Soit KA a D [fig. 44) ^iii^ courbe à double

courbure quelconque tracée dans l'espace. Par un point A de cette courbe soit conçu un plan MNOP perpendiculaire à la tangente en A; par le point a infiniment proche soit pareillement imaginé un plan mnPO perpendiculaire à la tangente en a; ces deux plans se couperont en une droite OP qui sera l'axe du cercle dont le petit arc Aa de la courbe peut être censé faire partie : de manière que si, des points A, «, on abaisse deux perpendiculaires sur cette droite, ces perpendiculaires, égales entre elles, la rencontreront en un même point G qui sera le centre de ce cercle. Tous les autres points g, g\ g" y ... de cette droite seront chacun à égales distances de tous les points de l'arc infiniment petit A a, et pourront par conséquent en être regardés comme les pôles. Ainsi, si d'un point quelconque g de cet axe on mène deux droites aux points A, a, ces droites gA, ga seront égales entre elles, et formeront avec l'axe des angles AgO, agO, égaux entre eux; en sorte que si l'on voulait définir la courbure de la courbe au point A, il faudrait donner la longueur du rayon de courbure AG, et que s'il s'agissait d'assigner le sens de la courbure, il faudrait donner la position du centre G dans l'espace. Mais s'il est simplement question de décrire le petit arc, il suffira également ou de faire tourner la droite A g autour de l'axe, sans altérer l'angle AgO qu'elle fait avec lui, ou de faire tourner le rayon de courbure AG perpendiculairement à cet axe.

Ainsi la droite OP peut être regardée comme la ligne des pôles de l'élément Aa; le centre de courbure de cet élément est celui de ses pôles dont la distance à l'élément est un minimum^ enfin son rayon de cour-

bure est la perpendiculaire AG, abaissée de l'élément sur la ligne des pôles.

109. Que l'on fasse actuellement sur tous les points de la courbe à double courbure la même opération que l'on vient de faire sur un de ses éléments, c'est-à-dire que par tous les points consécutifs A, A', A", A'", etc. {fig. 45) l'on fasse passer des plans MNOP, perpendiculaires chacun à la tangente de la courbe au point où il la coupe; le premier de ces plans rencontrera le second dans une droite OP qui sera le lieu géométrique des pôles de l'arc AA'; le second rencontrera le troisième dans une droite O'P', lieu des pôles de l'arc A'A'', et ainsi de suite. Il est évident que le système de toutes les droites d'intersection, ou la surface courbe qu'elles forment par leur assemblage, sera le lieu géométrique des pôles de la courbe KAD; car cette courbe n'aura point de pôle qui ne soit sur la surface, et cette surface n'aura pas de point qui ne soit le pôle de quelqu'un des éléments de la courbe.

110. Avant que d'aller plus loin, il est nécessaire d'exposer quelques propriétés dont jouissent les surfaces de ce genre, indépendamment de la courbe qui a servi à leur formation.

Ces surfaces peuvent se développer sur un plan sans rupture et sans duplicature. En effet, les éléments tels que OPP'O', dont est composée la surface, sont des portions de plans infiniment étroites, et qui se joignent successivement par des lignes droites. On peut donc toujours concevoir que le premier de ces éléments OPP'O' tourne autour de O'P' comme charnière,

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 3y

jusqu'à ce qu'il soit dans le plan de l'élément suivant 0'P'P"0"; qu'ensuite leur assemblage tourne autour de O"?*, jusqu'à ce qu'il soit dans le plan du troisième et ainsi de suite. D'où l'on voit que rien n'empêche que de cette manière tous les éléments de la surface ne viennent sans rupture se ranger dans un même plan.

De même que les plans normaux à la courbe KAD, par leurs intersections successives, forment une surface courbe, à laquelle ils sont tous tangents, pareillement les lignes droites dans lesquelles ils se coupent se rencontrent successivement dans des points qui forment une courbe à double courbure, à laquelle toutes ces droites sont tangentes : car deux de ces droites consécutives sont les intersections d'un même plan normal, avec celui qui le précède et avec celui qui le suit immédiatement. Ces deux droites sont donc dans un même plan; elles se coupent donc quelque part en un point, et la suite de tous ces points de rencontre forme une courbe remarquable sur la surface développable. En effet, les droites consécutives, après s'être croisées sur la courbe qui les touche toutes, se prolongent au delà, et forment par leurs prolongements une nappe de surface, distincte de la nappe formée par les parties des mêmes droites avant leurs rencontres. Ces deux nappes se joignent sur la courbe qui est, par rapport à la surface entière, une véritable arête de rcbroussement.

Actuellement, du point A {fig. 45) de la courbe, par lequel passe le premier plan normal MNPO, soit menée dans le plan, et suivant une direction arbitraire, une droite A g jusqu'à ce qu'elle rencontre la section OP quelque part en un point g; par les points A' g, soit menée dans le second plan^normal la droite A' g

prolongée jusqu'à ce qu'elle rencontre la section O'P' en un point g'-, soit pareillement menée A" g'g'\ et ainsi de suite. La courbe qui passe par tous les points g, g'g'\ etc. est une développée de la courbe KAD; car toutes les droites A g, A' g', A" g" sont les tangentes de la courbe gg' g'\ puisqu'elles sont les prolongements des éléments de cette courbe. De plus, si l'on conçoit que la première, A g, tourne autour de OP, comme axe, pour venir s'appliquer sur la suivante, A' g, elle n'aura pas cessé d'être tangente à la courbe gg'g"; et son extrémité A, après avoir parcouru l'arc AA', se confondra avec l'extrémité A' de la seconde. Que l'on fasse de même tourner la seconde ligne. A' g', autour de O'P', comme axe, pour qu'elle vienne s'appliquer sur la troisième, A"g', elle ne cessera pas de toucher la courbe gg'g" et son extrémité A' ne sortira pas de l'arc A'A", et ainsi de suite. Donc la courbe gg'g" est telle, que si l'on conçoit qu'une de ces tangentes tourne autour de cette courbe sans cesser de lui être tangente et sans avoir de mouvement dans le sens de sa longueur, un des points de cette tangente décrira la courbe KAD; donc elle est une de ses développées. Mais la direction de la première droite Ag était arbitraire; et suivant quelque autre direction qu'on l'eût menée dans le plan normal, on aurait trouvé une autre courbe gg'^' qui aurait été pareillement une développée de la courbe KAD. Une courbe quelconque a donc une infinité de développées qui sont toutes comprises sur une même surface courbe.

Les droites A' g' et A" g' forment des angles égaux avec la droite O'P^; et l'élément g' g" étant le prolongement de la droite A" g\'^i\ s'ensuit que les deux élé-

ments c«tfisécutifs gg\ g'g" de la développée gg'g" forment des angles égaux avec la droite O'P' qui passe par leur point de rencontre. Or, lorsqu'on développe la surface pour l'appliquer sur un plan, les éléments de la développée ne cessent pas de faire les mêmes angles avec les droites O'P'; donc deux éléments consécutifs de la courbe gg' g'\ considérés dans la surface étendue sur un plan, forment des angles égaux avec une même ligne droite; donc ils sont dans le prolongement l'un de Taulre. Il suit de là que chacune des développées d'une courbe à double courbure devient une ligne droite, lorsque la surface qui les contient toutes est étendue sur un plan; donc elle est sur cette surface la plus courte qur l'on puisse mener entre ses extrémités.

i)\\ déduit de là un moyen facile d'obtenir une développée quelconque d'une courbe à double courbure, lorsqu'on a la surface développable qui les contient toutes. Pour cela, il suffit, par un point de la courbe, de mener un fil tangent à la surface et de plier ensuite ce fil sur la surface en le tendant : car, en vertu de la tension, il prendra la direction de la courbe la plus courte entre ses extrémités; il se pliera par conséquent sur une des développées.

111. On conçoit, d'après cela, comment il est possible d'engendrer, par im mouvement continu, une courbe quelconque à double courbure : car, après avoir exécuté la surface développable, touchée par tous les plans normaux de la courbe, si, du point donné dans l'espace et par lequel la courbe doit passer, on dirige <leux fils tangents à cette surface; et si, après les avoir

4o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

plies ensuite sur la surface en les tendant, o» les fixe par leurs autres extrémités; le point de réunion des deux fils qui aura la faculté de se mouvoir avec le plan tangent à la surface, sans glisser ni sur l'un des fils, ni sur l'autre, engendrera dans son mouvement la courbe proposée.

112. Tout ce que nous venons de dire, par rapport aux courbes à double courbure, convient également aux courbes planes, avec cette différence, seulement, que tous les plans normaux étant perpendiculaires au plan de la courbe, toutes les droites de leurs intersections consécutives sont aussi perpendiculaires au même plan, et par conséquent parallèles entre elles. La surface développable, touchée par tous ces plans normaux, est donc alors une surface cylindrique, dont la section perpendiculaire est la développée ordinaire de la courbe. Mais cette surface cylindrique contient de même toutes les développées à double courbure de la même courbe; et chacune de ces développées fait, avec toutes les droites génératrices de la surface cylindrique, des angles constants. Le filet d'une vis ordinaire est une des développées de la développante du cercle qui sert de base à la surface cylindrique sur laquelle il se trouve; et quelle que soit la hauteur du pas de la vis, si le diamètre du cylindre ne change pas, le filet sera toujours une des développées de la même courbe.

113. Après avoir exposé la théorie des courbes à double courbure, nous allons nous occuper des surfaces courbes. Cet objet est de nature à être traité avec

beaucoup plus de facilité par le secours de l'Analyse, que par la simple contemplation des propriétés de l'étendue : mais les résultats auxquels il conduit peuvent être utiles à des artistes que nous ne devons pas supposer familiarisés avec les opérations analytiques; nous allons donc essayer de les présenter en n'employant que des considérations géométriques. Cette mélhode introduira la clarté qui lui est particulière, mais aussi elle apportera de la lenteyr dans la marche.

Les surfaces, par rapport à leurs courbures, peuvent être divisées en trois grandes classes. La première comprend celles qui dans tous leurs points n'ont aucune courbure; les surfaces de ce genre se réduisent au plan, qui d'ailleurs peut être placé d'une manière quelconque dans l'espace. La seconde classe renferme toutes celles qui dans chacun de leurs points n'ont qu'une seule courbure; ce sont, en général, les surfaces développables, dont deux éléments consécutifs peuvent être regardés comme faisant partie d'une surface conique, même en regardant la grandeur de ces éléments comme indéfinie dans le sens de la génératrice de la surface conique. Enfin, toutes les autres surfaces courbes composent la troisième classe; dans chacun de leurs points, elles ont deux courbures distinctes et qui peuvent varier l'une indépendamment de l'autre. Commençons par considérer les surfaces courbes les plus simples, et d'abord les surfaces cylindriques.

114. Soit ABFE (fig. 46) une surface cylindrique indéfinie à base quelconque, sur laquelle

\l LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

on considère un point L pris arbitrairement. Par ce point concevons la droite génératrice CLG, et une section JLK faite par un plan perpendiculaire à la génératrice; cette section sera parallèle et semblable à la base de la surface. Enfin, par le point L concevons à la surface la normale LP; celte normale sera perpendiculaire à la génératrice CG, et par conséquent dans le plan de la section JLK ; de plus, elle sera perpendiculaire à la tangente de la section au point L, ou, ce qui comprend à la fois les deux conditions, elle sera perpendiculaire au plan tangent à la surface en L. Gela posé, si l'on prend sur la surface deux autres points infiniment voisins du point L, l'un M sur la génératrice CG, l'autre N sur la section perpendiculaire, et si par chacun de ces points on mène une nouvelle normale à la surface, ces deux normales MQ, NP seront chacune dans un même pian avec la première normale LP; mais ces plans seront différents pour les deux dernières normales. En effet, le plan tangent à la surface en li étant aussi tangent en M, les deux droites LP et MQ sont perpendiculaires au même plan; elles sont donc parallèles entre elles, et par conséquent dans un même plan. Ces droites parallèles peuvent être regardées comme concourant à l'infmi. Quant aux normales LP, NP, elles sont évidemment comprises dans le plan de la section perpendiculaire; elles concourent donc en un certain point P de ce plan; ainsi les deux plans qui contiennent les trois normales deux à deux sont non seulement différents, mais perpendiculaires à l'autre.