrangères.

Enfin, les expressions vagues, comme celles de méplat^ clair-obscur^ que les peintres emploient à chaque instant, sont un témoignage constant du besoin qu'ils ont de connaissances plus exactes et de raisonnements plus rigoureux.

26. Indépendamment de son utilité dans les arts, la considération des plans tangents et des normales aux surfaces courbes, est un des moyens les plus féconds que la Géométrie descriptive emploie pour la résolution de questions qu'il serait très difiîcile de résoudre par d'autres procédés, et nous en donnerons quelques exemples.

27. La méthode générale, pour déterminer le plan tangent à une surface courbe, consiste (23) à concevoir par le point de contact les tangentes à deux courbes génératrices différentes qui passeraient par ce point, et à construire le plan qui passerait par ces deux droites. Dans quelques cas particuliers, pour abréger les constructions, on s'écarte un peu de cette méthode

prise à la lettre, mais on fait toujours l'équivalent.

Quant à la construction de la normale, nous ne nous en occuperons pas en particulier, parce qu'elle se réduit à celle d'une droite perpendiculaire au plan tangent, ce que nous savons faire.

28. Première question. — Par un point considéré sur une surface cylindrique, et dont la projection horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette surface ?

Solution. — Soint AB, ah {fig. 12) les projections horizontale et verticale de la droite donnée, à laquelle la génératrice de la surface cylindrique doive être parallèle; soit EPD la courbe donnée dans le plan horizontal, sur laquelle la génératrice doive constamment s'appuyer, et que l'on peut regarder comme la trace de la surface cylindrique; enfin soit G la projection horizontale donnée du point considéré sur la surface cylindrique, par lequel doive êlrc mené le plan fangenl.

Gela ])0sé, par le point considéré sur la surface, et dont la projection horizontale est en G, concevons la droite génératrice dans la i)Osition qu'elle doit avoir lorsqu'elle passe par ce point : cette génératrice étant une ligne droite, elle sera elle-même sa propre tangente ; elle sera donc une des deux droites qui détermineront la position du plan tangent; de plus, elle sera parallèle à la droite donnée : donc ses deux projections seront respectivement parallèles à AB et ah\ donc si par le point G on mène à AB une parallèle indéfinie EF, on

aura la projection horizontale de la génératricf. Pour avoir sa projection verticale, concevons la génératrice prolongée sur la surface cylindrique jusqu'à ce qu'elle rencontre le plan horizontal; elle ne le pourra faire que dans un point qui sera en même temps sur la projection EF et sur la courbe EPD, et qui sera, par conséquent, l'intersection de ces deux lignes : ainsi l'on déterminera ce point, en prolongeant EF jns(|u'i'i ce qu'elle coupe quelque part la courbe EPI).

Ici il se présente deux cas : ou la droite EF ne coupera la trace du cylindre qu'en un seul point, ou elle le coup( ra en plusieurs points. Nous allons examiner ces deux cas séparément, et supposer d'abord que quelque prolongée que soit la droite EF, elle ne rencontre la courbe EPD qu'en un seul point D.

Le point D étant la trace de la génératrice, si on le projette sur le plan vertical au moycndola ]>("rp;'i!(1i('ulaire D</, et si par le point d on mène df parallèle à ab, on aura la projection verticale* de la génératrice. Ainsi on aura les deux projections d'une des droites par lesquelles doit passer le plan tangent demandé. De pluF, la projection vcriicale du point de contact doit se trouver sur la droite Ce' menée du point donné C perpendiculairement à LM; elle doit aussi se trouver sur df; donc elle sera au point c d'intersection de ces deux lignes.

Si la droite EF coupe la trace EPD de la surface cylindrique en plusieurs points D, E, on opérera pour chacun de ces points de la même manière que nous venons de le décrire pour le point D, regardé comme seul; il en résultera seulement qu'on aura les projections verticales c//, ef d'autant de droites génératrices,

et les projections verticales c, c' d'autant de points de contact qu'il y aura de points d'intersection entre la droite EF et la trace EPD.

Dans le cas de la figure 12, la trace de la surface cylindrique est une circonférence de cercle qui a la propriété d'être coupée par une droite en deux points : ainsi la verticale élevée par le point donné C doit rencontrer deux fois la surface, d'abord dans un premier point, dont la jnojeclion verticale est c, et par laquelle ])assc la jjjénéralrice, iorsqu'elliî s'ai)puie sur le point 1), et ensuite dans un second point, dont la projection verticale est c\ et par laquelle passe la génératrice lorsqu'elle s'appuie sur le point E de la trace. Ces deux points, quoi(pi'ils aient la même projection horizontale, sont néanmoins très distincts, et à chacun d'eux doit répondre un plan tangent particulier. Actuellement, pour chacun des deux points de contact, il faut trouver la deuxième d oite qui doit déterminer la position du plan tangent. Si l'on suivait strictement la méthode générale, en regardant la trace comme une seconde génératrice, il faudrait la concevoir passant successivement par chacun des points de contact, et construire dans chacun de ces points une tangente; mais, dans le cas particulier des surfaces cylindriques, on peut employer une considérai ion plus simple. En effet, le plan tangent au point C, c touche la surface dans toute l'étendue de la droite génératrice qui passe par ce point; il la touche donc en D, qui est un point de cette génératrice ; il doit donc passer par la tangente à la trace au point D. Par un semblable raisonnement on trouvera que le plan tangent en C, c' doit passer par la tangente à la trace en E. Donc, si par les deux

points D, E on mène à la trace les deux tangentes DK, EG, prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent la droiteLM en deux points K, G, on aura sur le plan horizontal les traces des deux plans tangents.

Il ne reste donc plus à trouver que les traces des mêmes plans sur le plan vertical; et parce que nous avons déjà pour l'une de ces traces le point K, et pour l'autre le point G, il ne reste plus à déterminer qu'un seul point pour chacune d'elles.

Pour cela, et en opérant pour le premier des deux plans tangents, concevons que le point à construire soit celui dans lequel une horizontale menée dans le pian par le point de contact rencontre le pian vertical; on aura la projection horizontale de cette droite en menant par le point G une parallèle à la trace DK, qu'on prolongera jusqu'à ce qu'elle rencontre la droite LM en un point 1; et l'on aura sa projection verticale en menant par le point c une horizontale indéfinie. Le point de rencontre du plan vertical avec l'horizontale se trouvera donc en même tenq)s et sur la verticale \i et sur l'horizontale ci; il sera au point i de leur intersection; donc, si par les points i et K on mène une droite, on aura la trace du premier plan tangent sur le plan vertical. En raisonnant de môme pour le second pian tangent, on trouvera sa trace sur ie plan vertical en menant par le point C une droite CH parallèle à la trace horizontale EG, et on la prolongera jusqu'à ce qu'elle coupe LM en un point H, par lequel on élèvera la verticale LI^; par le point c' on mènera une horizontale qui coupera la verticale H h en un jtoint A, par lequel et par le point G si l'on mène une droite G//, on aura la trace demandée.

29. Deuxième question. — Par un point considéré sur une surface coni<iue, et dont la projection horizontale est donnée, mener un plan tangent à cette surlace ?

La solution de cette question ne diffère de celle de la précédente qu'en ce que la droite génératrice, au lieu d'être toujours parallèle à elle-même, passe toujours par le sommet dont les deux projections sont données. Nous pensons qu'il eut convenable de ne pas l'énoncer ici, et de conseiller au lecteur de la chercher lui-même, en lui offrant le secours de la ligure lo, si toutefois cela était nécessaire.

30. Troisième question. — Par un point considéré sur une surface de révolution autour d'un axe a; rlical, et donné sur la projection horizontale, mener un i)lan tangent à la surface ?

Solution. — Soient A {/ig. i/|) la projection horizontale donnée de l'axe, aa' sa projection verticale, BCDEF la courbe génératrice donnée, considérée dans un plan mené par l'axe, et G la projection horizontale donnée du point de contact.

Gela posé, si par le point de contact et par l'axe on conçoit un plan vertical dont la projection sera l'horizontale indéfinie AG, ce plan coupera la surface de révolution dans une courbe qui sera la génératrice, ])assant par le point de contact; si par le point G on conçoit une verticale, elle rencontrera la génératrice et par conséquent la surface en un ou plusieurs points qui seront autant de points de contact, dont G sera la })rojection horizontale! commune. Un trouvera tous

MONGK. — I. 4

5o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

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ces points de contact considérés dans le plan de la génératrice en portant AG sur LM, de a m e, et en menant par le point e une ])arallcle à au ; tous los points 1% (1, dans lesquels cette tlroitc coupera la courbe BCDEF, seront les intersections de la courbe génératrice avec la verticale menée par le point G, et indi({iieront les hauteurs d'autant de points do contact au-dessus du ]>ian horizontal. P<tur avoir les projections verticales de ces points de contact, on mènera par tous les points E, C des horizontales indéfinies, (jiii contiendront ces projections : mais elles doivent aussi se trouver sur la perpendiculaire à LM, menée par le point G; donc les intersections g, g' de cette droite avec les horizontales seront les projeelions des différents points de contact.

Actuellement, si, par chaque point de conlact, on conçoit une section faite par un plan horizontal, cette section, qui pourra être regardée comme une seconde génératrice, sera la circonférence d'un cercle dont le centre sera dans l'axe, et dont la tangente, qui doit être perpendiculaire à l'extrémité du rayon, sera aussi perpendiculaire au plan vertical mené par AG, et dans le({uel se trouve le rayon : donc le plan tangent, qui doit passer par cette tangente, sera aussi perpendiculaire à ce même plan vertical, et aura, sur le plan horizontal, sa trace perpendiculaire à AG. Il ne reste donc plus, pour avoir la trace de chacun des plans tangents, que de trouver sa distance au point A : or, si par les points E, C on mène à la première génératrice les tangentes El, CH, prolongées jusqu'à ce qu'elles rencontrent LM en des points I, H, les droites ol, ali seront égales à ces distances; donc, si

l'on porte ces droites de A en i et de A en h, et si par les points i et h on mène à AG des perpendiculaires iQ, /tP, prolongées jusqu'à la rencontre de la droite LM, on aura, sur le plan horizontal, les traces de tous les plans tangents.

Pour trouver sur le plan vertical les traces des mêmes plans, il faut concevoir, par chaque point de contact, et dans le plan langent correspondant, une horizontale prolongée jusqu'au plan vertical de projection; cette droite, qui n'est autre chose que la tangente au cercle, déterminera sur ce plan un point qui appartiendra à la trace. Or, pour tous les pohits du contact, ces droites ont la même projection horizontale; c'est la droite GK, menée par le point G perpendiculairement à AG, et terminée à la droite LM. Donc, si par le point K on mène à LM une perpendiculaire indéfinie KA/i', elle contiendra tous les points de rencontre des horizontales avec le plan vertical de projection. Mais ces points de rencontre doivent aussi se trouver sur les horizontales respectives menées par les points E, G; donc les intersections /x, k' de ces horizontales avec la verticale Kk' seront chacune un point de la trace d'im des plans tangents. Ainsi la droite Q/i' sera, sur le plan verlieal, la trace d'un des plans tangents; la droite Fk' sera la trace de l'autre; et ainsi de suite, s'il y en avait un plus grand nombre.

Nous nous bornerons, dans ce moment, aux trois exemples précédents, parce qu'ils suffisent pour toutes les surfaces dont nous avons défini la génération. Dans la suite de cet écrit, nous aurons occasion de considérer les générations de familles de surfaces infiniment plus nombreuses; et à mesure qu'elles se prét.enteront, nous

a|»pli(iueroiis la même méthode à la détermination de leurs plans tangents et de leurs normales. Maintenant nous allons proposer une question, dans la solution de laquelle on peut employer d'une manière utile la considération d'un plan tangent.

.')1. QiATiuKMK QUKSTioN. — Dciix (Iroitcs étant d(»nnées {fig. i5), par leurs projections horizontalcs AB, CD, et par leurs projections verticales ah^ cd^ construire les projections PN, pn de leur plus courte distance, c'est-à-dire, de la droite qui est en même temps ])erpendiculaire à l'une et à l'autre, et trouver la grandeur de cette distance ?

Solution. — Par la première des deux droites données, concevons un plan parallèle à la seconde, ce qui est toujours possible, puisque si par un point quelconque de la première on mène une droite parallèle à la seconde, et si l'on conçoit que cette troisième droite se meuve parallèlement à elle-même le long de la })remière, elle engendrera le plan dont il s'agit. Concevons de plus une surface cylindrique à base circulaire, qui ait pour axe la seconde droite donnée, et pour rayon la distance cherchée; cette surface sera touchée par le plan en une droite qui sera parallèle à l'axe, et qui coupera la première droite en un point. Si par ce point on mène une perpendiculaire au plan, elle sera la droite demandée; car elle passera de fait par un point de la première droite donnée, et elle lui sera perpendiculaire, puisqu'elle sera perpendiculaire à un plan qui passe par cette droite : elle coupera do plus la seconde droite perpendiculairement, puisqu'elle

sera un rayon du cylindre dont cette seconde droite est l'axe.

Il ne s'agit donc plus que de construire suroessivelïient toutes les parties de cette solution.

i*^ Pour construire les traces du plan parallèle aux deux droites données, on mènera par un point quelconque de la première, une parallèle à la seconde; les projections de cette parallèle seront parallèles aux droites" CD, cd. La droite cd coupant la droite ah au point h, si l'on abaisse de ce point la perpendiculaire hb' B sur l'intersection comnuine LM des })lans de projection, et si l'on mène par le point do la première droite, dont les projections sont B et h, la parallèle à la seconde droite, cette parallèle aura pour projections horizontale et verticale les droites BE, cd; elle rencontrera le plan horizontal au point E, qu'on obtient en menant la droite cE perpendiculairement à l'intersection commune LM. Donc, si l'on joint les points A et E par une droite, cette droite sera la trace du plan parallèle aux deux droites données.

2^ Pour construire la ligne de contact du plan parallèle aux deux droites données avec la surface cylindrique, il faut observer que cette ligne de contact est parallèle à la seconde droite donnée, et qu'un seul point de cette ligne détermine sa position. Pour trouver ce point, on mène par un point quelconque de la seconde droite qui est l'axe du cylindre (par exemple, par le point C, où elle rencontre le plan horizontal), un plan perpendiculaire à cet axe; l'intt rsection de ce plan avec le plan parallèle aux deux droites, est la ligne de contact de ce dernier plan avec la base circulaire de la surface cylindrique.

Le plan vertical CD ayant tourné autour do sa trace CD pour s'applicpier sur le plan horizontal, on construira l'angle ^'Cp que la seconde droite donnée fait avec le plan horizontal, en prenant une verticale ^'(5 égale à b' b. Le même plan vertical CD coupe le plan parallèle aux deux droites, guivant la droite FK parallèle à Cl). D'où il suit que le plan ])erj)endiculaire à l'axe du cylindre mené par le point C, coupe le plan vertical CD suivant la droite CK perpendiculaire à C (3' ou à 1/K, et le plan horizontal suivante la droite Cil perpendiculaire à CD.

Ce })lan perpendiculaire à l'axe du cylindre, tournant autour de sa trace horizontale CH pour venir s'appliquer sur le plan horizontal, le point K s'abaisse en K'; le point H de la trace AE reste fixe, et la droite HK' est l'intersection du plan tangent à la surface cylindrique, et du plan perpendiculaire à l'axe de cette surface. Donc, si du point C on abaisse la perpendiculaire CI sur cette droite HK', le cercle décrit du point C comme centre, avec le rayon CI, est la base de la surface cylindrique, et la droite IN, parallèle à CD, est la projection horizontale de l'arête de contact. Cette arête coupe la première droite en un point dont les projections sont N et n, et par lequel passe la perpendiculaire aux deux droites données.

3^ Connaissant les projections N, n d'un des points de la perpendiculaire commune demandée, pour avoir celles de cette perpendiculaire, il suffira de mener par le point N la droite NPQ perpendiculaire à la trace AE. Cette droite coupe la projection horizontale CD de la seconde droite donnée au point P, extrémité de la projection horizontale NP de la perpendiculaire de-

mandée. La projection verticale de cette perpendiculaire étant np, on en construira la grandeur par le procédé de la figure 3.

, La considération d'une surface cylindrique touchée par un plan n'était point nécessaire pour la solution de la question précédente. Après avoir imaginé un plan parallèle aux deux droites données, on aurait pu, par chacune de ces droites, mener à ce plan un plan perpendiculaire ; et l'intersection de ces deux derniers plans aurait été la direction de la plus courte distance demandée. Nous nous contenterons d'énoncer cette seconde manière, en conseillant au lecteur d'en chercher la construction pour s'exercer.

32. Dans les différentes questions que nous avons résolues sur les plans tangents aux surfaces courbes, nous avons toujours supposé que le point par l(K[uel il fallait mener le plan tangent était pris sur la surface, et qu'il était lui-même le point de contact : cette condition seule suffisait pour déterminer la position du plan. Mais il n'en est pas de même lorsque le point par lequel le plan doit passer est pris hors de la surface.

Pour que la position d'un plan soit déterminée, il faut qu'il satisfasse à trois conditions différentes, équivalentes chacune à celle de passer par un point donné : or, en général, la propriété d'être tangent à une surface courbe donnée, lorsque le point de contact n'est pas indiqué, n'équivaut qu'à une seule de ces conditions. Si donc c'est par des conditions de cette nature que l'on se propose de déterminer la position d'un plan, il en faut, en général, trois. En effet, supposons

quo nous ayons trois surfaces courbes données, et qu'un plnn soit tangint à l'une d'entre elles, en un point quelconque ; nous pouvons concevoir que ce plan se meuve autour de la surface, sans cesser de la toucher : il pourra le faire dans toutes sortes de sens; seulement le point de contact se mouvra sur la surface à mesure; que le plan langent changera de position, et la direction du mouvement du point de contact sera dans le même s(;ns que celle du mouvement du plan. Concevons que ce mouvement se fasse dans un certain sens jus([u'à C(; que h) i>lan rencontre la seconde surface et la touche en un certain point ; alors le plan sera en même temps tangent aux deux premières surfaces, et sa i)Osition ne sera pas encore arrêtée. Nous pouvons en eiïet concevoir que le plan tourne autour des deux surfaces, sans cesser de les toucher l'une cl l'autre. Il ne sera plus libre, coninu; aupariuaul, de se mouvoir dans toutes sortes de sens, et il ne jtourra plus le faire que dans un seul. A mesure que le plan eh;!n<^(ra de })0sition, les deux points de contact se mouvront chacun sur la surface à laquelle il appartient ; d(; manière (juc si l'on conçoit une droite menée i)ar ces deux points, leurs mouvements seront dans le même sens par rapport à cette droite, quand le plan touchera les deux surfaces du même côté; et ils seront dans des sens contraires, quand le plan louchera les deux surfaces, l'une d'un côté, l'autre de l'autre. Enfin concevons que ce mouvement, qui est le seul qui puisse avoir encore lieu, continue jusqu'à ce que le plan touche la troisième surface en un certain point : alors la position du plan sera arrêtée; et il ne pourra plus se mouvoir sans cesser d'être tangent à l'une des trois surfaces.

On voit donc que pour déterminer la position d'un plan, au moyen de contacts indéterminés avec des surfaces courbes données, il en faut en général trois. Ainsi, si l'on se proposait de mener un plan tangent à une surface courbe donnée, cette condition n'équivaudrait qu'à une seule des trois auxquelles le plan peut satisfaire : on pourrait donc encore en prendre deux autres à volonté, et, par exenqde, faire passer le plan par deux points donnés, ou, ce qui revient au même, par une droite donnée. S'il fallait que le plan fût tangent en même temps à deux surfaces, il y aurait deux conditions employées; il n'y en aurait plus qu'une disponible, et l'on ne pourrait assujétir de plus le plan qu'à passer par un point donné. Enfin, si le plan devait toucher en même temps trois surfaces données, on ne pourrait plus disposer d'aucune condition, et. sa position serait déterminée.

Ce que nous venons de dire regarde les surfaces courbes en général; il faut néanmoins en excepter ce qui a rapport à toutes les surfaces cylindriques, à toutes les surfaces coniques, et à toutes les surfaces développables ; car, pour ce genre de surfaces, le contact avec un pian n'est pas réduit à un point unique; il s'étend tout le long d'une droite indéfinie qui se confond avec la génératrice dans une de ses positions. La propriété qu'aurait un plan de toucher une seule de ces surfaces, équivaudrait à deux conditions, puisqu'elle l'assujétirait à passer par une droite; et il ne resterait plus qu'une seule condition disponible, comme, par exemple, de passer par un point donné. On ne pourrait donc pas proposer de mener un plan qiii fût en même temps tangent à deux de ces surfaces,

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et à plus forlo raison à trois, à moins qu'il n'y eût quelcjucs circonstances parlicuiicres qui rendissent ces conditions compatibles.

.'j3. Il nVst peut-êlre ])as inutile, avant, «(ue d'aliir plus loin, de donner quelques exemples de la nécessité où l'on peut être de nuMier des plans tangents à des surfaces courbes par des points pris au dehors d'elles. Nous prendrons le premier de ces exemples dans la construction des fortifications.

rA)rsqu'on expose les principes généraux de la fortilicalion, on suppose d'abord (pie, dans tous les sens, le terrain qui environne la place forte à la portée du canon soit horizontal, et ne présente aucune éminence qui puisse donner quelque avantage à l'assiégeant : puis, dans cette hypothèse, on détermine le tracé du corps de place, des demi-lunes, des chemins couverts, et des ouvrages avancés; et l'on indique les commandements que les difïércntcs parties de la fortification doivent avoir les unes sur les autres, afin qu'elles contribuent toutes, de la manière la plus ellicace, à leur défense réciproque. Ensuite, pour faire l'application de ces principes au cas où le terrain qui environne la place présenterait quelque liautiur dont l'assiégeant pourrait profiter, et de laquelle il faudrait que la fortification fût défilée, il ne reste plus qu'une considération nouvelle. S'il n'y a qu'une seule hauteur, on choisit dans la place deux points par lesquels on conçoit un plan tangent à la hauteur de laquelle on veut se défiler : ce plan tangent se nomme phin de défilement; et l'on donne à toutes les parties de la fortification le même relief au-dessus du plan de défile-

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ment, qu'elles auraient eu au-dessus du plan horizontal, si le terrain eût été de niveau : par là elles ont les unes sur les autres, et toutes ensemble sur la hauteur voisine, le mêiiK; commandement que sur un terrain horizontal; et !a fortification a les mêmes avantages que dans le premier cas. Quant au choix des deux points par lesquels doit passer le plan de défilement, il doit satisfaire aux deux conditions suivantes : i'^ que l'angle forjnc par le pian avec l'horizon soit le plus petit possible, afin que les terre-pleins ayant moins de pente, le service de la défense rencontre moins de diiïicultés; 2^ que le relief de la fortification au-dessus du terrain naturel soit aussi le plus petit possible, afin que sa construction entraîne moins de travail et moins de dépense.

Si, dans les environs de la place, il y a deux hauteurs desquelles la fortification doive être en même temps défilée, le plan de défil(;nu nt doit être en même temps langent aux surfaces de ces deux éminences : il ne reste plus, pour fixer sa position, qu'une seule condition disponible, et l'on en dispose; c'est-à-dire, on choisit dans la place le point par lequel ce plan doit passer, de manière que l'on satisfasse le mieux possible aux conditions énoncées dans le premier cas.

^Î4. Le second exemple que nous rapporterons sera encore pris dans la peinture.

Les surfaces des corps, surtout lorsqu'elles sont polies, présentent des points brillants, d'un éclat comparable à celui du corps lumineux qui les éclaire. La vivacité de ces points est d'autant plus grande, et leur étendue est d'autant plus petite, que les surfaces sont

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plus polies. Lorsque les surfaces sont mates, les points brillants ont beaucoup moins d'éclat, et ils occupent une partie plus grande de la surface.

Pour chaque surface, la position du point brillant est déterminée par la condilion suivante : que le rayon de lumière incident, et le rayon réfléchi dirigé ù Tœil du spectateur, soient dans un même plan pcr- ]);'ndiculaire au plan tangent en ce point, et fassent avec ce plan des angles égaux, parce que le point brillant de la surface fait fonction de miroir, et renvoie à l'œil une partie de l'image de robjel lumineux. La détermination de ce point exige une extrême précision ; et quand même le dessin serait de la plus grande correction, quand même les contours apparents seraient tracés avec une exactitude mathématique, la moindre erreur commise dans la position du point brillant en apporterait de très grandes dans l'apparence des formes. Nous n'en apporterons qu'une seule preuve, mais bien frappante.

La surface du globe de l'œil est polir; elle est de plus enduite d'une légère couche d'humidité qui en rend le poli plus parfait : aussi lorsqu'on observe un œil ouvert, on voit sur sa surface un point brillant d'un grand éclat, d'une très petite étendue, et dont la position dépend de celle de l'objet éclairant et de l'observateur. Si la surface de l'œil était parfaitement sphérique, l'œil pourrait tourner autour de son axe vertical, sans que la position du point brillant éprouvât le moindre changement : mais cette surface est allongée dans le sens de l'axe de la vision: et lorsqu'elle tourne autour de l'axe vertical, la position du point brillant change. Un long exercice nous ayant rendus très sen-

?:ib]es à ce changement, il entre pour beaucoup dans le jugement que nous portons sur ]a direction du globe de l'œil. C'est principalement par la différence des positions des points brillants sur les globes des deux yeux d'une personne, que nous jugeons si elle louche ou si elle ne louche pas; que nous reconnaissons qu'elle nous regarde, et, lorsqu'elle ne nous regarde pas, de quel côté elle porte la vue.

En rapportant cet exemple, nous ne prétendons pas que, dans un tableau, il faille déterminer géométriquement la position du point brillant sur le globe de l'œil; nous avons seulement l'inlention de faire voir comment de légères erreurs dans la position de ce point en apportent de considérables dans la forme apparente de l'objet, quoique d'ailleurs le tracé de son contour apparent reste le même.

35. Passons actuellement à la détermination des plans tangents aux surfaces courbes menés par des points pris au dehors d'elles.

La surface de la sphère est une des plus simples que Ton puisse considérer; elle a des générations communes avec un grand nombre de surfaces différentes : on pourrait, par exemple, la ranger parmi les surfaces de révolution, et ne rien dire de parUculicr pour elle. Mais sa régularité donne lieu à des résultats remarquables, dont quelques-uns sont piquants par leur nouveauté, et dont nous allons nous occuper d'abord, moins pour eux-mêmes, que pour acquérir, dans l'observation des trois dimensions, une habitude dont nous aurons besoin pour des objets plus généraux et plus utiles.

GÉOMÉTRIE OF-SCRIPTIVE. ()3

36. Première <^>uEsrioN. — Par une droite donnée mener un plan tangent à la surface d'une sphère donnée ?

Svlullon. — Première manière. — Soient A et a [fig. i6) les deux projections du centre de la sphère; BCD, la projection du grand cercle horizontal; EF et r/, les deux projections indéfinies de la droite donnée. Soit conçu, par le centre de la sphère, un plan perpendiculaire à la droite, et soient construites, par la méthode que nous avons donnée (fig. 6), les projections G et i^ du point de rencontre de la droite avec le ])IiUi.

Cela posé, il est évident que, par la droite donnée, on peut mener à la sphère deux plans tangents dont le premier la touchera d'un côté, le second la touchera de l'autre, et entre lesquels elle sera placée; ce qui déterminera deux points de contact diiïérents, dont il s'agit d'abord de construire les projections.

Pour cela, si, du centre de la sphère, on conçoit: une perpendiculaire abaissée sur chacun des deux plans tangi'nts, chacune d'elles aboutira au point de contact de la surface de la sphère avec le plan correspondant; et elles seront toutes deux dans le plan perpendiculaire à la droite donnée : donc les deux points de contact seront dans la section de la sphère par le plan perpendiculaire; section qui sera la circonférence d'un des grands cercles de la sphère, et à laquelle seront tangentes les deux sections faites dans les pians tangents par le même plan.

Si, dans le pran perpendiculaire, et par le centre de la sphère, on conçoit une horizontale, dont on aura la projectioA verticale en menant l'horizontale a/i, et

dont on aura l'autre projection en abaissant sur EF la perpendiculaire AH; et si Ton conçoit que le plan perpendiculaire tourne autour de cette horizontale comme charnière, jusqu'à ce qu'il devienne lui-même horizontal; il est évident que sa section avec la surface de la sphère viendra se confondre avec la circonférence BGD, que les deux points de contact seront alors sur cette circonférence, et que si l'on construisait le point J, où la rencontre du plan perpendiculaire avec la droite donnée vient s'appliquer par ce mouvement, les tangentes JC, JD, menées au cercle BGD, détermineraient ces doux points de contact dans la position où on les considère alors. Or, il est facile de construire le point J, ou, ce qui revient au même, de trouver sa distance au point H : car la projection horizontale de cette distance est GII, et la différence des hauteurs verticales de ses extrémités est gg' ; donc, si l'on porte GH sur l'horizontale ah de g' en /t, l'hypoténuse hg sera la grandeur de cette distance; donc, portant gh sur EF de H en J, et menant les deux tangentes JC, JD, les deux points de contacts C, D seront déterminés dans la position qu'ils ont prise, lorsque le plan perpendiculaire a été abattu sur le plan horizontal. Actuellement, pour trouver leurs projections dans la position qu'ils doivent avoir naturellement, il faut concevoir que le plan perpendiculaire retourne à sa position primitive, en tournant encore autour de l'horizontale AH comme charnière, et qu'il entraîne avec lui le point J, les deux tangentes JC, JD, prolongées jusqu'à ce qu'elles coupent AH en des points K, K', et la corde CD qui coupera aussi la même droite AH en un point N. Il est évident que, dans ce mouve-

MO.NGK. — 1. 5

ment, les points K, K' et N, qui sont sur la charnière, seront fixes, et que les deux points de contact C, D décriront des arcs de cercle qui seront dans des plans perpendiculaires à la charnière, et dont on aura les projections horizontales, en abaissant des points C, D, sur AH, les perpendiculaires indéfinies CP, DQ. Donc les projections horizontales des deux points de contact se trouveront sur les deux droites CP, DQ. Mais dans le mouvement rétrograde du plan perpendiculaire, les deux tangentes JGK', JKD ne cessent pas de passer par les points de contact respectifs; et lorsque ce plan est parvenu dans sa position primitive, le point J se trouve de nouveau projeté en G, et les deux tangentes sont projetées suivant les droites GK', GK. Donc ces deux dernières droites doivent aussi contenir chacune la projection horizontale d'un des points de contact, donc enfin les intersections de ces deux droites, avec les droites respectives CP, DQ, détermineront les projections horizontales D et S des deux points de contact qui se trouveront avec le point N sur une même ligne droite.

Poul" trouver les projections verticales des mêmes points, on mènera d'abord sur LM les perpendiculaires indéfinies Rr, S s; puis si l'on projette les points K, K', en A-, A', et si, par le point g, on mène les droites gA', gA', on aura les projections verticales des deux mêmes tangentes. Ces droites contiendront donc les projections des points de contact respectifs; donc les points r, s de leurs intersections avec les verticales Rr, S 5 seront les projections demandées.

Les projections horizontales et verticales des deux points de contact étant trouvées, pour construire sur

1r plan horizontal les traces des deux plans tangents, on concevra, par chacun des points de contact, une parallèle à la droite donnée. Ces droites seront dans les plans tangents respectifs, et Ton aura leurs projections horizontale et verticale en menant RU, SV parah lèles à EF, et rw, s<^ parallèles à ef. On construira, sur le plan horizontal, la trace T de la droite donnée, et les traces U, V des deux dernières droites; et les droites TU, TV seront les traces des deux plans tangents.

Au lieu de concevoir, par les points de contact, de nouvelles lignes droites, on pourrait trouver les traces des deux tangentes GR, GS, qui rempliraient le nienic but. Quant aux traces des deux mêmes plans avec le plan vertical, on les trouvera par la méthode que nous avons déjà souvent employée.

Cette solution pourrait être rendue beaucoup plus élégante, en faisant passer les deux plans de projection par le centre même de la sphère. Par là les deux projections de la sphère se confondraient dans le même cercle, et les prolongements des lignes droites seraient moins longs. Nous n'avons séparé les deux projections que pour mettre plus de clarté dans l'exposition. Il est facile actuellement de donner à la construction tonte la concision dont elle est susceptible.

37. Seconde manière. — Soient A et a (/?g. 17) les deux projections du centre de la sphère, AB ou ah son rayon, BGD la projection de son grand cercle horizontal, et EF, ef les projections de la droite donnée. Si l'on conçoit le plan du grand cercle horizontal prolongé jusqu'à ce qu'il coupe la droite donnée en un certain point, on aura la projection verticale de ce plan

en menant par le point a l'horizontale indéfinie bag; le point g, où cette horizontale coupera e/, sera la projection verticale du point de rencontre du plan avec la droite donnée, et l'on aura la projection horizontale G de ce point, en projetant g sur EF.

Cela posé, si, en prenant ce même point pour sommet, on conçoit une surface conique qui enveloppe la sphère, et dont toutes les droites génératrices la touchent chacune en un point, on aura les projections des deux droites génératrices horizontales de cette surface conique en menant par le point G les deux droites GC, GD, tangentes au cercle BCD, et qui le toucheront en deux points C, D, qu'il sera facile de déterminer. La surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d'un cercle, dont la droite CD sera le diamètre, dont le plan sera perpendiculaire à l'axe du cône, et par conséquent vertical, et dont la projection horizontale sera la droite CD.

Si, par la droite donnée, on conçoit deux plans tangents à la surface conique, chacun d'eux la touchera suivant une de ces droites génératrices, qui sera en même temps sur la surface conique et sur le plan; et parce que cette droite génératrice touche aussi la surface de la sphère en un de ses points qui se trouve sur la circonférence du cercle projeté en GD, il s'ensuit que ce point est en même temps sur la surface conique, sur le plan qui la touche, sur la surface de la sphère, et sur la circonférence du cercle projeté en CD, et qu'il est un point de contact commun à tous ces objets. Donc; i°les deux plans tangents à la surface conique sont aussi tangents à la surface de la sphère, et sont ceux dont il faut déterminer la position; 2^ leurs

points de contact avec la sphère, étant dans la circonférence du cercle projeté en CD, seront eux-mêmes projetés quelque part sur cette droite; 3° la droite qui passe par les deux points de contact, étant comprise dans le plan du même cercle, sera projetée elle-même indéfiniment sur CD.

Actuellement, faisons pour le plan d'un grand cercle, parallèle à celui de la projection verticale, la même opération que nous venons de faire pour le plan du grand cercle horizontal. La projection horizontale de ce plan sera la droite BAH, indéfiniment parallèle à LM; le point où il rencontre la droite donnée sera projeté horizontalement à l'intersection H des deux droites EF, BAH; et l'on aura sa projection verticale en projetant le point H sur ef en h. Si l'on conçoit une nouvelle surface conique dont le sommet soit en ce point de rencontre, et qui enveloppe la sphère comme la première, on aura les projections verticales des deux droites génératrices extrêmes de cette surface, en menant parle point A, au cercle 6 Kl, les tangentes ^K, h I, qui le toucheront en des points K, I, que l'on déterminera. Cette seconde surface conique touchera celle de la sphère dans la circonférence d'un nouveau cercle dont Kl sera le diamètre, et dont le plan, qui sera perpendiculaire à celui de la projection verticale, sera par conséquent projeté indéfiniment sur Kl. La circonférence de ce cercle passera aussi par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents demandés; donc les projections verticales de ces deux points de contact seront quelque part sur Kl; donc aussi la droite qui joint ces deux points sera projetée sur la même droite KL

Ainsi la droite menée par les deux points de contaet est projetée horizontalement sur CD, et verticalement sur K 1 ; elle rencontre le plan du grand cercle horizontal en un point, dont la projection verticale est à l'interseclion n de Kl, avec bag, et dont on aura la projection horizontale N en piojetant le point n sur CD.

Cela fait, concevons que Je plan du cercle v« rtical, projeté en CD , tourne autour de son diamètre horizontal comme charnière, pour devenir lui-même horizontal, et qu'il entraîne avec lui, dans son mouvement, les deux points de contact par lesquels passe sa circonférence, et la droite qui joint ces deux points. On construira ce cercle dans cette nouvelle position, en décrivant sur CD, comme diamètre, le cercle CPDQ; et si l'on construisait la position que prend la droite des deux points de contact, elle couperait la circonférence CPDQ en deux points, qui les détermineraient sur cette circonférence considérée dans sa position horizontale.

Or, le point N de la droite des deux contacts, étant sur la charnière CD, ne change pas de position dans le mouvement. Cette droite doit donc encore passer parce point, lorsqu'elle est devenue horizontale. De plus, le point où elle rencontre le plan du grand cercle parallèle à la projection verticale, point dont la projection horizontale est à la rencontre 0 des deux droites CD BAH, et dont on aura la projection verticale t en projetant le point 0 sur Kl; ce point, dis-je, dans son mouvement autour de la charnière CD, décrit, un quart de cercle vertical perpendiculaire à CD, et dont le rayon est la verticale ot; donc, si l'on mène, par le point 0, une perpendiculaire à CD, et si, sur cette per-

CEOMéTRIE DESCRIPTIVE.

peiidiculaire, on porte ot de 0 en T, le point T sera un de ceux de la droite des contacts, lorsqu'elle est devenue horizontale. Donc, si, par les points N et T, on mène une droite, ses deux points de rencontre P, Q, avec la circonférence CPDQ, seront les deux points de contact considérés dans le plan vertical abattu.

Pour avoir les projections horizontales des deux mêmes points dans leurs positions naturelles, il faut concevoir que le cercle CPDQ retourne dans sa position primitive en tournant sur la même charnière CD. Dans ce mouvement, les deux points P, Q décriront des quarts de cercle dans des plans verticaux, perpendiculaires à CD, et dont les projections horizontales seront les perpendiculaires PR et QS, abaissées sur CD. Donc, les projections horizontales des deux points de contact seront respectivement sur les droites PR et QS : or, nous avons vu qu'elles devaient être aussi sur CD; donc elles seront aux deux points de rencontre R et S.

On aura les projections verticahîs r, s des deux mêmes points, en projetant les points R et S sur Kl; ou, ce qui revient au même, en portant sur les verticales Rr, S 5, à partir de l'horizontale bag, r' r égale à PR, et s' s égale à QS.

Les projections horizonlajes et verticales des deux points de contact étant construites, on déterminera les traces des deux plans tangents, comme dans la première solution.

Cette seconde solution peut aussi être rendue beaucoup plus concise en faisant passer les plans de projection par le centre de la sphère; ce qui réduit les deux projections à une même figure.

38. Ces dernières considérations vont nous conduire à la découverte de quelques propriétés remarquables du cercle, de la sphère, des sections coniques et des surfaces courbes du second degré.

Nous venons de voir que les deux surfaces coniques circonscrites à la sphère la touchaient chacune dans la circonférence d'un cercle, et que ces circonférences passaient toutes deux par les deux points de contact de la sphère avec les plans tangents. Cette propriété n'est point particulière aux deux surfaces coniques que nous avons considérées; elle convient à toutes celles qui auraient leur sommet dans la droite donnée, et qui seraient de même circonscrites à la sphère. Donc, si l'on conçoit une première surface conique qui, ayant son sommet sur la droite donnée, soit circonscrite à la sphère, et si l'on suppose que cette surface se meuve de manière que son sommet parcoure la droite, sans qu'elle cesse d'être circonscrite et tangente à la sphère; dans chacune de ses positions, elle touchera la sphère dans la circonférence d'un cercle ; toutes ces circonférences passeront par deux mêmes points, qui seront les contacts de la sphère avec les deux plans tangents; et les plans de ces cercles se couperont tous suivant une même ligne droite, qui sera celle des deux contacts. Enfin, si l'on conçoit le plan mené par la droite donnée et par le centre de la sphère, ce plan, qui passera par les axes de toutes les surfaces coniques, sera perpendiculaire aux plans de tous les cercles de contact, et par conséquent à la droite qui est leur commune intersection; et il coupera tous ces plans dans des lignes droites qui passeront par un même point.

Réciproquement, étant données une sphère et une

ligne droite, si l'on conçoit par la droite tant de plans qu'on voudra, qui couperont la sphère chacun suivant un cercle, et si, pour chacun de ces cercles, on conçoit la surface conique droite dont il serait la base, et qui serait circonscrite à la sphère, les sommets de toutes ces surfaces coniques seront dans une autre même ligne droite.

39. En considérant seulement ce qui se passe dans le plan mené par la droite donnée et par le centre de la sphère, on est conduit aux deux propositions suivantes, qui sont des corollaires immédiats de ce qui précède.

« Étant donnés dans un plan (fig. 18 et 19) un cercle dont le centre soit en A, et une droite quelconque BC; si, après avoir mené par un point quelcon(pic D de la droite deux tangentes au cercle, et la droite EF qui passe par les deux points de contact, on conçoit que le point D se meuve le long de la droite, et entraîne avec lui les deux tangentes, sans qu'elles cessent de toucher le cercle : les deux points de contact changeront de position, de même que la droite EF qui les joint; mais cette droite passera toujours par un même point N qui se trouve sur la perpendiculaire AG, abaissée du centre du cercle sur la droite.

« Réciproquement, si, par un point N pris dans le plan d'un cercle, on mène tant de droites EF qu'on voudra, qui couperont chacune la circonférence du cercle en deux points, et si, par ces deux points, on mène au cercle deux tangentes ED, FD, qui se couperont quelque part en un point D, la suite de tous les points d'intersection trouvés de la même manière sera

\ ^ FiiT /.•>'

Fi^ -Ji)

sur une même ligne droite BC perpendiculaire à AN. » Ce n'est pas parce que tous les points de la circonférence sont également éloignés du centre, que le cercle jouit de la propriété que nous venons d'énoncer, c'est parce qu'il est une courbe du second degré; et toutes les sections coniques sont dans le même cas.

En effet, soient AEBF (fig, 20) une section conique quelconque, et CD une droite quelconque donnée dans son plan : concevons que la courbe tourne autour d'un de ses axes AB pour engendrer une surface de révolution, et concevons les deux plans tangents à cette surface menés par la droite CD; les deux plans auront chacun leur point de contact particulier. Cela posé, si, en prenant pour sommet un point quelconque H de la droite CD, on conçoit la surface conique circonscrite et tangente à la surface de révolution, elle touchera cette dernière surface dans une courbe qui passera nécessairement par les deux points de contact avec les plans tangents. Cette courbe sera plane; son plan, qui sera perpendiculaire à celui de la section conique donnée, sera projeté sur ce dernier, suivant une droite EF; et cette droite passera par les points de contact des tangentes à la section conique, menées par le point H. Actuellement, si l'on suppose que le sommet H de la suiface conique se meuve sur la droite CD, sans que cette surface cesse d'être circonscrite et tangente à la surface de révolution; dans chacune de ses positions, sa courbe de contact aura les mêmes propriétés de passer par les deux points de contact avec les plans tangents, d'être plane et d'avoir son plan perpendiculaire à la section conique. Donc les plans de toutes les courbes de contact passeront par

la droite qui joint les deux points de contact, et qui est elle-même perpendiculaire au plan de la section conique ; donc enfin les projections de tous les plans seront des lignes droites qui passeiont toutes par la projection N de la droite qui joint les deux points de contact.

40. Enfin, cette proposition n'est elle-même qu'un cas particulier d'une autre plus générale qui a lieu dans les trois dimensions, et que nous nous contenterons d'énoncer ici.

« Etant données dans l'espace une surface courbe quelconque du second degré, et une surface conique circonscrite qui la touche, et dont le sommet soit en un point quelconque; si la surface conique se meut sans cesser d'être circonscrite à la première surface et de la toucher, de manière cependant que son sommet parcoure une droite quelconque, le plan de la courbe de contact des deux surfaces passera toujours par une même ligne droite (qui sera déterminée par les contacts de la surface du second degré avec les deux plans tangents qui passent par la droite des sommets) ; et si la surface conique se meut de manière que son sommet soit toujours dans un même plan, le plan de la courbe de contact passera toujours par un même point. »

41. Seconde question. — Par un point donné, mener un plan tangent à la fois aux surfaces de deux sphères données ?

Solution. — Soient A, a {fig. 21) les deux projections du centre de la première sphère; B, è,

celles du centre de la seconde ; et G, c, celles du point donné. Après avoir mené les droites indéfinies AB a6, projections de celle qui passerait par les deux centres, et après avoir construit les projections GEF, ge/, HIK, hik des grands cercles des deux sphères parallèles aux plans de projection, on concevra une surface conique circonscrite à la fois aux deux sphères, et qui les touche toutes deux. Cette surface aura son sommet dans la droite qui passe par les deux centres. On mènera aux deux cercles GEF, HIK les deux tangentes communes EH, FK, qui se couperont en un point D de la droite AB; et ce point sera la projection horizontale du sommet du cône : on aura la projection verticale du même point, en projetant le point D en d! sur le prolongement de ab. Enfin, on mènera les projections CD, cd de la droite menée par le sommet du cône et par le point donné. Cela posé, si par cette dernière droite on conçoit deux plans tangents à la surface conique, ils la toucheront chacun en une de ses droites génératrices ; et, par conséquent, ils seront tous deux tangents en même temps aux deux sphères. La question est donc réduite à mener, par la droite qui passe par le sommet du cône et par le point donné, deux plans tangents à la surface d'une des sphères, ce qui s'exécutera comme dans la question précédente, et les deux plans seront en même temps tangents à la seconde sphère.

Il faut observer que l'on peut concevoir deux surfaces coniques circonscrites aux deux mêmes sphères. La première les enveloppe toutes deux en dehors, et a son sommet au delà d'une des sphères par rapport à l'autre : les plans tangents à cette surface conique

touchent chacun les deux sphères du même côté. La seconde surface conique enveloppe les sphères, l'une en dedans, l'autre en dehors, et a son sommet entre les deux centres. On trouve la projection horizontale D' de ce sommet en menant aux cercles EFG et HIK les deux tangentes intérieures qui se coupent en un point de la droite AB; et l'on a sa projection verticale en projetant le point D' en d' sur ab. Les deux plans tangents menés à cetle surface conique touchent aussi cliacun les deux sphères; mais ils touchent la première d'un côté, et la seconde de l'autre. Ainsi quatre plans dilïérents peuvent satisfaire à la question : pour deux d'entre eux, les deux sphères sont du même côté du plan; pour les deux autres, elles sont de côtés différents.

42. Troisième question. — Mener un plan tangent en même temps à trois sphères données de grandeur et de position ?

Solution. — Concevons le plan tangent en même temps aux trois sphères, et imaginons d'abord une surface conique circonscrite aux deux premières sphères, et qui les touche toutes deux; le plan tangent touchera cette surface conique le long d'une de ses droites génératrices, et passera par le sommet du cône. Si l'on imagine une seconde surface conique circonscrite à la première sphère et à la troisième, le même plan tangent la touchera de même le long d'une de ses droites génératrices, et passera, par conséquent, par son sommet. Enfin, si l'on conçoit une troisième surface conique qui embrasse et touche la seconde sphère et la troisième,

8o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

le plan tangent la touchera encore le long d'une de ses droites génératrices, et passera par son sommet. Ainsi les sonimets des trois surfaces coniques seront dans le plan tangent; mais ils seront aussi dans le plan qui passe par les centres des sphères, et qui contient les trois axes : donc ils seront en même temps dans deux plans différents ; donc ils seront en ligne droite. Il suit de là que si l'on construit, comme nous l'avons indiqué dans la question précédente, les projections horizontales et verticales de ces sommets, dont deux suffisent, on pourra faire passer par ces projections celles d'une droite qui se trouve sur le plan tangent. La question se réduit donc à mener par une droite donnée un plan tangent à celle des trois sphères qu'on voudra ; ce qui s'exécutera par les méthodes précédentes, et ce plan sera tangent aux deux autres.

43. Il faut observer que, puisqu'on peut toujours concevoir pour deux sphères quelconques deux surfaces coniques qui les enveloppent et les touchent toutes deux, la première ayant son sommet au delà d'un des centres par rapport à l'autre, la seconde ayant son sommet entre les deux centres, il est évident que, dans la question précédente, il y aura six surfaces coniques, dont trois seront circonscrites en dehors aux trois sphères prises deux à deux, et dont trois auront leurs sommets entre les sphères. Les sommets de ces six cônes seront distribués trois par trois sur quatre droites, par chacune desquelles on pourra mener deux plans tangents en même temps aux trois sphères. Ainsi huit plans différents satisfont à cette troisième question : deux d'entre eux touchent les trois sphères

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 8l

du même côté par rapport à eux; les six autres sont tellement placés, qu'ils touchent deux des sphères d'un côté, et la troisième de l'autre.

44. Ces considérations nous conduisent à la proposition suivante :

« Trois cercles quelconques étant donnés de grandeur et de position sur un plan (/îg. 22), si, en les considérant deux à deux, on leur mène les tangentes extérieures prolongées jusqu'à ce qu'elles se coupent, les trois points d'intersection D, E, F, qu'on obtiendra de cette manière, seront en ligne droite. »

Car si l'on conçoit les trois sphères dont ces cercles sont les grands cercles, et un plan qui les touche toutes les trois extérieurement, ce plan touchera aussi les trois surfaces coniques circonscrites aux sphères considérées deux à deux, et passera par leurs trois sommets D, E, F. Mais ces trois sommets sont aussi sur le plan des trois centres : donc ils sont sur deux plans différents, et par conséquent en ligne droite. « Si aux mêmes cercles, considérés deux à deux, on mène les tangentes intérieures qui se croiseront, les trois nouveaux points d'intersection G, H, I seront deux à deux en ligne droite avec un xles trois premiers, en sorte que les six points D, E, F, G, H, I seront les intersections des quatre droites. »

Enfin, cette proposition n'est qu'un cas particulier de la suivante, qui a lieu dans les trois dimensions.

« Quatre sphères quelconques étant données de grandeur et de position dans l'espace, si l'on conçoit les six surfaces coniques qui sont circonscrites extérieurement à ces sphères considérées deux à deux, les

ilUNGK. — I. 6

sommets des six cônes seront dans un même plan et aux intersections de quatre droites; et si l'on conçoit les six autres surfaces coniques circonscrites intérieurement, c'est-à-dire, qui ont leurs sommets entre les centres de deux sphères, les sommets de ces six nouveaux cônes seront trois par trois dans un même plan avec trois des premiers.

45. Quatrième question. — Par un point pris arbitrairement, mener un plan tangent à une surface cylindrique donnée ?

Solution. — 'Soit EiFK {flg. 23) la trace de la surface cylindrique sur le plan horizontal, trace que nous supposons donnée. Soient AB, ah les deux projections données de la droite à laquelle la génératrice doit toujours être parallèle, et C, c celles du point donné. Si par ce point on conçoit une parallèle à la droite génératrice, cette droite sera dans le plan tangent demandé; et les points dans lesquels elle coupera les plans de projection seront sur les traces du pian tangent. Donc, si par ce point C on mène CD parallèle à AB et, par le point c, cd parallèle à aè, on aura les deux projections de cette droite ; et si, après avoir prolongé cd jusqu'à ce qu'elle rencontre LM en un point d, on projette le point c^ en D sur CD, le point D sera la rencontre de cette droite avec le plan horizontal, et par conséquent un point de la trace du plan tangent. Or, la trace horizontale du plan tangent doit être tangente à la courbe EIFK; donc, si par le point D on mène à cette courbe toutes les tangentes possibles, DE, DF, etc., on aura les traces horizontales de tous

Fis 23

les plans tangents qui peuvent passer par le point donné. Si par les points de contact E, F, etc., on mène à AB les parallèles indéfinies EG, FH, etc., on aura les projections horizontales des droites génératrices, dans lesquelles les différents plans tangents touchent la surface cylindrique; enfin on aura les projections verticales eg, /^, etc. de ces génératrices ou de ces droites de contact, en projetant les points E, F, etc. sur le plan vertical en e, /, etc., et en menant par ces derniers points des parallèles indéfinies à ab. Quant aux traces des plans tangents sur le plan vertical, on les trouvera par le procédé de la figure 12.

46. Cinquième question. — Par un point pris arbitrairement, mener un plan tangent à une surface conique donnée ?

Gomme la solution de cette question diffère très peu de. celle de la précédente, nous nous contenterons d'en indiquer la construction dans la figure 24, où la courbe EGFH est la trace donnée de la surface conique, où A et a sont les projections données du sommet, et où G et c sont celles du point donné par lequel le plan tangent doit passer.

47. Sixième question. — Par une droite donnée, mener un plan tangent à une surface de révolution donnée ?

Solution. — Nous supposerons que l'axe de la surface de révolution soit perpendiculaire à l'un des deux plans de projection, ce qui n'altérera pas la généralité de la solution, parce qu'on est toujours le maître de

disposer de la position de ces plans, de manière que cette condition soit remplie.

Soient donc A {fig. 25) la projection horizontale donnée de Taxe de la surface, aa' sa projection verticale, apia' la courbe génératrice de la surface, vt BC, bc les deux projections données de la droite par laquelle le plan tangent doit passer. Du point A soit abaissée sur BC la perpendiculaire AD, qui sera la projection horizontale de la plus courte distance entre l'axe et la droite donnée, et soit projeté le point D en ^ sur bc.

Cela posé, concevons d'abord que le plan tangent soit mené ; puis supposons que la droite donnée tourne autour de l'axe de révolution, sans changer de distance à cet axe, sans changer d'inclinaison sur le plan horizontal, et qu'elle entraîne avec elle le plan tangent, de manière qu'il touche toujours la surface : il est évident qu'en vertu de ce mouvement, le point de contact de la surface et du plan changera de position : mais, parce que le plan tangent garde toujours la même inclinaison, ce point de contact ne changera pas de hauteur sur la surface, et il se mouvTa dans la circonférence d'un cercle horizontal, dont le centre sera dans Taxe. De plus, la droite donnée engendrera par son mouvement une seconde surface de révolution autour du même axe, à laquelle le plan tangent sera lui-même tangent dans toutes ses positions.

En effet, concevons un plan par Taxe et par le point de contact du plan tangent avec la première surface : ce plan coupera la droite génératrice en un point qui sera celui du contact du même plan tangent avec la seconde j car indépendamment de la droite génératrice

8b LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

par laquelle il passe en ce point, il passe encore par la tangente du cercle horizontal au même point, puisqu'il passe aussi par la tangente du cercle horizontal au point de contact avec la première surface, et que, par la propriété des surfaces de révolution, ces deux tangentes sont parallèles.

Comme c'est au moyen de la seconde surface de révolution que nous devons résoudre la question, il est nécessaire de construire la courbe suivant laquelle elle est coupée par un plan mené par l'axe; et nous supposerons que ce plan soit parallèle au plan vertical de projection, et par conséquent projeté sur le plan liorizontal dans une droite AF parallèle à LM.

Soit pris sur la droite donnée un point quelconque, dont les projections soient E et e, et cherchons le point dans lequel il rencontre le plan de la section dans son mouvement. D'abord ce point décrira autour de l'axe de révolution un arc de cercle horizontal, dont on aura la projection horizontale en décrivant du point A comme centre, et de l'intervalle AE, l'arc EF, jusqu'à ce qu'il rencontre la droite AF quelque part en un point F; et l'on aura la projection verticale de cet arc en menant par le point e l'horizontale indéfinie cf. Le point F sera donc la projection horizontale de la rencontre du point décrivant avec le plan de la section : donc, si l'on projette le point F en / sur e/, le point / sera la projection verticale de cette rencontre, et par conséquent un point de la section. Si l'on fait les mêmes opérations pour tant d'autres points qu'on voudra, pris sur la droite donnée, on aura autant de points g, /, r, n, par lesquels on fera passer la courbe demandée.

Cela fait, supposons que la droite donnée et le plan tangent, par leur rotation simultanée autour de l'axe, soient parvenus dans une position telle, que le plan tangent soit perpendiculaire au plan vertical de projection. Dans cette position, sa projection sur ce plan sera une ligne droite, et cette droite sera tangente en même temps aux deux courbes apia\ grnf. Si donc on mène à ces deux courbes toutes les tangentes communes, telles que gi, np, on aura les projections de tous les plans tangents qui satisfont à la question, et considérés dans la position qu'ils ont prise, lorsque par la rotation ils sont devenus successivement perpendiculaires au plan vertical. Les points de contact i, p de ces tangentes avec la génératrice de la première surface détermineront les hauteurs de ceux de cette surface avec tous les plans tangents : par conséquent, si par ces points on mène les horizontales indéfinies it, ps, elles contiendront les projections verticales des points de contact de la surface avec les plans; et si du point A comme centre, et avec des rayons égaux respectivement à it et à ps^ on décrit des arcs de cercle IK, PQ, ces arcs contiendront les projections horizontales des mêmes points. Il ne reste donc plus, pour achever de les déterminer, qu'à trouver sur quels méridiens de la surface de révolution ils doivent se trouver : c'est ce à quoi doivent servir les points de contact g, n.

Pour cela, après avoir projeté les points g, n sur AG, en G et N, si du point A comme centre, et avec des intervalles successivement égaux à AG et AN, on décrit les arcs de cercle GH, NO, jusqu'à ce qu'ils coupent la droite BG en des points H et 0, ces arcs

expriment la quantité de rotation que, pour chaque plan tangent, la droite qui passe par ses contacts avec les deux surfaces a été obligée de faire pour se transporter dans le plan vertical parallèle à celui de projection. Donc on aura les projections horizontales de ces mêmes droites, considérées dans leurs positions naturelles, en menant par le point A les droites AH, AO; donc enfin les points K, Q, où les dernières droites coujxront les arcs correspondants IK, PQ, seront les projections horizontales des points de contact de la première surface avec les plans tangents menés par la droite donnée.

Quant aux projections verticales des mêmes points, on les aura en projetant les points K, Q, en /f, ç, sur les horizontales respectives it, ps.

Les projections horizontales et verticales des points de contact étant déterminées, on construira les traces de tous les plans tangents par les mêmes méthodes que nous avons déjà employées.

Cette méthode peut facilement se généraliser eL s'appliquer aux surfaces engendrées par des courbes quelconques, constantes de formes et variables de positions dans l'espace.