Actuellement, quelque autre point 0 que l'on

y J'tu^

prenne sur la surface, infiniment voisin du premier point L, si par ce point on conçoit à la surface une normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même plan avec la première normale LP, et par conséquent ne pourra la rencontrer : car si par le point 0 on conçoit une nouvelle section iOk perpendiculaire à la surface, et qui coupe quelque part en un point M la droite génératrice qui passe par le point L, la normale OQ sera dans le plan de cette section. Les deux normales LP et OQ seront donc dans deux plans parallèles, et ne pourront être elles-mêmes dans un même plan, à moins qu'elles ne soient parallèles entre elles : or elles ne sont point parallèles. En effet, si l'on conçoit la normale au point M, nous avons vu que cette normale MQ sera parallèle à LP; mais elle ne sera pas parallèle à OQ : donc les normales LP et OQ ne sont point parallèles entre elles; donc elles ne sont pas dans un même plan; donc elles ne peuvent jamais se rencontrer.

116. On voit donc que si, après avoir mené par un point quelconque d'une surface cylindrique une normale à la surface, on veut passer à un point infiniment voisin pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la précédente, et puisse la rencontrer même à l'infini, si cela est nécessaire, on ne peut le faire que dans deux sens différents : i^ en suivant la direction de la droite génératrice de la surface, et alors la nouvelle normale rencontre la première à l'infini; 2° en suivant la section perpendiculaire ti la surface, et alors la nouvelle normale rencontre la première en un point, dont la distance dépend de la courbure de la

base dans le point correspondant; enfin, que ces deux directions sont entre elles à angles droits sur la surface.

Les deux points de rencontre des trois normales sont donc les seuls centres de courbure possibles de l'éléniont que Ton considère sur la surface; les deux plans différents, qui passent par la première normale et par chacune des deux autres, indiquent le sens de chacune de ces courbures; les distances du point de la surface aux deux points de rencontre des normales sont les rayons des deux courbures; et l'on voit que dans les surfaces cylindriques, un de ces rayons étant toujours infini, tandis que la grandeur de l'autre dépend de la nature de la base de la surface pour chacun des points, il n'y a qu'une courbure finie; l'autre est toujours infiniment petite ou nulle.

Ce que nous venons de dire peut s'appliquer facilement à toutes les surfaces développables, dont deux éléments consécutifs même indéfinis dans le sens de la direction de la droite génératrice peuvent toujours être considérés comme faisant partie d'une certain<' surface cylindrique. Passons maintenant au cas général des surfaces courbes quelconques.

117. Soit ABCD {fig. 4?) une surface courbe quelconque, sur laquelle on considère un point L pris à volonté, et par ce point soit conçue une droite FL/ tangente à la surface : la position de cette droite ne sera pas déterminée; elle pourra être menée d'une manière quelconque dans le plan tangent à la surface au point L. Puis concevons que la droite F/ se meuve de manière qu'elle soit toujours parallèle à

elle-même, et qu'elle soit toujours tangente à la surface courbe; elle engendrera par son mouvement une certaine surfac(î cylindrique EegG, dont la base dépendra de la l'orme de la surface courbe, et qui touchera cette surface dans une courbe LCKAL, engendrée elle-même par le mouvement du point de contact de la droite génératrice avec la surface proposée. Cette courbe de contact LCKAL est en généial à double courbure.

lis. Dans le cas très particulier de la surface courbe du second degré, c'est-à-dire de la surface qui, étant coupée par un plan quelconque, produit toujours une section conique, la ligne de contact avec une surface cylindrique qui l'enveloppe est toujours une courbe plane, quelle que soit d'ailleurs la direction de la génératrice de la surface cylindrique.

119. Dans le cas un peu plus général où la surface courbe est engendrée par le mouvement d'une ligne courbe plane, fixe dans son plan, mais mobile avec lui, lorsqu'il roule sur deux surfaces courbes données, pour chaque point de la surface il existe une direction à donner à la droite génératrice, pour que la surface cylindrique engendrée par le mouvement de cette droite touche la surface courbe dans une courbe plane, et cette direction doit être telle, que la droite soit toujours perpendiculaire au plan mobile, lorsqu'il passe par le point que l'on considère. Les surfaces de révolution en sont un cas particulier. En effet, si par un point quelconque d'une surface de révolution on conçoit une droite tangente à la surface et perpendi-

culaire au plan du méridien qui passe par ce point, et si l'on suppose que cette droite se meuve de manière qu'elle soit toujours tangente à la surface et perpendiculaire au plan du même méridien, le point de contact de la ligne avec la surface parcourra la circonférence du méridien, et la droite engendrera une surface cylindrique qui touchera la surface de révolution dans la circonférence même du méridien, et par conséquent dans une courbe plane.

120. Pour tout autre cas, une surface cylindrique I circonscrite à une surface quelconque touche cette (Surface dans une courbe LCKAL qui est à double ( courbure.

La droite FL/ ayani d'abord été menée d'une niaaiière arbitraire dans le plan tangent à la surface au \ point L, si par ce point on conçoit la tangente LU à la courbe de contact LCKAL, cette tangente fera avec la ligne droite génératrice FL/ un angle FLU qui dépendra et de la nature de la surface courbe, et de la direction arbitraire donnée à la droite FL/. Concevons, ce qui est toujours possible dans chaque cas par- Iticulier, que la direction de la droite FL/ change, sans que cette droite cesse d'être tangente à la surface au ! point L, et que, d'après cette nouvelle direction, elle se meuve parallèlement à elle-même en touchant toujours la surface ; elle engendrera par son mouvement une autre surface cylindrique circonscrite à la surface, qui la touchera dans une autre ligne de contact à double courbure; cette nouvelle courbe de contact passera encore par le point L, et sa tangente en ce point fera, avec la nouvelle direction de la droite gêné-

ratrice, un angle différent du premier angle FLU. Con cevons enfin qu'on ait ainsi fait varier la direction d la droite génératrice, jusqu'à ce que la surface cylin drique, engendrée par cette droite, touche la surfac dans une courbe de contact, dont la tangente en 1 soit perpendiculaire à la droite génératrice.

Cela posé, soit {fig. l\è) une surface courb quelconque, sur laquelle on considère d'abord ui certain point L; soit FLJ la droite tangente à l surface en L, dont la direction soit prise de manier que, si on la fait mouvoir parallèlement à elle-mêm et sans qu'elle cesse de toucher la surface, elle engendr une surface cylindrique EFGHJK, qui touche la sur face en une courbe, dont la tangente en L soit perpen diculaire à FLJ. La ligne de contact de la surfac cylindrique avec la surface proposée sera une courb à double courbure; mais au point L son élément s confondra avec l'élément LN de la section GNLD fait dans la surface cylindrique par un plan perpendicu laire à la droite génératrice FLJ. Les deux extré mités L, N, de cet élément, se trouvant sur la ligne d contact, seront en même temps sur les deux surfaces et si par ces points L, N on mène deux normales Lr NP à la surface cylindrique, elles seront aussi noi maies à la courbe. Or ces deux normales sont dans 1 même plan perpendiculaire à la génératrice de la sur face cylindrique, et doivent se rencontrer quelque par en un point P, qui est le centre de courbure de l'arc LN donc si sur une surface courbe quelconque on pren» deux points L, N, qui soient placés sur la ligne d contact de cette surface avec la surface cylindriqu dont la droite génératrice soit perpendiculaire à l'élé

ment LN de cette ligne de contact, les normales à la surface courbe, menées par ces deux points, seront dans un même plan, et se rencontreront en un point qui sera le centre de la courbure de la surface, dans le sens du plan qui contient les deux normales.

121. Si sur la droite FLJ on prend un point m infiniment proche du point L, et si par ce point m on conçoit une normale à la surface cylindrique, cette normale sera parallèle à LP et ne sera pas normale à la surface courbe. Mais si l'on conçoit que dans le plan de la courbe ALMB, déterminé par les droites FLJ et LP, la droite FLJ se meuve sans cesser de toucher la surface et prenne la position infiniment voisine fi, de manière qu'elle touche la surface dans un point M infiniment voisin du point L, et si l'on suppose que cette droite /Mi se meuve parallèlement à ellemême en touchant toujours la surface, elle engendrera une nouvelle surface cylindrique efghik, infiniment peu différente de la première, tant pour la forme que pour la position, et la ligne de contact de cette nouvelle surface cylindrique passera par le point M. La normale MQ à cette surface cylindrique, au point M, sera aussi normale à la surface courbe; elle sera dans un même plan avec la première normale LP, puisqu'elles seront toutes deux dans le plan déterminé par les droites FLJ, /Mi; et ce plan sera perpendiculaire à celui qui passe par les normales LP, NP. Les deux normales LP et MQ se rencontreront donc en un certain point R, qui sera le centre de courbure de l'arc LM, et par conséquent le centre de la courbure MONGE. — II. A

5o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

de la surface dans le sens du plan qui passe par les droites FLJ, /Mi.

On voit donc que si, considérant sur une surface courbe quelconque un point quelconque L, on conçoit une normale à la surface en ce point, on peut tou ours passer, suivant deux directions différentes, à un autre point M ou N, pour lequel la nouvelle normale soit dans un même plan avec la première, et que ces deux directions étant dans des plans no maux rectangulaires entre eux, elles sont elles-mêmes à angles droits sur la surface courbe.

122. Actuellement, ces deux directions sont en général les seules pour lesquelles cet effet puisse avoir lieu; c'est-à-dire, que si sur la surface courbe on passe dans toute autre direction à un point 0, infiniment voisin du point L, et que si par ce point on mène à la surface la normale OQ, cette normale ne sera pas dans un même plan avec la normale LP, et ne pourra par conséquent la rencontrer.

En effet, concevons que la seconde surface cylindrique ait été inclinée de telle manière que sa ligne de contact avec la surface passe par le point 0; l'arc OM de cette ligne de contact se confondra avec l'arc de la section G'OMD' perpendiculaire à la surface cylindrique ; les deux i ormaîes en 0 et en M à la surface seront aussi normales à la surface cylindrique, elles seront dans le plan de la section perpendiculaire ; elles se rencontreront quelque part en un point Q : mais la normale OQ ne rencontrera pas la normale LP; car pour que ces deux normales se rencontrassent, il faudrait que le point Q de la nor-

'i GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 5l

I maie coïncidât avec le point R, dans lequel cette nor- I maie rencontre LP; ce qui en général n'arrive pas, r parce que cela suppose une égalité entre les courbures ^ des deux arcs LM et LN, et ce qui ne peut avoir lieu que pour certains points de quelques surfaces courbes. j Par exemple, la courbure de la surface de la sphère étant la même dans tous les sens, suivant quelgue ^' direction que l'on passe d'un de ses points à un autre infiniment proche, les normales menées par ces deux points sont toujours dans un même plan; et cette surface est la seule pour laquelle cette propriété convienne à tous les points. Dans les surfaces de révolution pour lesquelles a courbe génératrice coupe l'axe perpendiculairement, la courbure au sommet est encore la même dans tous les sens, et deux normales consécutives sont toujours dans un même plan; mais cette propriété n'a lieu que pour le sommet. Enfin il existe (les surfaces courbes, dans lesquelles cette propriété a lieu pour une suite de points qui forment une certaine courbe sur la surface : mais cola n'arrive que pour les points de cette courbe; et pour tous les autres points de la surface, la nouvelle normale ne peut rencontrer la première, à moins que le point de la surface par lequel elle passe ne soit pris suivant l'une des deux directions que nous avons définies.

123. Il suit de là qu'en général une surface quelconque n'a, dans chacun de ces points, que deux courbures ; que chacune de ces courbures a son centre parliculier, son rayon particulier, et que les deux arcs sur lesquels se prennent ces deux courbures sont à angles droits sur la surface. Les cas particuliers pour lesquels.

comme dans la sphère, et dans les sommets de surfaces de révolution, deux normales consécutives quelconques se rencontrent ne sont pas une exception à cette proposition. Il résulte seulement que pour ces cas les deux courbures sont égales entre elles, et que les direclions suivant lesquelles on doit les estimer sont indifférentes.

124. Quoique les deux courbures d'ime surface courbe soient assujéties l'une à l'autre par la loi de la génération de la surface, elles éprouvent d'un point de la surface à l'autre des variations qui peuvent être dans le même sens ou dans des sens contraires. Nous ne pouvons pas entrer, à cet égard, dans de très grands détails, qui deviendraient beaucoup moins pénibles par le secours de l'Analyse; nous nous contenterons d'observer que pour certaines surfaces, telles que les sphéroïdes, dans chaque point les deux courbures sont dans le même sens, c'est-à-dire qu'elles tournent leurs convexités du même côté; que pour quelques autres surfaces, dans certains points, les deux courbures sont dans des sens opposés, c'est-àdire que l'une présente sa concavité et l'autre sa convexité du même côté (la surface de la gorge d'une poulie est dans ce cas); que pour quelques autres surfaces dans tous les points, les deux courbures sont dans des sens opposés (ia surface engendrée par le mouvement d'une ligne droite, assujétie à couper toujours trois autres droites données arbitrairement dans l'espace, est dans ce cas); enfin que dans une surface particulière ces deux courbures opposées sont, pour

chaque point, égales entre elles. Cette surface est celle dont Taire est un minimum.

125. Passons maintenant à quelques conséquences qui suivent des deux courbures d'une surface courbe, et qu'il est important de faire connaître aux artistes.

Soit (fig. /jg) une portion de surface courbe quelconque, sur laquelle nous considérions un point L pris arbitrairement, et soit conçue la normale à la surface en L. Nous venons de voir que l'on peut passer, suivant deux directions différentes, du point L à un autre M ou L', pour lequel la nouvelle normale rencontre la première, et que ces deux directions sont à angles droits sur la surface. Soient donc LM et LT/ ces deux directions rectangulaires en L. Du point M on pourra de même passer dans deux directions différentes à un autre point N ou M', pour lequel la normale rencontre la normale en M, et soient MN, MM' ces deux directions rectangulaires en M. En opérant de même pour le point N, on trouvera les deux directions NO et NN' rectangulaires en N; pour le point 0, on aura les deux directions OP, 00', et ainsi de suite. La série des points L, M, N, 0, P, etc., pour lesquels deux normales consécutives sont toujours dans un plan, formera sur la surface courbe une ligne courbe, qui indiquera perpétuellement le sens d'une des deux courbures de la surface, et cette courbe sera une ligne de première courbure, qui passera par le point L. Si l'on opère pour le point L', comme on l'a fait pour le point L, on pourra d'abord passer, suivant deux directions rectangulaires, à un nouveau point M' ou L", pour lequel la nouvelle normale rencontre la normale

en L', et l'on trouvera de même une nouvelle série de points L', M', N', 0', P^ etc., qui formeront sur la surface courbe une autre ligne de première courbure, qui passera par le point L'. En opérant de même pour la suite des points L", L'% U^\ . . ., trouvés comme L', L", on aura de nouvelles lignes de première courbure ... L" M" N" 0" P", L" M' W 0'' F'\ etc., qui passeront par les points respectifs L", L"\ L'^, etc., et qui diviseront la surface courbe en zones. Mais la suite des points L, L', L", L"\ etc., pour lesquels deux normales consécutives sont encore dans un plan, formera sur la surface courbe une autre courbe qui indiquera perpétuellement le sens de l'autre courbure de îa surface, et cette courbe sera la ligne de seconde courbure; M, M', M", M"', etc. formera une autre ligne de seconde courbure, qui passera par le point M; la série des points N, N', N", N''', etc. formera une nouvelle ligne de seconde courbure qui passera par le point N, el ainsi de suite, et toutes les lignes de seconde courbure diviseront la surface courbe en d'autres zones. Enfin toutes les lignes de première courbure couperont à angles droits toutes les lignes de seconde courbure, et ces deux systèmes de lignes courbes diviseront la surface en éléments rectangulaires; et cet effet aura lieu, non seulement si ces lignes sont infiniment proches, comme nous l'avons supposé, mais même quand celles d'un même système seraient à des distances finies les unes des autres. Avant que d'aller plus loin, nous allons en apporter un exemple, avec lequel on est déjà familiarisé.