DE LA DESCRIPTION GRAPHIQUE DES OMBRES

133. La théorie des ombres est entièrement fondée sur un phénomène que tout le monde connaît, c'est que la lumière se propage en ligne droite. Nous sommes si accoutumés à cotte proposition, que toutes les fois qu'on cherche à vérifier si une ligne est droite, on la compare à un rayon de lumière. Veut-on s'assurer qu'une règle est droite, on la compare, dans toute sa longueur, avec le rayon de lumière passant par ses deux extrémités;, cherche-t-on à savoir si une rangée d'arbres est alignée, on se place de manière que le rayon de lumière qui vient d'une extrémité de cette rangée jusqu'à l'œi! passe le long des arbres, et si tous sont placés exactement le long de ce rayon, on reconnaît qu'ils sont parfaitement alignés.

Nous admettons donc, comme principe, que la lumière se répand en ligne droite. Il faut cependant observer que cette proposition n'est rigoureusement vraie que quand le milieu dans lequel la lumière se meut est d'une densité uniforme; mais dans les applications aux arts que nous avons ici uniquement en vue, on a rarement besoin de considérer les rayons de lumière comme prolongés à une grande distance, et traversant des milieux de densités sensiblement différentes : il nous sera donc permis de supposer les milieux uniformes et les rayons de lumière rigoureusement en ligne droite.

Nous distinguerons deux cas : celui où l'espace est éclairé par un point lumineux unique et celui où il est

éclairé par un corps lumineux de dimensions finies; et nous considérerons d'abord le premier cas.

Le point lumineux lance dans tous les sens des rayons de lumière, dont l'ensemble occupe entièrement l'espace, si aucun corps ne s'offre pour les arrêter dans leur direction : il n'en sera pas de même s'il se trouve un corps opaque, c'est-à-dire qui ne soit pas pénétrable aux rayons de la lumière, qui les arrête ou les réfléchisse en tout ou en partie; les rayons qui ne le rencontreront pas continueront de se répandre dans l'espace; mais ceux sur la direction desquels il est placé seront arrêtés et ne s'étendront pas dans la partie de l'espace qui est au delà, et qui, par l'interposition du corps, sera ainsi privée de lumière.

Concevez une surface conique ayant son sommet au point lumineux et enveloppant le corps opaque, et supposez-la prolongée indéfiniment; elle sera au delà du ci^rps opaque, la limite de la partie de l'espace dans laquelle pénètrent les rayons envoyés par le point lumineux et de celle où il ne saurait en arriver aucun. Cette dernière partie, privée de lumière par l'interposition du corps opaque, est ce qu'on appelle Vomhre (le ce corps; telle est du moins la définition de ce qu'on entend par le mot ombre, lorsqu'en parlant d'une éclipse de Lune, par exemple, on dit que la Lune entre dans l'ombre de la Terre. Le Soleil est le corps lumineux duquel les rayons parlent et se répandent dans toutes les directions; la Terre est le corps opaque qui intercepte une portion de ces rayons; et deriière elle, par rapport au Soleil, il se trouve une partie de l'espace privée de lumière. Tant que la Lune est hors de cette partie, elle est éclairée et renvoie de la lumière, elle

est visible; mais du moment qu'elle y entre, elle ne reçoit plus de lumière, n'en renvoie plus et devient invisible.

Dans le langage ordinaire toutefois, ce n'est pas là ce qu'on entend le plus souvent par le mot ombre, lorsque par exemple en se promenant au Soleil on remarque que les ombres sont courtes à midi. Dans celle acception, l'ombre n'est point l'espace privé de lumière par l'interposition d'un corps qui arrête une partie des rayons lancés par le point lumineux, mais c'est la projection de cet espace sur la surface qui la reçoit; c'est dans ce dernier sens que nous emploierons habituellement ce mot.

Supposons que le point lumineux soit à une distance infmie; les rayons de lumière qui viendront de là jusqu'à nous seront parallèles entre eux, à peu près comme nous le paraissent ceux du Soleil. Dans cette hypothèse, à laquelle nous nous arrêterons d'abord, on peut considérer deux cas, celui dans lequel le corps opaque, qui porte ombre, est terminé par des surlaees planes, et par conséquent par des arêtes rectilignes et par des sommets d'angles solides, et celui où il est terminé par des surfaces arrondies. Nous commencerons par nous occuper du premier qui est extrêmement simple.

Si le corps qui reçoit la lumière et qui porte ombre est terminé par des faces planes, on conçoit aisément qu'une partie de ces faces est éclairée, cpie Tautre est obscure, et que la ligne qui, sur ce corps, sépare la partie éclairée de celle qui ne l'est pas est formée par l'ensemble des arêtes rectilignes d'intersection des faces obscures et des faces éclairées; cette ligne est

facile à trouver, et c'est elle qui détermine le contour de l'ombre cherchée. Si l'on conçoit que le corps opaque vienne à disparaître, mais que cette même ligne continue de subsister, et qu'on lui suppose une épaisseur sensible, l'ombre de cette ligne, tracée sur la surface qui doit la recevoir, sera le contour de l'ombre du corps. On voit que dans le cas que nous considérons, le problème se réduit à trouver l'ombre de certaines lignes droites connues de position.

Pour fixer les idées et rendre ce qui précède plus sensible, supposons que le corps qui porte ombre soit le parallélépipède ABCD ahcd (fi g. 5o), que la direction des rayons de lumière, parallèles entre eux, soit indiquée par L/, et que le plan MN soit la surface qui doit recevoir l'ombre. On juge immédiatement, d'après la direction des rayons de lumière, que les faces ABCD, ABa/>, AD ad sont éclairées, et que les faces DCdc, CBc6 et abcd ne le sont pas; que les arêtes DG, CB, B b, ba^ ad et dD sont les limites de la partie éclairée et de la partie obscure. Les ombres D'C, G'B', h'b', b'a', a'd' et d'D' de ces six arêtes, sur le plan MN, forment le contour ou les limites de l'ombre du parallélépipède; les ombres des six autres arêtes, tombant dans l'intérieur de l'aire enveloppée par ce contour, sont confondues dans l'ombre totale du corps proposé.

En général, quand il s'agit de corps terminés par des surfaces planes, les arêtes limites, ou qui séparent les faces éclairées des faces obscures, se distinguent immédiatement ou sont faciles à déterminer; et plus tard nous indiquerons un moyen simple de les reconnaître sûrement, si dans quelques circonstances leur position

Fi^ ^o

pouvait laisser de rincerliliide. La question se borne donc, comme nous l'avons déjà dit, à trouver l'ombre d'un certain assemblage de lignes droites connues de position.

Cherchons en premier lieu l'ombre d'une de ces droites. Nous observerons que le corps qui porte ombre étant connu de forme et de position par rapport aux plans de projection, les arêtes qui terminent ses faces sont également connues par rapport à ces mêmes plans, c'est-à-dire qu'on a ou qu'on peut trouver leurs projections horizontales et verticales. Supposons que l'objet lumineux soit un point unique place à une distance infinie; la direction des rayons de lumière, dans ce cas, sera donnée par la projection horizontale et verticale d'une ligne droite à laquelle ils devront tous être parallèles. Les rayons de lumière qui rencontrent la droite dont nous cherchons à déterminer l'ombre forment un plan, dont la position, par rapport aux plans de projection, résulte de la condition de passer par la droite proposée et d'être parallèle à la direction de la lumière. Ce plan, prolongé, contient évidemment l'ombre de la droite ; ou, si l'on considère le corps dont cette droite est une des arêtes, il sépare la partie éclairée de l'espace de celle que l'interposition de ce corps prive de lumière. Ce même plan va rencontrer la surface sur laquelle l'ombre est reçue, suivant une certaine ligne qui est l'ombre portée par la droite sur cette surface, ou qui appartient au contour de l'ombre du corps proposé. La surface étant connue et déterminée par rapport aux plans de projection, on pourra toujours construire son intersection avec le plan que nous avons conçu, et parvenir ainsi

à connaître complètement cette partie du contour de l'ombre cherchée.

Ce que l'on aura fait pour une première arête du corps qui porte ombre, on le fera pour une seconde, l)our une troisième, et enfin pour toutes celles dont l'assemblage forme, sur ce corps, la séparation des faces éclairées des faces obscures.

Si le point lumineux était à une distance finie, la solution précédente serait encore applicable en y apportant une légère modification. Les rayons de lumière partant de ce point dont on doit connaître les projections, et dirigés vers la première des arêtes qu'on a considérées, formeront également un plan déterminé dans l'espace, ou par rapport aux plans de projection, par la condition de passer par cette droite et par le point lumineux; et les raisonnements que nous avons faits tout à l'heure, relativement au plan qui, dans la première hypothèse, contenait les rayons de lumière parallèles, se répéteront pour celui qui contient les mêmes rayons, lorsqu'ils partent d'un point placé à une distance finie.

On voit que ces recherches ne sont que de simples applications des méthodes de la Géométrie descriptive. Pieconnaître sur le corps qui porte ombre les arêtes qui séparent la partie éclairée de la partie obscure; par ces arêtes faire passer des plans qui soient parallèles à la direction des rayons de lumière, ou qui contiennent le point lumineux s'il n'est pas à une distance infinie, et construire les intersections de ces plans avec la surface qui doit recevoir l'ombre : dans le cas qui nous occupe, telle est toute la solution.

Nous avons dit que la distinction des arêtes limites,

CEOMETRIP DESCRIPTIVE.

dont les ombres circonscrivent Tombre propre du corps, est en général facile à faire; et en effet, il suffit pour cela de chercher indistinctement les ombres de toutes les arêtes : celles d'entre elles qui entreront dans l'intérieur du polygone formant le contour de l'ombre du corps ne peuvent appartenir aux arêtes limitey. Ainsi, dans la figure 5o, les ombres b'c\ d'c\ Ce, A'a', A'D', A'B' des arêtes Z>c, de, Ce, A«, AD, AB n'appartiennent à aucune des arêtes limites, |)uis(]u'elles entrent dans l'intérieur du polygone a'b'B'CD'd'.

Mais on peut avec nioins de Iravaii reconnaîlre si de deux faces planes d'un corps, l'une est éclairée et l'autre obscure, ou si elles sont toutes deux obscures, ou toutes deux éclairées, et par conséquent si leur intersection est une arête limite ou non. Eîî cfTct, par un point quelconque de cette intersection, imaginons un rayon de lumière; si des deux faces l'une est éclairée et l'autre obscure, ce rayon de lumière prolongé les laissera toutes deux du mênie côté; mais si elles sont l'une et l'autre éclairées ou l'une et l'autre obscures, il passera entre elles deux. Cela posé, les deux faces planes que nous considérons appartiennent à deux plans donnés de position dans l'espace, et dont par conséquent on peut construire les traces sur les pians de projection, ainsi que les projections horizontale et verticale de leur intersection; que par un point quelconque de cette intersection on fasse passer une ligne parallèle à la direction de la lumière, et que l'on construise ses deux points de rencontre avec les plans de projection; si ces deux points sont en dehors des traces des plans proposés, le rayon de lumière ne passe

pas entre les deux plans, et l'un est éclairé et l'autre ne l'est pas; si l'un des points ou tous les deux se trouvent en dedans des traces, on en conclura que le rayon de lumière passe entre les deux plans, et que ces plans sont tous deux éclairés ou tous deux obscurs : dans le premier cas, leur intersection est une arête limite; dans le second, elle ne l'est pas. Ainsi l'on peut reconnaître d'avance quelles sont les arêtes par rapport auxquelles on doit opérer pour obtenir le contour de l'ombre du corps proposé.

Les corps que l'on considère dans les arls présentent fréquemment des arêtes verticales, c'est ce qui rend souvent utile l'observation suivante. La projection horizontale de la ligne verticale se réduit à un seul point; la ligne passant par ce point dans le plan horizontal de projection et dirigée vers le point lumineux renferme toujours la projection horizontale de l'ombre de la verticale, sur quelque surface que cette ombre soit reçue; ce résultat est vrai, que le point lumineux soit à une distance finie ou infinie. En elï'et, dans l'un et l'autre cas, l'ensemble des rayons de lumière passant par la verticale forme un plan vertical qui doit contenir l'ombre de la verticale proposée, et qui la donnera par son intersection avec la surface qui doit recevoir l'ombre. La trace de ce plan vertical, dans le plan horizontal de projection, contiendra par conséquent la projection horizontale de l'ombre, quelle que soit la surface qui la reçoive.

Au reste, cette observation s'applique également à toute droite perpendiculaire à un plan quelconque de projection. Le plan formé par les rayons de lumière qui passent par cette droite est perpendiculaire

comme elle au plan de projection, cl sa trace sur ce plan doit contenir évidemment la projection sur ce même plan de l'ombre portée par la droite sur quelque surface que ce soit. On conçoit que dans quelques circonstances et en choisissant avec intelligence les plans de projection, le résultat précédent peut simplifier beaucoup les opérations.

Ce que nous venons de dire renferme à peu près tout ce qui est d'usage habituel dans la théorie des ombres, et résout les questions relatives aux corps terminés par des surfaces planes et des lignes droites et éclairés par un point unique. Les livres qu'on a coutume de publier sur cet objet vont rarement plus loin, et n'ajoutent guère à ce qui précède que divers développements d'opérations graphiques pour lesquels nous renverrons aux leçons de Géométrie descriptive.

134. Passons maintenant au cas où le corps qui porte ombre n'est pas terminé par des surfaces planes. La ligne qui sépare, sur la surface du corps, la partie éclairée de la partie obscure n'est plus, en général, un assemblage d'arêtes facile à reconnaître; c'est une courbe qu'il faut déterminer par la seule propriété d'être la limite de ces deux parties. Les rayons de lumière que reçoit la partie éclairée pénétreraient dans le corps s'ils étaient prolongés; la partie obscure n'en reçoit pas, parce que ceux qui pourraient lui arriver auraient à traverser le corps qui portp ombre avant de lui parvejiir; mais il est facile de voir que les rayons qui vont à la courbe limite de la partie obscure et de la partie éclairée n'entrent pas dans ce corps

et ne font que toucher sa surface. Ces derniers rayons sont donc tangents à la surface du corps ; chacun d'eux se trouve dans un plan tangent à cette surface et passant par le point lumineux. On peut donc construire la courbe dont il s'agit, en menant du point lumineux une suite de plans tangents à la surface du corps proposé et en déterminant les points de tajigence; chacun de ces points appartiendra à la courbe cherchée. Nous ne nous arrêterons cependant point à ce mode de solution, et nous allons en exposer un autre qui est aussi général et d'un emploi plus facile pour le genre de recherches dont il s'agit, car on sait que l'élégance et la simplicité des constructions graphiques dépendent du système de moyens qu'on adopte pour obtenir chaque élément du résultat.

Nous supposerons toujours le point lumineux à une distance infinie, et la direction des rayons de lumière indiquée par les projections horizontale et verticale d'une ligne donnée, à laquelle ces rayons doivent être parallèles. Le corps qui porte ombre étant ccnnu de forme et de position, par rapport aux plans de projection, ainsi que la surface sur laquelle l'ombre doit être reçue, on demande de construire la projection de cette ombre et, pour y parvenir, de déterminer sur la surface du corps qui porte ombre la ecurbe qui sépare la partie obscure de la partie éclairée. Cette dernière recherche, outre qu'elle entre dans la solution du problème qui nous occupe, est encore i<itéressante pour les arts du dessin et de la peinture, puisqu'elle fait connaître sur la surface du corps éclairé, où doivent s'arrêter les teintes claires et commencer les teintes obscures.

La méthode que nous allons exposer est analogue à celle quia été donnée, dans la Géométrie descriptive, pour les intersections des surfaces cylindriques.

Concevons un système de plans parallèles à la direction de la lumière et, de plus, perpendiculaires à l'un des plans de projection, au plan vertical par exemple. Les opérations que nous allons indiquer pour l'un des premiers plans se répéteront aisément pour les autres.

Nous remarquerons d'abord que, puisqu'il est perpendiculaire au plan vertical de projection, il est entièrement projeté suivant sa trace, ainsi que toutes les lignes qu'il peut renfermer. On peut le concevoir comme composé de lignes parallèles à la direction de la lumière ou, ce qui revient au même,» de rayons lumineux. Or, il doit en général couper la surface du corps qui porte ombre suivant une courbe. Des rayons de lumière situés dans le plan, les uns rencontrent la courbe et s'y arrêlent : ils font évidemment partie des rayons qui sont interceptés par le corps proposé et dont l'interruption produit roiiibrc derrière ce corps; les autres ne rencontrent pas la courbe et, n'éprouvant aucun obstacle, se propagent au loin dans l'espace ; enfin il se trouve des rayons de lumière qui, placés entre ceux qui rencontrent la courbe et ceux qui ne la rencontrent pas, ne font simplement que la toucher; et l'on observera que, si le corps qui porte ombre n'a pas des dimensions infinies, il doit se trouver en général deux rayons âe ce genre. Ces derniers, tangents à la section du corps par le plan que nous considérons, sont aussi tangents à la surface de ce corps; leurs points appartiennent donc, d'après ce que nous avons dit précédemment, à la courbe limite de la partie de

8o LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

la surface du corps qui est éclairée et de celle qui ne l'est pas; enfin leurs points de rencontre avec la surface sur laquelle l'ombre est reçue appartiennent également au contour de cette ombre.

Ce sont donc ces rayons qu'il nous importe de reconnaître et de construire ; la propriété qui les caractérise doit nous en fournir les moyens. Puisqu'ils sont tangents à la courbe d'intersection de la surface du \ corps qui porte ombre, par le plan que nous considérons, leurs projections horizontales doivent être tangentes à la projection de cette même courbe. La surface du corps est connue, le plan coupant est donné de position; supposons donc que la projection horizontale de leur intersection soit construite. Si nous menons à cette projection des tangentes parallèles à la direction du rayon de lumière projeté sur le plan horizontal, elles seront les projections des rayons dont il s'agit, et les points de tangence seront les projections horizontales de ceux où ces rayons de lumière touchent la surface du corps proposé. La projection ou la trace du plan coupant sur le plan vertical contient la projection verlicaie du rayon de lumière, et pour déterminer sur ces projections celles des points de tangence dont on vient de parler, il suffit d'élever par les projections horizontales de ces points des lignes perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection. On obtient donc ainsi, en projections horizontale et verticale, deux points de la courbe qui, sur la surface du corps proposé, sépare la partie éclairée de celle qui ne l'est pas.

Si l'opération que nous venons d'indiquer se répète pour un nombre quelconque de plans parallèles à la

lumière et perpendiculaires au plan vertical de projection, on trouvera, en projection horizontale, une pareille suite de points, par lesquels faisant passer une courbe on aura la projection de la courbe limite qui, sur la surface proposée, sépare la partie éclairée de la partie obscure. On trouvera également, en projection verticale, une autre suite de points, et la courbe qui les réunira sera la projection verticale de la même courbe limite.

Occupons-nous maintenant de la détermination du contour de l'ombre sur la surface qui doit la recevoir. Le plan parallèle à la lumière, que nous avons d'abord considéré, détermine en général, comme nous l'avons vu, deux rayons lumineux tangents à la surface du corps qui porte ombre, et qui sont eux-mêmes situés dans ce plan. Les points de rencontre de ces rayons avec la surface qui reçoit l'ombre appartiennent au contour qu'il s'agit d'obtenir. Ces points de rencontre doivent évidemment être placés sur la courbe de l'intersection du plan avec cette même surface. Le plan et la surface étant connus et déterminés de position, on peut construire la projection horizontale de leur intersection. Supposons cette projection construite; les projections horizontales des deux rayons de lumière que nous considérons la rencontreront en des points qui seront les projections de ceux où les rayons euxmêmes rencontrent la surface; et ces derniers points appartiennent, ainsi que nous l'avons dit, au contour demandé. Si des points obtenus en projection horizontale, on mène des lignes perpendiculaires à la commune intersection des plans de projection, ces lignes détermineront, par leur rencontre avec la projection

MO.NuE. — 11. 6

verticale du plan coupant sur lequel nous avons opéré, les projections verticales des mêmes points du contour de l'ombre portée.

En répétant cette dernière opération pour chacun des pians parallèles à la direction de la lumière, on obtiendra, sur l'une et l'autre projection, une série de points par lesquels faisant passer des courbes on aura les projections horizontale et verticale du contour de l'ombre du corps proposé sur la surface destinée à la recevoir.

Au nombre des plans parallèles à la direction de la lumière, il peut s'en trouver qui, après avoir coupé le corps portant l'ombre, ne rencontrent pas la surface qui doit la recevoir, ou quelques-uns des rayons tangents à la surface du corps, et déterminés par ces plans, peuvent ne pas rencontrer ensuite la courbe d'intersection de ces mêmes plans avec la surface sur laquelle on suppose que l'ombre doit être portée. Dans l'un et l'autre cas, ces circonstances feront reconnaître que cette surface ne reçoit pas entièrement l'ombre portée par le corps, mais qu'une partie lui échappe, pour être reçue par une surface plus éloignée ou se perdre dans l'espace.

Pour rendre tout ce qui précède plus facile à com prendre, nous allons l'appliquer à un exemple.

Soit une sphère représentée par les projections verticale et horizontale A, A' (fig, 5i) de deux de ses grands cercles; supposons que la direction des rayons djC lumière soit donnée par les projections LL, L'L' d'une ligne à laquelle ils doivent être parallèles, et cherchons les projections horizontale et verticale de la ligne qui sépare la partie éclairée de la surface

Fis Si

de la sphère de la partie obscure, et celles du contour de l'ombre portée par la sphère sur un cylindre droit à base circulaire, donné en projection horizontale par le cercle B'.

Conformément à la méthode que nous venons d'exposer, concevons une suite de plans parallèles à la direction de la lumière, perpendiculaires au plan vertical de projection, et par conséquent projetés sur ce plan suivant leurs traces Pp, PiPi, P2 P2j • • •• Considérons en particulier le plan P; il coupera la sphère suivant une courbe dont la projection verticale ne peut être que sur la trace Pp, et dont la projection horizontale sera la courbe p'p'p'p'' Après l'avoir construite nous lui mènerons les deux tangentes ^' B' et 1' t\ parallèles à L'L', lesquelles seront les projections horizontales de deux rayons de lumière tangents à la sphère; quant aux projections verticales de ces mêmes rayons, elles ne peuvent être l'une et l'autre que la trace Pp elle-même. Les points de tangence T' et 0' sont les projections des deux points où ces rayons de lumière touchent la sphère, et qui appartiennent par conséquent à la courbe qui sépare, sur sa surface, la partie éclairée de la partie obscure. Pour avoir les projections verticales de ces mêmes points, on mènera les deux lignes T'T et 0' 0, perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection, prolongées jusqu'à la rencontre de la trace Pp, et l'on obtiendra ainsi, en T et 0, les projections verticales des deux points dont il s'agit. En répétant pour chacun des plans P^, Pg, P3, P4, • . . l'opération que nous venons d'exécuter pour le plan P, on trouvera sur le plan horizontal la courbe

rr,T;0; 0'(-);e;r3, et sur le pian vertical la courbe TTj Tg ©i ©©3 0; Tg, pour les projections de celle qui, sur la sphère, sépare la partie éclairée de la partie obscure.

Reprenons les rayons de lumière dont T't' et S' 0' sont les projections horizontales, et dont Pp est la projection verticale, et cherchons les points où ils rencontrent la surface du cylindre ; ce seront des points du contour de l'onibre portée sur cette surface par la sphère. Le plan P coupe la surface du cylindre suivant une courbe projetée sur le plan horizontal, dans le cercle qui sert de base au cylindre. Les lignes T't' et 0' 6' rencontrent ce cercle dans les points r' et p', qui sont par conséquent les projections horizontales des points de rencontre que nous cherchons; pour avoir leurs projections verticales, il suffît de mener les lignes r' r et p' p perpendiculaires à la commune intersection des deux plans de projection, et jusqu'à la rencontre de la ligne Pp. Si l'on répète également cette dernière opération, relativement aux autres plans Pj , Pg, . . ., on trouvera les projections verticales de divers autres points de contour de l'ombre portée par la sphère sur le cylindre, et l'on construira la courbe rrir2 pi ppg p^ qui sera la projection verticale de ce contour.

En considérant le plan P3 et les deux lignes T.^t'^ et ©3 0'.^ qui sont les projections horizontales des deux rayons de lumière tangents à la sphère, situés dans le plan dont il s'agit, on observera que l'une de ces projections, celle qui est désignée par T3 ^3, ne rencontre pas la base du cylindre, qui est la projection horizontale, ainsi que nous l'avons observé de la section de

la surface cylindrique par le plan Pg; le rayon de lumière auquel appartient la projection T^ t'.^ ne rencontre donc pas cette surface et passe à côté. On en conclura que l'ombre portée par la sphère n'est pas reçue en entier par le cylindre, et que le contour de cette ombre sur la surface cylindrique n'est point fermé, mais s'arrête aux points où les rayons de lumière tangents à la sphère sont aussi tangents au cylindre.

135. Nous avons supposé jusqu'à présent que le point lumineux était à une distance infinie; et cette hypothèse est celle qui est le plus fréquemment admise, parce qu'elle est à peu près conforme à la manière dont les corps sont éclairés par le Soleil; mais si l'on supposait le point lumineux à une distance finie, il suffirait, pour rendre la méthode précédente applicable encore dans ce cas, de substituer aux plans parallèles que nous avons employés une suite de plans assujétis à passer par le point lumineux, et du reste toujours perpendiculaires au plan vertical de projection, comme dans la première hypothèse.

Le procédé que nous venons d'exposer peut souvent se simplifier dans les questions particulières, d'après la génération de la surface du corps qui porte l'ombre et de celle qui la reçoit. Nous renverrons, à cet égard, aux méthodes de la Géométrie descriptive qui, dans ces recherches, sont susceptibles de diverses applications intéressantes. Il nous suffit d'avoir fait connaître un mode de solution qui comprend dans toute sa généralité le problème de la détermination gra-

phîque des ombres, lorsque le corps lumineux se réduit à un point unique.

La solution de ce problème satisfait à peu près à tout ce que demandent habituellement les arts du dessin; ce qui nous reste à dire nous donnera lieu de fr\iie quelques observations qui ne seront jjas sans iiUérêt sous le rapport de ces mêmes arts; mais comme . n supposant que le corps lumineux ait dos diiru nsions Unies, les constructions graphiques deviennent extrêmement compliquées, et seraient d'ailleurs d'un usage

peu près nul, ce sera plutôt sous le point de vue de la héorie que sous celui des applications que nous allons îraiter cette dernière partie de la détermination linéaire des ombres.

Lorsque le corps lumineux n'est qu'un point et que rien dans l'espace ne réfléchit la lumière, l'ombre portée par un corps opaque sur une surface placée derrière doit êtTv? parfaitement noire, puisque aucun rayon ne peut y arriver directement, à raison de l'interposition du corps opaque, ni indirectement, car nous supposons qu'il n'existe aucun autre objet qui puisse y réfléchir de la lumière. Cette ombre étant donc d'un noir absolu sera par conséquent égale dans toute son étendue; et de plus elle se terminera brusquement à son contour qui sera une ligne parfaitement nette et prononcée.

11 n'en est pas ainsi lorsque le corps lumineux a des dimensions finies; le contour n'est pas tranche brusquement, et c'est par une dégradation insensible que l'on passe du noir de l'ombre à la clarté.

En efîet, cherchons et qui a lieu dans ce cas, en bupposant toujours qu'il n'existe dans l'espace que le

corps lumineux, le corps opaque et la surface qui reçoit l'ombre.

Concevons un plan tangent à la fois au corps lumineux et au corps opaque, et tel que les deux corps se trouvent du même côté relativement au plan; puis concevons-en un semblablement tangent et infiniment voisin du premier, qu'il coupera suivant une droite tangente à la fois aux deux corps. Concevons encore un troisième plan tangent, infiniment voisin du second ; il le coupera suivant une autre droite également tangente aux deux derniers pians, et l'on observera que cette seconde ligne doit rencontrer la première, puisque l'une et l'autre se trouvent sur le second plan tangent. En multipliant ainsi les plans tangents, on aura une suite de lignes tangentes à la fois aux deux corps et se rencontrant deux à deux; elles appartiendront à une surface que l'on doit reconnaître, d'après sa génération que nous venons d'indiquer, pour être du genre de celles qu'on appelle déç>eloppables (110).

Cette surface développable enveloppe à la fois le corps lumineux et le corps opaque; et dans la partie de l'espace qu'elle renferme au delà de ce dernier, il ne peut pénétrer aucun rayon lancé par le corps lumineux; l'aire de l'intersection de cette surface avec celle qui reçoit l'ombre sera donc d'un noir parfait, et par conséquent égal dans toute son étendue.

Maintenant, concevons une autre suite de plans tangents au corps lumineux et au corps opaque, mais placés de manière que l'un de ces corps se trouve d'un côté du plan, et que l'autre se trouve du côté opposé; les intersections successives de ces plans donneront

naissance, comme tout à l'heure, à une nouvelle surface développable qui enveloppera, ainsi que Ja précédente, le corps lumineux et le corps opaque; maii on observera, par rapport à cette surface et aux lignes droites dont on peut la concevoir composée, que l'un (les corps se trouve d'un côté et l'autre du côlé opposé, il résulte de cette disposition que, de tous les points extérieurs à cette seconde surface développable, on découvre en entier le corps lumineux, sans qu'aucune partie de ce corps puisse être cachée par l'interposition du corps opaque. Si l'on construit l'intersection de cette surface avec celle qui reçoit l'ombre, chacun des points situés en dehors de cette intersection jouira d'une clarté totale, c'est-à-dire recevra tous les rayons qui peuvent lui parvenir du corps lumineux.

Si l'on considère maintenant les deux surfaces développablcs à la fois, on remarquera que dans l'espace qu'elles comprennent entre elles, au delà de leurs courbes de tangence avec le corps opaque, une partie des rayons lancés par le corps lumineux est interceptée par le corps opaque, et qu'ainsi cette portion de l'espace n'est pas complètement éclairée. Cherchant ensuite ce qui a lieu sur la surface qui reçoit l'ombre, on observera que l'aire comprise entre les deux contours donnés par les intersections de cette surface avec les deux surfaces développables forme, en général, une espèce d'anneau pour lequel l'ombre et la clarté sont incomplètes. Au milieu se trouve l'ombre absolue, et en dehors la clarté totale; mais chacun des points situés dans l'aire annulaire elle-même ne reçoit qu'une partie des rayons émanés du corps lumineux, le reste lui étant enlevé par l'interposition du corps

()0 LES MAITRES t)E LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

opaque. Si ce point, pris sur Faire annulaire, est voisin du contour intérieur donné par ]a première surface développable, il ne peut recevoir la lumière que d'un très petit segment du corps lumineux, le corps opaque lui dérobant tout le reste; il est par conséquent très près de l'obscurité. Si ce même point est voisin du contour extérieur donné par la seconde surface développable, il n'y a, par rappoit à lui, qu'ime très petite partie du corps lumineux qui reste couverte par le corps opaque; il est donc très près de jouir de la clarté totale. On voit par là que du contour intérieur au contour extérieur, dé terminés par les deux surfaces développables, l'ombre va en diminuant et la clarté en augmentant, de manière qu'il y a une dégradation insensible entre î'ombie absolue renfermée dans le contour intérieur, et la clarté totale qui a lieu au delà du contour extérieur : cette aire annulaire, qui entoure l'ombre absolue et dans laquelle l'ombre et la clarté sont incomplètes, se nomme la pénonihre^ ce qui signifie presque ombre.

Nous n'avons encore considéré la distribution de l'ombre et de la lumière que sur la surface placée derrière le corps opaque ; il nous reste à la considérer éga lement sur la surface même de ce corps.

La courbe de tangence de la première surface développable avec le corps forme la ligne de séparation de la partie de la surface qui ne peut recevoir aucun rayon de lumière de celle qui peut en recevoir. La courbe de tangence avec la seconde surface développable forme également, sur la surface du corps opaque, la ligne qui sépare les points pour lesquels une partie des rayons lumineux est interceptée par la convexité même du

corps opaque, de ceux pour lesquels cette convexité ne peut en arrêter aucun. Il se trouve donc sur la surface du corps opaque, entre sa face obscure et sa face éclairée, une zone ou pénombre, sur laquelle l'intensité de l'ombre diminue par gradation insensible, pour passer de l'ombre absolue à la clarté totale.

Ce que nous venons d'exposer, en embrassant dans toute sa généralité le problème qui nous occupe, se simplifie beaucoup et devient très sensibl»^ dans des exemples particuliers. Supposons que le corps lumineux et le corps opaque soient l'un et l'autre des sphères représentées par les cercles L et O {fig. 62) sur un plan de projection, dans lequel leurs centres soient placés ; que la surface sur laquelle l'ombre doit être portée soit le plan SS perpendiculaire à la ligne LO qui joint les centres des sphères. Dans ce cas, tous les plans tangents à la fois aux. deux corps et placés de manière qu'ils se trouvent tous du même côté, par rapport à chaque corps, formeront, comme on le sait, par leurs intersections successives, une surface conique que nous indiquerons par les lignes TT', TT', suivant lesquelles cette surface coupe le plan de projection. Son sommet, ou centre, tombera au delà de la sphère 0, si cette sphère est d'un rayon plus petit que la sphère L; et au contraire en deçà de L, si cette dernière sphère est la plus petite. C'est à cette surface conique que se réduit la première surface développable que nous avons considérée en traitant le cas général. On voit aisément que l'espace qu'elle renferme au delà de la sphère opaque ne peut recevoir aucun rayon de lumière émané de la sphèr<; L; son intersection avec le plan SS est un cercle dont MN

est le diamètre et dont rintéricur est absolument privé de lumière.

Si l'on conçoit maintenant d'autres plans tangents également aux deux sphères, mais tels que ])ar ri)]>p<>rt à chaque plan l'une des sphères se trouve d*un côté et l'autre du côté opposé, ces plans, par leurs intersections successives, formeront une autre surface conique dont le sommet sera placé entre les deux sphères, et que nous indiquerons comme la première, par les lignes tt\ tt\ qui sont ses intersections avec le plan de projection; cette seconde surface conique répond à la seconde surface développable que nous avons considérée, dans le cas général. On voit de même que tout l'espace qu'elle laisse à son extérieur reçoit les rayons émanés de la sphère L, sans qu'aucun soit arrêté par la sphère 0. Son intersection avec le plan SS est un cercle dont mn est le diamètre, et tous les points du plan, extérieurs à ce cercle, reçoivent les rayons de lumière sans obstacle de la part de la sphère opaque.

Mais l'espace compris entre les deux surfaces coniques au delà de leurs courbes de tangence avec la sphère, et qui se trouve indiqué sur le plan de projection par les aires angulaires T'ct\ T'ct\ ne reçoit pas complètement les rayons lumineux de la sphère L, puisque chacun de ses points ne peut découvrir qu'une partie du corps lumineux, le reste lui étant dérobé par l'interposition de la sphère opaque : cet espace ne sera donc pas entièrement obscur ni entièrement éclairé. Les points du plan SS, situés entre le cercle du diamètre MN et le cercle du diamètre mn, seront dans ce cas: l'intervalle de ces deux cercles formera donc

un anneau pour lequel ni l'ombre ni la clarté ne seront absolues.

Si, sur cet anneau, on prend un point voisin du cercle intérieur, tel que le point p, on voit, d'après la figure, qu'il ne peut recevoir des rayons lumineux que de la partie de la sphère L, correspondant à l'arc g/; si, au contraire, on prend un point voisin du cercle extérieur, tel que p', on voit qu'il peut recevoir des rayons de la partie de la sphère lumineuse, correspondant à l'arc g' /', beaucoup plus grand que g/; la clarté doit donc aller en augmentant, ou l'ombre en diminuant, du cercle intérieur au cercle extérieur, ou dans l'étendue de ce que nous avons nommé la pénombre.

Sur la surface de la sphère opaque, la courbe de tangence du premier cône est un cercle projeté suivant son diamètre aa. La courbe de tangence du second cône est un autre cercle projeté suivant son diamètre hh. La partie de la surface de la sphère 0 qui est au delà du cercle aa est entièrement dans l'obscurité; celle qui est en deçà- du cercle hh reçoit sans obstacle tous les rayons de lumière. Mais les points situés sur la zone comprise entre ces deux cercles ne voient qu'en partie ia sphère lumineuse, sont par conséquent dans un état intermédiaire entre la clarté et l'obscurité, et l'ombre perd de son intensité, du cercle aa au cercle hh^ sans qu'il y ait nulle part de passage brusque et précis : il y a également une sorte de pénomhre dans l'étendue de cette zone.

On peut regarder, on général, comme inutile de déterminer d'une manière géométrique les contours des pénombres, ce qui serait d'ailleurs fort long et fort

embarrassant; mais quelques observations assez simples peuvent fournir des données sur la mesure ô,e la largeur qu'il convient de leur attribuer.

La distance entre le corps lumineux L et le corps opaque 0 restant la même, si Ton rapproche parallèlement à lui-même le plan SS de ce dernier, la ligne Nn qui indique la largeur de la pénombre diminue, si l'on éloigne ce plan elle augmente; on voit aisément qu'elle est proportionni Ile à la distance du corps opaque au plan sur lequel l'ombre est portée, et qu'elle dépend d'ailleurs de l'angle ncN formé par les arêtes TT' et tt' des deux cônes qui enveloppent la sphère opaque et la sphère lumineuse, angle qui dépend lui-même de la distance entre le corps opaque et le corps lumineux, et des dimensions de ce dernier.

Si nous supposons que le corps lumineux soit le Soleil, la distance de cet astre à la Terre étant partout sensiblement la même, l'angle dont il s'agit sera toujours égal, quel que soit le corps opaque que l'on considère comme éclairé par le Soleil. Cet angle mesure ce qu'on appelle le diamètre apparent du Soleil ; il est d'environ un demi-degré, et de cette donnée on peut conclure que la largeur de la pénombre sera environ la ii5^ partie de la distance comprise entre le point qui porte l'ombre et celui où elle est reçue sur le plan, que nous supposons à peu près perpendiculaire à la direction du rayon de lumière. Il est facile de voir que s'il s'éloignait de cette position, la largeur de la pénombre augmenterait d,ans le rapport inverse du sinus de l'angle que le plan ferait avec la direction de la lumière; on trouverait par exemple, en supposant cet angle de 4o°» tjue la laçgeur d,ç la pé^omlprç devrait

être la 8i® partie de la distance entre le point qui porte l'ombre et celui où cette ombre est reçue.

Il est donc essentiel dans les dessins de donner une plus grande largeur à la pénombre, à mesure que l'ombre portée s'éloigne de l'objet qui la produit, et les résultats que nous venons d'indiquer suffisent pour faire connaître l'étendue à donner à chaque partie de la pénombre, avec plus de précision même que l'exécution des dessins ne le comporte ordinairement.

Nous avons remarqué qu'il se trouvait également une pénombre, ou zone incomplètement éclairée, sur la surface du corps opaque. Supposons toujours que ce corps soit la sphère 0; et pour trouver l'étendue de l'arc ba qui mesure la largeur de la pénombre, concevons aux points è et a deux normales à la surface, qui, dans le cas de la sphère, seront les deux rayons ob et oa. On sait que l'angle formé par les normales est égal à celui que forment entre elles les tangentes TT' et tt'; ainsi, la mesure de l'arc ba ne dépend que de deux éléments, l'angle formé par les tangentes et le rayon ob auquel l'arc est proportionnel.

Si la lumière vient du Soleil, l'angle dont il s'agit est toujours le même, quel que soit le corps éclairé, et d'un demi-degré à peu près.

On en conclura donc que la largeur de la pénombre sur la sphère est à peu près égale à la ii5^ partie du rayon.

On peut, sans erreur sensible, étendre ce résultat à un corps de figure quelconque, en observant qu(?' pour avoir la largeur de la pénombre correspondant à un point déterminé de la ligne de séparation dt la face obscure et de la face éclairée de ce corps, il faut

concevoir par ce point, et dans le sens du rayon de lu niière, un plan normal à la surface du corps, et prendre la II 5® partie du rayon de courbure de cette section. I^a nous hornani à ce qui précède, sur cette partie <lr la théorie des ombres qui a pour objet la détermination géométrique de leurs contours, il nous reste à traiter de celle ((ui est relative à la recherche de riiilensité des teintes qu'il faut donner aux différentes parties des surfaces ombrées, pour qu'elles nous offrent dans les dessins toutes les apparences d'ombre et (le lumière que les objets imités nous présentent dans la nature ; mais pour embrasser un tel sujet dans toute son étendue, il ne suffit pas d'envisager uniquement, comme nous l'avons fait jusqu'à présent, un corps lumineux, un corps opaque et une surface qui reçoit l'ombre, en faisant abstraction de toute circonstance accessoire. Il faut étudier les objets avec tout ce qui les entoure dans la réalité, et avoir égard, entre autres choses, à la position du spectateur et aux modifications que la lumière peut éprouver avant d'arriver à son œil, pour y porter la sensation du spectacle sur lequel il attache sa vue; ces considérations nous semblent exiger que nous fassions précéder ce que nous avons à dire sur cette matière par l'exj si t ion de la théorie de la perspective.

no-