Si l'on coupe une surface quelconque de révo

lution par une suite de plans menés par Taxe, on aura une suite de sections qui seront les lignes d'une des courbures de la surface; car pour qu'une courbe soit ligne de courbure d'une surface, il faut qu'en chacun de ses points l'élément de surface cylindrique, qui toucherait la surface dans l'élément de la courbe, ait sa droite génératrice perpendiculaire à la courbe; or cette condition a évidemment lieu ici, non seulement en chaque point de la courbe pour un élément de surface cylindrique particulière, ce qui serait suffisant, mais même par rapport à toute la courbe pour une même surface cylindrique. De plus, si l'on coupe la même surface de révolution par une suite de plans perpendiculaires à l'axe, on aura une seconde suite de sections, qui seront toutes circulaires et qui seront les lignes de l'autre courbure; car si, par un point quelconque d'une de ces sections, on conçoit la tangente au méridien de la surface, et si l'on suppose que celle tangente se meuve parallèlement à elle-même pour engendrer l'élément d'une surface cylindrique tangent à la surface de révolution, l'élément de la surface cylindrique touchera cette surface dans l'arc de cercle, et cet arc sera perpendiculaire à la droite génératrice. Ainsi, sur une surface quelconque de révolution, les lignes de courbure sont, pour une espèce de courbure, les méridiens de la surface, et pour l'autre courbure, les parallèles; et il est évident que ces deux suites de courbes se coupent toutes à angles droits sur la surface.

127. Si par tous les points d'une des lignes de courbure LMNOP {fig. 49) d'une surface courbe on conçoit des normales à la surface, nous avons vu

que la seconde normale rencontrera la première en un certain point, que la troisième rencontrera la seconde en un autre point, et ainsi de suite; le système de ces normales, dont deux consécutives sont toujours dans un même plan, forme donc une surface développable, qui est partout perpendiculaire à la surface proposée et qui la coupe suivant la ligne de courbure. Cette ligne de courbure étant elle-même partout perpendiculaire aux normales qui composent la surface développable est aussi une ligne de courbure de cette dernière surface. L'arête de rebroussement de la surface développable, arête qui est formée par la suite des points de rencontre des normales consécutives, et à laquelle toutes les normales sont tangentes, est une des développées de la courbe LMNOP; elle est le lieu des centres de courbure de tous les points de cette courbe, et elle est aussi celui des centres d'une des courbures de la surface pour les points qui sont sur la ligne LMNOP. Si l'on fait la même observation pour toutes les autres lignes de courbure de la même suite, telles que V M' N' 0' F', L" M" W 0" F", etc., toutes les normales de la surface courbe pourront être regardées comme composant une suite de surfaces développables, toutes perpendiculaires à cette surface, et le système des arêtes de rebroussement de toutes les surfaces développables formera une surface courbe qui sera le lieu de tous les centres d'une des courbures de la surface proposée.

Ce que nous venons de remarquer pour une des deux courbures de la surface a également lieu pour l'autre. En effet, si par tous les points L, L', h'\ h"', ..., d'une des lignes de l'autre courbure, on conçoit des

normales à la surface, ces droites seront consécutivement deux à deux dans un même plan; leur système formera une surface développable, qui sera partout perpendiculaire à la surface proposée, et qui la rencontrera dans la ligne de courbure Lï/ L" l"\ . . . qui sera elle-même une ligne de courbure de la surface développable. L'arête de rebroussement de cette dernière surface sera le lieu des centres de courbure de la ligne LI/ U' L'", . . . , et en même temps celui des centres de seconde courbure de la surface proposée,

pour tous les points de la ligne LL' h" L"\ Il en

sera de même pour toutes les normales menées par les points des autres lignes de courbure MM' M'' M'", . . .,

N N' N" N"", En sorte que toutes les normales

de la surface courbe proposée pourront être regardées de nouveau comme composant une seconde suite de surfaces développables, toutes perpendiculaires à cette surface, et le système des arêtes de rebroussement de toutes les nouvelles surfaces développables formera une seconde surface courbe, qui sera le lieu des centres de la seconde courbure de la première.

128. Dans quelques cas particuliers, les surfaces des centres des deux courbures d'une même surface courbe sont distinctes, c'est-à-dire qu'elles peuvent être engendrées séparément, ou qu'elles ont leurs équations séparées. On en a un exemple dans les surfaces de révolution, pour lesquelles une de ces surfaces se réduit à l'axe même de rotation, et pour lesquelles l'autre est une autre surface de révolution engendrée par la rotation de la développée plane du méridien autour du même axe. Mais le plus souvent,

et dans le cas général, ces deux surfaces ne sont point distinctes, elles ne peuvent être engendrées séparément; elles ont la même équation, et elles sont deux nappes différentes d'une même surface courbe.

129. On voit donc que toutes les normales d'une surface courbe peuvent être considérées comme les intersections de deux suites de surfaces développables telles, que chacune des surfaces développables rencontre perpendiculairement la surface proposée et la coupe suivant une courbe, qui est en m.ême temps ligne de courbure de cette surface et ligne de courbure de la surface développable, et que chacune des surfaces développables de la première suite coupe toutes celles de la seconde suite en ligne droite et à angles droits.

130. Voyons actuellement quelques exemples de l'utilité dont ces généralités peuvent être dans certains arts. Le premier exemple sera pris dans l'Architecture.

Les voûtes construites en pierres de taille sont com posées de pièces distinctes auxquelles on donne le nom générique de Poussoirs. Chaque voussoir a plusieurs faces qui exigent la plus grande attention dans l'exécution : i^ la face qui doit faire parement et qui, devant être une partie de la surface visible de la voûte, doit être exécutée avec la plus grande précision^ cette face se nomme douelle; 2® les faces par lesquelles les voussoirs consécutifs s'appliquent les uns contre les autres, on les nomme généralement joints. Les joints exigent aussi la plus grande exactitude dans leur

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. tnj

exécution; car la pression se transmettant d'un voussoir à l'autre perpendiculairement à la surface du joint, il est nécessaire que les deux pierres se touchent par le plus grand nombre possible de points, afin que > pour chaque point de contact la pression soit la moindre, et que pour tous elle approche le plus de l'égalité. Il faut donc que dans chaque voussoir les joints approchent le plus de la véritable surface dont ils doivent faire partie; et pour que cet objet soit plus facile à remplir, il faut que la surface des joints soit de la nature la plus simple et de l'exécution la plus susceptible de i)récision. C'est pour cela que l'on fait ordinairement les joints plans, mais les surfaces de toutes les voûtes ne comportent pas cette disposition, et dans quelques-unes on blesserait trop les convenances dont nous parlerons dans un moment, si l'on ne donnait pas aux joints une surface courbe. Dans ce cas, il faut clioibir parmi toutes les surfaces courbes, qui pourraient d'ail 'eurs satisfaire aux autres conditions, celles dont la génération est la plus simple et dont l'exécution est plus susceptible d'exactitude. Or, de toutes les surfaces courbes, celles qu'il est plus facile d'exécuter sont celles qui sont engendrées par le mouvement d'une ligne droite, et surtout les surfaces développables; ainsi, lorsqu'il est nécessaire que les joints des voussoirs soient des surfaces courbes, on les compose, autant qu'il est possible, de surfaces développables.

Une des principales conditions auxquelles la forme des joints des voussoirs doit satisfaire, c'est d'être partout perpendiculaires à la surface de la voûte que ces voussoirs composent. Car, si les deux angles qu'un

6o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

même joint fait avec la surface de la voûte étaient sensiblement inégaux, celui de ces angles qui excéderait l'angle droit serait capable d'une plus grande résistance que l'autre; et dans l'action que deux voussoirs consécutifs exercent l'un sur l'autre, l'angle plus petit que l'angle droit serait exposé à éclater, ce qui, au moins, déformerait la voûte, et pourrait même altérer sa solidité et diminuer la durée de l'édifice. Lors donc que la surface d'un joint doit être courbe, il convient de l'engendrer par une droite qui soit partout perpendiculaire à la surface de la voûte ; et si l'on veut de plus que la surface du joint soit développable, il faut que toutes les normales à la surface de la voûte, et qui composent, pour ainsi dire, le joint, soient consécutivement deux à deux dans un même plan. Or nous venons de voir que cette condition ne peut être remplie, à moins que toutes les normales ne passent par une même ligne de courbure de la surface de la voûte; donc, si les surfaces des joints des" voussoirs d'une voûte doivent être développables, il faut nécessairement que ces surfaces rencontrent celle de la voûte dans ses lignes de courbure.

D'ailleurs, avec quelque précision que les voussoirs d'une voûte soient exécutés, leur division est toujours apparente sur la surface; elle y trace des lignes très sensibles, et ces lignes doivent être soumises à des lois générales et satisfaire à des convenances particulières, selon la nature de la surface de la voûte. Parmi les lois générales, les unes sont relatives à la stabilité, les autres à la durée de l'édifice; de ce nombre est la règle qui prescrit que les joints d'un même voussoir soient rectangulaires entre eux, par la même raison

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. 6l

qu'ils doivent être eux-mêmes perpendiculaires à la surface de la voûte. Aussi les lignes de division des voussoirs doivent être telles, que celles qui divisent la voûte en assises soient toutes perpendiculaiies à celles qui divisent une même assise en voussoirs. Quant aux convenances particulières, il y en a de plusieurs sortes, et notre objet n'est pas ici d'en faire l'énumération; mais il y en a une principale, c'est que les lignes de division des voussoirs qui, comme nous venons de le voir, sont de deux espèces, et qui doivent se rencontrer toutes perpendiculairement, doivent aussi ])orter le caractère de la surface à laquelle elles appartiennent. Or, il n'existe pas de ligne sur la surface courbe qui puisse remplir en même temps toutes ces conditions, que les deux suites de lignes de courbures, et elles les remplissent complètcmont. Ainsi la division d'une voûte en voussoirs doit donc toujours être faite par des lignes de courbure de la surface de la voûte, et les joints doivent être des portions de surfaces développables formées par la suite des normales à la surface qui, considérées consécutivement, sont deux à deux dans un même plan; en sorte que, pour chaque voussoir, les surfaces des quatre joints, et celle de la voûte, soient toutes rectangulaires.

Avant la découverte des considérations géométriques sur lesquelles tout ce que nous venons de dire est fondé, les artistes avaient un sentiment confus des lois auxquelles elles conduisent, et, dans tous les cas, ils avaient coutume de s'y conformer. Ainsi, par exemple, lorsque la surface de la voûte était de révolution, soit qu'elle fût en sphéroïde, soit qu'elle fût en berceau tournant, ils divisaient ses voussoirs par

des méridiens et par des parallèles, c'est-à-dire par les lignes de courbures de la surface de la voûte.

Les joints qui correspondaient aux méridiens étaient des plans menés par l'axe de révolution; ceux qui correspondaient aux parallèles étaient des surfaces coniques de révolution autour du même axe; et ces deux espèces de joints étaient rectangulaires entre eux et perpendiculaires à la surface de la voûte. Mais lorsque les surfaces des voûtes n'avaient pas une génération aussi simple, et quand leurs lignes de courbure ne se présentaient pas d'une manière aussi marquée, comme dans les voûtes en sphéroïdes allongés et dans un grand nombre d'autres, les artistes ne pouvaient plus satisfaire à toutes les convenances, et ils sacrifiaient, dans chaque^ cas particulier, celles qui leur présentaient les difficultés les plus grandes.

Il serait donc convenable que dans chacune des écoles de Géométrie descriptive établie dans les départements, le professeur s'occupât de la détermination et de la construction des lignes de courbure des surfaces employées ordinairement dans les arts, afin que, dans le besoin, les artistes, qui ne peuvent pas consacrer beaucoup de temps à de semblables recherches, pussent les consulter avec fruit et profiter de leurs résultats.

131. Le second exemple que nous rapporterons sera pris dans l'art de la gravure.

Dans la gravure, les teintes des différentes parties de la surface des objets représentés sont exprimées par des hachures que l'on fait d'autant plus fortes

OU d'autant plus rapprochées, que la teinte doit être plus obscure.

Lorsque la dislance à laquelle la gravure doit être vue est assez jurande pour que les traits individuels de la hachure ne soient pas aporçiis, le genre de la hachure est à peu près indifférent, et, quel que soit le contour de ses traits, l'artiste peut toujours les forcer et les multiplier de manière à obtenir la teinte qu'il désire et à produire l'effet demandé. Mais, et c'est le cas le plus ordinaire, quand la gravure est destinée à être vue d'assez près pour que les contours des traits de la hachure soient aperçus, la forme de ces contours n'est plus indiiïérenîje. Pour chaque objet, et pour chaque partie de la surface d'un objet, il y a des contours de hachures plus propres que tous les autres à donner une idée de la courbure de la surface; ces contours particuliers sont toujours au nombre de deux, et quelquefois les graveurs les emploient tous deux à la fois, lorsque, pour forcer plus facilement leurs teintes, ils croisent les hachures. Ces contoiivs, dont les artistes n'ont encore qu'un sentiment confus, sont les projections des lignes de courbure de la surface qu'ils veulent exprimer. Comme les surfaces de la plupart des objets ne sont pas susceptibles de définition rigoureuse, leurs lignes de courbure ne sont pas de nature à être déterminées, ni par le calcul, ni par des constructions graphicjues. Mais si, dans leur jeune âge, les artistes avaient été exercés à rechercher les lignes de courbure d'un grand nombre de surfaces différentes et susceptibles de définition exacte, ils seraient plus sensibles à la forme de ces lignes et à leur position, même pour 1rs objets moins déterminés ; ils les

saisiraient avec plus de précision, et leurs ouvrages auraient plus d'expression.

Nous n'insisterons pas sur cet objet qui ne présente peut-être que le moindre des avantages que les arts et l'industrie retireraient de l'établissement d'une école de Géométrie descriptive dans chacune des principales villes de France.