THÉORIE DE LA PERSPECTIVE

136. L'art de la Perspective consiste à représenter, sur un tableau dont la forme et la position sont connues, des objets également donnés de forme et de position, tels qu'ils paraîtraient à un œil dont la posi-

MONGE. — II. "j

gS LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

tion serait aussi déterminée. Pour rendre cette définition encore plus sensible, supposons que le tableau soit d'abord une glace transparente. Si, de tous les points des objets proposés, on conçoit des rayons dirigés vers l'œil, que ces rayons, en traversant le tableau transparent, y laissent leurs traces empreintes de la couleur et de la teinte propre aux points dont ils partent, l'ensemble de ces traces formera sur le verre la représentation complète des objets : c'est cette représentation qu'on se propose d'obtenir dans l'art de la perspective. On voit qu'ici, comme dans la théorie des ombres, on doit admettre deux parties distinctes : l'une est purement géométrique, et son objet est de déterminer d'une manière précise sur le tableau la position de chaque point représenté; l'autre a pour objet la recherche de la teinte d'ombre et de lumière qu'on doit donner à chaque' partie du tableau, et c'est par des considérations physiques qu'on peut en général la traiter. Cette dernière partie, qu'on désigne sous le nom de Perspectwe aérienne^ rentre entièrement dans le cercle des recherches que nous essaierons d'exposer plus taTd, pour compléter la théorie des ombres; nous ne nous occuperons donc ici que de la première partie, appelée Perspectwe linéaire. D'après les définitions que nous venons de donner, il est facile de concevoir que la perspective linéaire se réduit à construire la section qu'une surface déterminée fait dans une pyramide dont le sommet et la base sont donnés. L'œil est le sommet; la base peut être regardée comme répandue sur la surface des objets qu'on se propose de mettre en porspecftive, et la surface sécant;e est le tableau.

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Ç)i)

Les méthodes de la Géométrie descriptive donnent aisément la solution de ce problème pris dans toute sa généralité, c'est-à-dire, en supposant même que le tableau soit une surface courbe quelconque; cependant, comme nous avons surtout en vue ce qui est d'une utilité habituelle dans les arts, nous ne nous étendrons avec quelque détail que sur ce qui concerne les perspectives à tracer sur des surfaces planes, et nous nous contenterons de présenter ensuite quelques observations concernant les perspectives à construire &ur des surfaces courbes.

Nous supposerons que le tableau soit un plan vertical ou perpendiculaire à celui des plans de projection que l'on considère comme horizontal; on pourrait sans difficulté le supposer incliné d'une manière quelconque par rapport à ces plans ; mais l'hypothèse à laquelle nous nous arrêtons est plus naturelle et simplifie les constructions.

Ainsi, la position de l'œil, celle d'un objet connu de forme et enfin celle d'un plan vertical étant données par rapport aux plans de projection, il s'agit de trouver les rencontres de ce plan avec les droites menées de l'œil à chacun des points de l'objet proposé, et de les rapporter sur un tableau représentant ce même plan vertical supposé rabattu.

Diverses constructions peuvent donner les points de rencontre avec plus ou moins d'avantage et de facilité, selon les positions respectives de l'objet, de l'œil et du tableau; nous allons exposer en premier lieu celle qui est la plus simple et ordinairement la plus commode.

Plaçons d'abord le plan vertical de projection dans

une position telle, que celui du tableau lui soit perpendiculaire, et qu'en conséquence ce dernier s'y trouve projeté par une ligne verticale qui sera sa trace. Soient 0' et 0" {fig. 53) les projections de l'œil, T'T' et "Y""Y" celles du tableau, ou les traces du ])lan vertical aTU|uel il appartient; supposons qu'on ait au delà les projections des objets à nieltre en perspective déjà faites, ou (pie l'on doit conunencer par faire sur les plans de projection qu'on a adoptés; par exenqde, celles d'une pyramide à base quadrangulaire, dont les sommets ou angles solides A, B, C, D, E soient donnés en projection borizonlale aux points A', B', C, D', by, et en projection verticale aux points A", B", C, \)\ \\".

Si, de l'ceil, oji mène une ligne à im premier point de l'objet proposé, on aura })our les projections de celte ligne les droites O'A' et 0"A". Les points a' et a", où ces droites coupent les projections T' T' et T" T" du tableau, sont évidemment les projections du point de rencontre du rayon visuel avec le tableau; il ne s'agit plus que de trouver la position de ce point sur le tableau lui-même, que nous concevrons enlevé de sa position x'T'T"T" et placé en MN. Un moyen sinq^le d'y parvenir est de déterminer sur ce tableau deux lignes que l'on prendra pour des axes auxquels tous les autres points doivent se rapporter; la position de ces axes étant fixée sur les plans de projection, on cberchera la distance à laquelle se trouve, de cliacun d'eux, le point de rencontre du rayon visuel avec :e tableau, et à l'aide de ces distances la situation du point sur le tableau sera facile à marquer. Ces deux axes pouvant être pris arbitrairement, nous supposerons que, par

Fio^ S3

l'œil, on mène deux plans, l'un horizontal et l'aut e vertical, perpendiculaires tous deux au tableau; leurs traces sur ceux de projection seront O'Y et 0"X; ils couperont le plan du tableau suivant deux lignes, l'une horizontale, représentée en projection verticale par le point X, et l'autre verticale, représentée en projection horizontale par le point y; ces deux lignes seront les axes que nous adopterons et, sur le tableau, nous les représenterons, savoir, par XX l'axe horizontal, et par Y Y l'axe vertical.

Cela posé, nous avons dit que a' est la projection horizontale du point où le rayon visuel mené au pointA rencontre le tableau ; ya' sera donc la distance à laquelle co point doit se trouver de la verticale passant par le point î/, ou de l'axe YY sur le tableau MN. Si donc sur ce tableau on mène à droite ou à gauche de l'axe YY, selon qu'en projection horizontale a' est à droite ou à gauche de î/, une parallèle à une distance égale à ya\ cette parallèle aa^ renfermera le point cherché. De n^ême a" étant la projection verticale du même point, xci"' mesure la distance à laquelle ce point se trouve de l'axe horizontal, mené dans le tableau par le point x : qu'on tire donc sur le tableau une parallèle a" a à l'axe XX, en ayant l'attention de la placer au-dessus ou au-dessous, selon que dans la projection verticale le point a" sera au-dessus ou au-dessous du point x; les deux lignes a'a, a"a, parallèles aux axes, donneront par leur rencontre le point cherché, ou la perspective du point A; on peut faire la même opération pour tous les points de la pyramide ABGDE dont on obtiendra ainsi la perspective complète.

Quelques observations abrégeront beaucoup le

GÉOMÉTRIE DESCRrPTIVE. I03

travail; on remarquera d'abord que la perspective dune ligne droite est une ligne droite lorsque le tableau est une surface plane. En elVet, les rayons visuels menés de l'œil aux divers poinfs de la droite j.roposée sont dans le plan mené par cette droite et ]iar l'œil; par conséquent, leurs points de rencontre avec le tableau doivent être sur la droite d'intersection du tableau par le plan auquel ils appartiennent. Ainsi, il suffît de construire les perspectives de deux points de la ligne proposée et de les joindre par une droite, pour avoir la perspective de la ligne eFîe-même. Dans l'exemple que nous avons pris, on pourra donc se contenter de construire les perspectives des cinq sommets A, B, C, D, E de la pyramide; et en les joignant par des droites, on aura les perspectives des arêtes.

En second )ieu, si le corps dont on veut faire la perspective est opaque et inipérjctrablc aux rayons visuels, la partie antérieure dérobera la vue de l'autre partie; il est donc inutile de construire la perspective des points qui appartiennent à cette dernière; ainsi, dans l'exemple proposé, le point E de la pyramide ne pouvant être aperçu de î'œil placé au point O, il est inutile de cbercher sur le tableau MN le point qui lui correspond.

La partie visible d'un objet est séparée de celle que l'œiî ne peut apercevoir par une ligne que Ton appelle contour apparent. La perspective du contour apparent est le trait qui, sur le tableau, enveloppe l'image de l'objet qu'on se propose de représenter; il est donc important, en général, de bien détermine r le contour apparent d'nn objet et d'en faire avec soin la perspective.

Lorsque les objets à représenter sont terminés par des surfaces planes et des arêtes reclilignes, il est en général facile de distinguer les faces visibles, pour une position déterminée de l'œiJ, de celles qui ne le sonl pas, et par conséquent de reconnaître celles des arêtes dont l'assemblage forme la ligne du contour apparent. Mais lorsque ces objets sont terminés par des surfaces courbes, le contour apparent n'est plus formé de lignes droites : c'est alors une courbe qu'il faut déterminer sur Ja surface du corps, à l'aide de son caractère particulier, qui est de séparer la partie du corps qui est V sible de celle qui ne l'est pas, par rapport à un œil doiil la position est donnée. On voit que cette recherche est tout à fait semblable à celle de la ligne qui sépare, sur un corps opaque, la partie éclairée de la partie obscure, lorsque le corps lumineux est un point unique, placé à une distance finie : il s'agit également de trouver la courbe de t|ingence d'un cône dont le sommet est donné, et qui enveloppe un corps terminé par une surface connue. Nous croyons inutile de nous arrêter à cette recherche, et nous renverrons aux solutions que nous avons données des questions parfaitement analoo;ues, dans la théorie des ombres.

137. Nous devons faire connaître ici un résultat de perspective très important par ses fréquentes applications, et dont l'observation est essentielle pour la correction du dessin; il consiste en ce que toutes les fois que l'on doit mettre en perspective plusieurs lignes droites parallèles entre elles (mais non pas au tableau), sur quelque tableau que ce soit, les perspectives de ces droites concourent en un seul point. Si

ce tableau est plan, ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites qui passent toutes par le même point, proposition facile à démontrer.

En effet, une droite étant donnée pour la mettre en perspective, on conçoit que l'ensemble de tous les rayons visuels menés de l'œil à cette ligne forme un plan passant par la ligne et par l'œil, et dont l'intersection par le tableau trace la perspective demandée; alors, si par l'œil on suppose une droite parallèle à la ligne donnée, elle se trouve en entier dans le premier plan. Maintenant, qu'on ait une seconde ligne, parallèle à la première, à mettre également en perspective, et que l'on considère aussi le plan passant par cette ligne et par l'œil, comme traçant par son intersection avec le tableau la perspective qu'il s'agit d'obtenir, puis qu'on mène par l'œil une droite parallèle à la seconde ligne donnée, elle sera entièrement dans le second plan. Mais les deux lignes données étant parallèles, les droites qu'on mène par l'œil, parallèlement à la première et à la seconde, se confondent en une seule qui est en même temps dans le premier plan et dans le second : elle est donc leur ligne d'intersection; le point où elle rencontre le tableau est par conséquent celui où se croisent les lignes suivant lesquelles ces plans coupent le tableau, ou, ce qui revient au même, celui où concourent les perspectives. Il suit de là que, pour mettre en perspective tant de droites parallèles qu'on voudra, il n'y a qu'à mener par l'œil une ligne <iui leur soit parallèle; le point où cette dernière rencontrera le tableau sera le point de concours auquel tendront les perspectives de toutes ces droites.

Les projections de la droite menée par l'œil sont

Io6 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

parallèles à celles de la ligne à mettre en perspective, et sont par conséquent faciles à construire; on a les traces du tableau sur les plans de projection : il est donc aisé de trouver le point de rencontre de la droite et du tableau.

Le résultat que nous venons d'expos^er peut abréger beaucoup les opérations, lorsque te tableau est une surface plane, et qu'il s'agit de tracer les perspectives de différentes lignes parallèles. Dans ce cas, ces perspectives sont elles-mêmes des lignes droites, et leur point de concours étant déterminé ainsi que nous l'avons indiqué, il suffira, pour les tracer, de connaître sur le tableau, relativement à chacune d'elles, la perspective d'un second point.

Mais ce n'est pas seulement co^nime moyen d'abréviation que ce que nous venons de dire doit être considéré; c'est encore lo procédé le plus sûr pour éviter des incorrections dont notre œil est facilement blessé. Nous sommes en général moins sensibles aux grandeurs réelles des objets qu'au parallélisme des lignes que nous jugeons devoir être parallèles. Que deux lignes soient un peu plus éloignées ou un peu plus rapprochées l'une de l'autre qu'elles ne doivent l'être, il faudra un œil exercé et quelque attention pour saisir ce défaut; mais si elles doivent être parallèles et qu'elles ne le soient pas, nous nous en apercevrons sur-le-champ et nous en serons vivem^ent choqués. Si donc, lorsqu'on met en perspective plusieurs lignes parallèles, les perspectives qui doivent concourir au même point n'y concourent pas en effet, cette erreur blesse extrêmement l'observateur, et les parallèles ne lui paraissent plus telles; ainsi, on peut

toujours regarder comme essentiel de déterminer sur le tableau le point d^ concours des lignes qui représentent les perspectives de« droites parallèles, afin d'être sûr que les perspectives passent par ce point.

Dans l'exposition dn procédé de construction que nous avons domné ci-dc«sus, nous avons supposé que le plan vertical de projection était perpendiculaire au i)lan du tableau; nous avons trouve dans cette disposilion l'avantage d'avoir le tableau projeté en entier sur une seule ligne. Si le tableau était oblique au plan vertical de projection, pour trouver la hauteur de chaque point de la perspective au-dessus de l'axe horizontal auquel on le rapporte, il faudrait, du point où la projection horizontale du rayon visnel rencontre la trace horizontale du tableau, abaisser une perpendiculaire sur l'intersection des deux plans de projection, et la prolonger jusqu'à la rencontre de la projec- I ion verticale du rayon a isuel. Ce travail, quoique assez long, peut dans quelques circonstances être moins pénible que la construction préliminaire d'une projection verticale sur un plan perpendiculaire an tableau.

Supposons qu'on ait à mettre en perspective une suite de pilastres semblables, et dont la direction soit oblique ati plan du tableau ; il serait fort long d'en faire la projection sur un plan verlical perpendiculaire au tableau, mais en la faisant sur un plan perpendiculaire à la direction des pilastres, elle se réduit à la projection d'un seul d'enire eux. On voit que, dans ce cas, il devient préférable d'adopter cette dernière disposition, malgré l'inconvénient d'avoir une ligne de plus à tracer pour construire la perspective de chaque point.

Io8 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

I:î8. En général, lo problème que présente la perspective linéaire, en le considérant dans ses éléments, se réduit à construire le point de rencontre du tableau, par le rayon visuel mené de l'œil à un point déterminé; et il est utile de connaître plusieurs moyens de le résoudre, afin de faire usage, en chaque circonstance, de ceux qui exigent le moins de travail. La plupart des méthodes données dans les ouvrages qui traitent de la perspective, et particulièrement celle que nous avons déjà développée, rentrent dans le mode général de solution que nous allons indiquer.

Si, par le point à mettre en perspective et par l'œil, on conçoit deux plans difterents, le rayon visuel se confondra avec leur intersection, et comme iis couperont nécessairement le tableau, si l'on construit les lignes ou les traces suivant lesquelles ils le rencontrent, le point où ces traces se croiseront appartiendra à l'intersection des deux plans entre eux, et sera par conséquent le lieu de rencontre du rayon visuel et du tableau. C'est au dessinateur à choisir parmi le nombre infin de plans qui peuvent passer par l'œil et par le point à mettre en perspective, les deux plans dont il lui est le plus facile de déterminer les traces sur le tableau, l^^n les prenant perpendiculaires, chacun à l'un des plans de projection, on retombe sur la méthode de construction que nous avons déjà donnée. Il peut être souvent avantageux de supposer l'un des plans perpendiculaire au tableau même; dans ce cas, il est aisé de voir que sa trace passera par les pieds des perpendiculaires abaissées de l'œil et du point proposé sur le tableau. Plus généralement, si l'on conçoit, par le point et par l'œil, deux lignes parallèles entre elles,

l'inlerseclioli du tableau et du plan qui les contient }>assera par les points où le tableau est lui-même rencontré par ces parallèles.

Ces diverses observations sufliscnl \)cm' nu tliv les ]»«;rsoniies, (pii sont au courant des méthodes de la (Jéoniéfrie descriptive, en état d'abréger dans un grand nombre de cas et de simplifier beaucoup les opérations «pi'exige la pratiipie de la perspective linéaire.

Supposons maintenant (jue le tableau n<'. soit plus un plan, mais une surface courbe donnée; les considérations que nous venons d'exposer doivent en général conduire, pour chaque cas, à la plus avantageuse des constructions possibles. En elîet, parmi tous les plans passant par l'œil et par le point dont on demande la ])erspective, et qui contiennent en conséquence le rayon visuel, on peut toujours choisir celui qui, d'après la nature connue de la surface proposée pour tableau, doniK^ par son intersection avec ce laltleau la courbe la plus aisée à construir» , soit sur le plan même que l'on considère, soit dans Tune de ses projections. Il sera ensuite facile de trouver Tinlersections de cette courbe avec le rayon visuel, ce (jui déterminera le point où le rayon rencontre le tableau.

Si, par exemple, le tableau était une surface sphéricpie, il faudrait que le plan mené par l'œil et par le point à mettre en perspective passât également par le centre de la sphère; alors l'intersection serait toujours un grand cercle, dont on trouverait facilement sur le plan même la rencontre par le rayon visuel.

Si le tableau était une surface conique, on ferait passer constamment le plan contenant le rayon visuel

par le sommet du cône ; l'intersection de ce plan avec le tableau serait une ligne droite dont on trouverait sans peine les projections, et leur point de rencontre avec celles du rayon visuel.

Les panoramas sont des perspectives tracées sur des surfaces cylindriques verticales à base circulaire, le point de vue étant pris sur l'axe même de ces surfaces. Pour mettre un point quelconque en perspective sur la surface d'un cylindre vertical, on concevia par l'œil et par le point proposé un plan vertical qui coupera cette surface suivant une de ses arêtes, déterminée par la rencontre de la trace horizontale du plan avec la circonférence du cercle servant de base au cylindre. Que l'on fasse la projection verticale de cette arête, sa rencontre avec la projection verticale du rayon visuel déterminera la hauteur à laquelle le rayon visuel rencontre la surface du cylindre, au-dessus de la base de ce dernier; et il sera facile, d'après ces données, de construire la perspective du point proposé, soit sur la surface même du cylindre, soit sur le tableau supposé développé.

139. Ce qui précède donnant les moyens de résoudre toutes les questions que peut présenter la perspective, nous n'ajouterons plus que quelques observations.

Lorsqu'on a un tableau offrant la perspective d'un objet, prise d'un point déterminé, on peut en déduire le tracé d'une perspective du même objet prise du même point de vue, et sur un tableau différent. En effet, l'œil et le premier tableau étant déterminés de pasition, la direction des rayons visuels menés de l'œil

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. i!t

à chacun des points de l'objet représenté se trouve fixée, et l'on peut en déduire par conséquent leur rencontre avec la surface d'un autre tableau dont la posilion est donnée.

Mais ce qu'on vient de dire ne saurait plus avoir lieu, si l'on prenait un autre point de vue ; rien dans ce cas ne déterminant la direction des rayons visuels, et une simple perspective ne sufîisant pas pour définir l'objet représenté. Une perspective est une sorte de ]»rojeclion qui ne diffère de la projection orthogonale, dont on lait haibituellement usage, qu'en ce que la pre>niière «'opère par des lignes qui concourent au ]>0'int de vue d'où la perspective est prise, tandis que, ])our la seconde, ces lignes sont perpendiculaires au pian de projection; or, on sait qu'un objet n'est complètement défini qu'à l'aide de deux })rojections : il ne le serait également qu'à l'aide de deux perspectives, par rapport à chacune desquelles on connaîtrait la position du point de vue.

Nous terminerons ici nos recherches sur la partie géométrique de la théorie des ombres et de la perspective. Les méthodes que nous avons exposées embrassent, relativement à la représentation des objets, à peu près tout ce qui, dans l'usage, est susceptible d'un tiacé rigoureux. Ainsi, divers objets étant proposés et déterminés par leurs projections, si on les suppose éclairés d'une manière connue, on construira les contours des parties éclairées et des parties obscures sur la surface de chacun d'eux, et ceux des ombres qu'ils portent les uns sur les autres, puis on tracera sur un tableau d'une forme donnée la perspective de ces mêmes objets, ainsi que des contours de

eiirs ombres, prise d'un point connu; il ne restera plus, pour compléter leur représentation, qu'à donner aux diverses parties de leur image les teintes avec lesquelles, dans la réalité, elles s'ofl'rent à nos regards.

DE LA DÉTERMINATION DES TEINTES DANS LA REPRÉ- SENTATION DES OBJETS, ET DE LA PERSPECTIVE AÉRIENNE.

140. La partie de la théorie des ombres et de la perspective dont nous avons maintenant à nous occuper est très compliquée, et a besoin d'être étudiée avec plus de soin qu'elle ne l'a été jusqu'à présent; elle exige quelques connaissances physiques et surtout un grand nombre d'observations.

Malheureusement, les peintres, qui sont obligés de réfléeliir à tout moment sur cette matière, publient peu les résultats de leurs méditations sur leur arl. Peut-être plusieurs découvertes curieuses, des observations importantes, demeurent-elles ignorées et perdues pour l'instruction générale, parce que les artistes qui les ont faites n'ont pas su en rendre un compte précis, ou ont négligé de prendre ce soin. Nous sommes bien loin de présenter les recherches que nous allons exposer comme un corps complet de doctrine ; ce- ne sojil que des idées jetées en avant el destinées à ouvrir une carrière à peu près nouvelle; puissent nos essais faire naître des recherches plus profondes, et devenir amsi pour la science le principe de quelques progrès ultérieurs.

La teinte qu'offre à notre vue un objet éclairé

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. Il)

dépend, premièroinent, de l'intensité propre de la lumière reçue du corps lumineux et renvoyée à notre œil, et de la manière dont a lieu sa distribution sur la surface de l'objet, et la réflexion qui la fait parvenir jusqu'à nous; secondement, des modifications que la lumière éprouve par l'elïet des milieux ou d«' l'air qu'elle traverse, et des autres circonstances aux<|uelles elle est soumise : c'est dans cet ordre que se suivront les considérations auxquelles nous allons nous livrer. Commençons par chercher l'intensité de la lumièi'c venant du corps lumineux à l'objet éclairé et, pour plus de simplicité, supposons que le corps lumineux soit unique, et considérons-le comme réduit à un point. On sait que V intensité de la lumière émise par un point lumineux diminue en raison im>erse du carré de la distance; il est évident, d'après ce principe, que plus l'objet éclairé est éloigné du corps lumineux, moins il en reçoit de clarté. Cette observation n'est pas d'une très grande importance dans les arts du dessin, parce qu'on suppose habituellement les objets éclairés par le Soleil. Dans ce cas, la distance du corps lumineux étant immense, par rapport aux dimensions des objets éclairés et aux distances qui les séparent entre eux, elle peut être regardée comme égale pour tous, et que par conséquent il n'y a aucune diiïérence entre l'intensité de la lumière qui parvient aux divers points des objets que l'on considère; mais si l'on avait à représenter une scène nocturne, éclairée par une lampe ou un foyer, il faudrait avoir égard aux distances des objets éclairés au corps lumineux, et donner une clarté plus vive à ceux qu'on voudrait faire ]>araître plus voisins du point d'où pari la lumière.

MONUI . — 11. S

l4 LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

Ce que nous venons de dire n'est relatif qu'aux parties éclairées; quant aux parties dans l'ombre, dès qu'on suppose qu'il n'y a qu'un seul point lumineux, et qu'on fait abstraction de tout ce qui peut réfléchir la lumière, elles ont toutes une intensité égale, elles sont toutes d'un noir absolu. Cette assertion peut paraître extraordinaire, parce que nous ne sommes pas habitués à voir les corps éclairés de cette manière; le Soleil est bien pour nous, dans le jour, la cause de la lumière, mais les autres corps la réfléchissent et nous la renvoient, tellement qu'il lait clair où les rayons directs du Soleil n'arrivent pas, et que nous n'avons jamais occasion de voir une ombre complète : on ne peut s'en former une idée que par les expériences de la chambre noire, et surtout par celles du microscope solaire. Lorsqu'on introduit dans la chambre noire un faisceau de rayons solaires, en les faisant tomber sur un verre lenticulaire; ces rayons se réunissent au foyer, s'y croisent et de là divergent, en formant un cône de lumière qui se projette, suivant un cercle très lumineux, sur le mur opposé de la chambre. Que l'on dispose un tableau très blanc pour recevoir ce cercle lumineux, et qu'au-devant l'on place un objet qui intercepte une partie des rayons, l'ombre paraîtra du noir le plus intense et sera terminée par un contour très précis, très tranché. Dans ce cas, en efl^et, la lumière part d'un point unique, le foyer du verre lenticulaire par lequel passent les rayons lumineux; et il n'y a pas assez de lumière réfléchie pour diminuer sensiblement l'obscurité de la chambre noire, dans les parties où les rayons n'arrivent pas directement.

GÉOMÉTRIE DESCRIPTIVE. Ii5

141. Considérons maintenant la lumière renvoyée de l'objet éclairé à l'œil de l'observa tevir. Si elle avait à traverser un milieu parfaitement libre, qui ne lui oll'rit aucune résistance, qui n'en interceptât aucune partie, deux objets de la même clarté paraîtraient à notre œil de la même clarté, quelle que fût leur dislance par rapport à nous. Pour s'en rendre compte, que l'on conçoive deux cercles égaux, également éclairés, et situés sur des plans également inclinés par rapport aux rayons menés de leurs centres à l'œil; l'intensilé de la lumière renvoyée par chacun d'eux décroîtra en raison inverse du carré de leurs distances jusqu'à l'œil, mais en même temps les grandeurs des images, suivant lesquelles ces cercles se peindtont à l'œil, décroîtront aussi en raison inverse des carrés des mêmes distances. Ainsi, d'une part, si la lumière renvoyée par tous les points du cercle le plus éloigné est moins intense, d'une autre part, elle est plus rassemblée et se condense pour nous ofîrir une image plus resserrée; ces deux cfTets contraires se trouvant dans le même rapport, se balancent pour donner lieu à la sensation que notre œil éprouve, et il en résulte que les deux cercles placés à des distances inégales doivent pourtant présenter la même clarté.

Cependant, il n'en est pas ainsi dans la nature, parce «lue l'air dans lequel se meut la lumière n'est pas complètement transparent. Nous chercherons plus tard à apprécier les altérations que sa transparence impai faite fait éprouver aux rayons lumineux, mais nous devons auparavant examiner comment la lumière se comporte à la surface des corps éclairés, soit pour s'y distribuer, soit pour revenir à notre œil.

llO LES MAITRES DE LA PENSÉE SCIENTIFIQUE.

Nous diviserons les surfaces en deux classes, relativement à la manière dont elles reçoivent et renvoient la lumière, savoir, les surfaces polies et les surfaces mates.

Nous ne connaissons pas de surfaces parfaitement polies, mais nous regarderons comme approchant de cet état celles qui forment miroir. On sait que les rayons de lumière, qui viennent frapper une surface polie, sont réflécliis en faisant l'angle de réflexion égal à l'angle d'incidence. Si la lumière émane d'un point unique, chaque point de la surface polie ne reçoit et ne réfléchit qu'un rayon, et parmi ces rayons un seul parvient à l'œil; tous les autres lui échappent : l'œil n'aperçoit donc que le point de la surface qui lui renvoie ce rayon; le reste est pour lui dans une complète obscurité, et le point visible en paraît d'autant plus brillant. La surface, la position de l'œil et celle du point lumineux étant connues, la détermination du point brillant est un problème de Géométrie descriptive, dont la solution est plus ou moins compliquée, suivant la génération de la surface proposée; il s'agit, en effet, de trouver sur cette surface un point tel, que menant de là des lignes à l'œil et au point lumineux, ces lignes soient dans un plan perpendiculaire au plan tangent et fassent avec lui des angles égaux (34). 11 est facile de voir qu'en supposant la surface polie assez étendue, il doit y avoir en général un point brillant. Sur les surfaces planes, sur celles qui ont dans un sens des éléments plans indéfinis, telles que les surfaces cylindriques, coniques et développables, il ne peut se trouver, ainsi que sur les surfaces arrondies, que des points lirillants, et non pas des lignes ou des

arêtes brillantes, du moins tant que la lumière vient d'un point unique. Si elle vient d'un corps de dimensions finies, plusieurs points de la surface })olie renvoient à l'œil des rayons dont l'ensemble lui présente l'image plus ou moins altérée du corps lumineux; le reste demeure d'un noir d'autant plus parfait que la surface est plus polie. Lors donc que l'on doit représenter un corps poli, il faut, après avoir déterminé la position du point brillant, p( iiulre ce point d'un blanc très éclatant et tenir le reste du corps dans l'obscurité.

Les surfaces mates, dont se compose la seconde classe, beaucoup plus nombreuse (pie la première, diffèrent des surfaces polies en ce que, de tous leurs points auxquels parviennent des rayons du corps lumineux, elles en renvoient à notre œil, à moins qu'un corps interposé n'y mette obstacle.

Il est assez facile de se faire une idée précise de la quantité de lumière que cbaque partie d'une surfaces quelconque reçoit du corps lumineux que, pour plus de simplicité, nous regarderons comme un point unique. On sait déjà, qu'abstraction faite de l'obli- (piité suivant laquelle la surface présente chacune de ses parties, l'intensité de la lumière qui lui arrive est en raison inverse du carré de la distance du point lumineux. De plus, si l'on conçoit que ce point soit le centre d'une sphère, la quantité de rayons reçue par un élément de la surface éclairée pourra se mesurer par la portion de la surface de la sphère comprise dans le cône dont le sommet est au point lumineux, et dont la base est l'élément de la surface proposée. Plus cet élément sera oblique, par rapport aux rayons qu'il

reçoit, plus le cône sera resserré, et moins la portion de la surface de la sphèlie qui s'y trouve comprise aura d'étendue. On peut donc en conclure, que plus la surface éclairée se présente obliquement aux rayons lumineux, et moins elle recevra de lumière. On exprime d'une manière mathématique ces résultats, en disant que pour chaque point de la surface, V intensité de la lumière est en raison directe du sinus de Vangle d-'incidence du rayon sur le plan tangent en ce point, et en raison inverse du carré de la distance au point lumineux.

II est plus difficile d'apprécier d'une manière satisfaisante, comment la lumâèrc est réfléchie par les corps mats, (ît quelle quantité chaque partie de leur surface en fait parvenir à notre œil. Cette recherche dépend de la contexture de l'enveloppe des corps; et nos connaissances physiques sont trop imparfaites, pour nous fournir les données qui nous seraient nécessaires : ce que nous allons dire sera donc fondé sur des hypothèses; nos résultats ne seront <iue probables, et nous ne les proposons que jusqu'à ce que l'on puisse les remplacer par d'autres, fondés sur une théorie plus certaine.

Nous admettrons donc que chacune des molécules qui appartiennent à une surface mate agit à la manière d'un corps lumineux, en réfléchissant dans tout l'espace libre la lumière qu'elle a reçue et qu'elle n'absorbe pas. On sent que ces molécules doivent offrir une infinité d'aspérités, qui ne sont sensibles pour nous qu'en ce que le corps nous paraît mat, et qui n'empêchent pas que la surface qui l'enveloppe ne soit à nos yeux unie et continue. Dans cette hypo-

thèse, chaque molécule placée à la surface du corps nous renvoie un rayon de lumière. Considérons un clément de la surface ; nous avons déjà vu que la distance à laquelle se trouve de nous cet élément influe sur la grandeur de l'image qu'il nous présente, mais non sur la clarté avec laquelle il nous apparaît, autant du moins qu'on n'a aucun égard aux altérations qu'éprouve la lumière par l'elfet du défaut de transparence de l'air qu'elle traverse pour nous parvenir. L'ensemble des rayons réfléchis par tous les points appartenant à cet élément et dirigés vers l'œil forment un cône dont l'élément est la base et l'œil le sommet, et le noinbre des rayons compris dans ce cône est proportionnel à l'étendue de l'élément de la surface. Si l'on conçoit une sphère dont l'œil soit le centre, et d'un rayon égal à la distance comprise entie la base du cône et l'œil, la portion de la surface de cette spiière, qui sera comprise dans le cône, donnera la mesure de l'espace angulaire dans lequel les rayons se trouvent réunis. L'intensité de la lumière arrivant à l'œil pourra donc s'évaluer, par le rapport de l'étendue de l'élément que nous considérons à celle de cette portion de la surface de la sphère. L'étendue de l'élément restant la même, celle de la portion correspondante de la surface de la sphère sera d'autant moins grande, que cet élément fera un angle plus aigu avec les rayons visuels; ainsi, l'intensité de la lumière réfléchie par la surface mate sera d'autant moindre, que cette surface approchera plus d'être perpendiculaire aux rayons qu'elle nous renvoie, ce qu'on peut exprimer d'une manière mathématique, en disant que pour chaque élément de la surface, celle intensité est

l'}.() LES MAITRES DE LA PENSEE SCIENTIFIQUE.

en raison im^erse du sinus de Vangle que fait le plan tangent ai^ec le rayon visuel.

Ce résultat ne doit pas être interprété à la rigueur, lorsque l'angle dont il s'agit est presque nul; dans ce cas, les aspérités de la surface mate, se couvrant en partie les unes les autres, nous dérobent une portion de la lumière qu'elles devraient nous faire parvenir. Ainsi, en regardant une surface plane mate sous un angle très aigu, on ne la voit pas avec une clarté très intense, comme l'indique l'expression analytique que nous avons proposée; cette expression devient alors incomplète, parce qu'elle ne tient pas compte des petites aspérités, dont la surface est couverte, et des rapports de leurs dimensions avec les distances qui les séparent.

Nous citerons un exemple remarquable à l'appui du résultat précédent.

La Lune peut être regardée comme un corps mat, éclairé par le Soleil, dont il nous renvoie les rayons. Si cet astre était enveloppé d'une atmosphère, les rayons qu'il nous renvoie des bords de son disque auraient à la traverser sur une plus grande épaisseur et, sans doute, ils nous arriveraient plus affaiblis que ceux qui viendraient du centre. Mais les observations astronomiques prouvent que la Lune n'a point d'atmosphère sensible; et, à raison de sa forme sphérique, nous devons voir près de ses bords une plus grande étendue de surface sous un même angle visuel : il doit donc nous arriver de là plus de rayons réfléchis, et les bords doivent, en conséquence, nous paraître plus éclairés; aussi observera-t-on que la clarté de la Lune a plus d'intensité sur le contour de son disque que dans son milieu.

La nature nous offre un grand nombre de corps dont

les surfaces sont intermédiaires aux deux classes exi renies que nous venons de considérer, et participent jusqu'à un certain point, comme le démontre l'expérience, aux propriétés des surfaces polies et des surfaces mates. Relativement à ces corps, on peut admettre que les molécules ({ui appartiennent à leur enveloppe extérieure sont des petites sphères à peu près polies, réfléchissant en partie la lumière, à la manière des corps polis, et plus ou moins engagées dans la solidité même du corps proposé, selon que son poli est plus ou moins parfait. Si elles étaient isolées, chacune olîrirait un point brillant; mais comme elles ne nous laissent voir qu'une partie de leur contour, toutes ne peuvent pas nous présenter un point de ce genre : celles-là seules jouissent de cette propriété, pour lesquelles le point brillant tombe sur leur segment antérieur et visible, qui se confond sensiblement avec la surface générale du corps. On peut conclure de là, que si, sur la surface du corps proposé considérée comme continue, on cherche la position du point brillant, ainsi qu'on le ferait dans le cas où le corps serait poli, on aura, en quelque sorte, le centre de la partie de la surface où se trouvent les molécules polies, susceptibles de nous offrir des points brillan s; et l'on conçoit que cette partie lumineuse sera d'autant moins resserrée, que les molécules polies dont il s'agit seront plus saillantes, ou que le corps sera moins lisse. En d'autres termes, on peut dire que pour les corps imparfaitement polis le point brillant s'élargit et se répand, en s'afîaiblissant, sur un espace d'autant plus étendu, que le poli est moins parfait. Sur le reste de la surface du corps proposé, les molécules ne nous renvoient

Ja lumière que de la manière propre aux surfaces complètement mates; et ce que nous avons dit à ce sujet trouve là son application.

Jusqu'à présent, nous n'avons considéré dans la lumière que l'intensité avec laquelle elle arrive au corps, s'y distribue et s'y réfléchit pour revenir à l'œil du s; éclateur; nous avons fait abstraction des altérations qu'elle subit dans les milieux qu'elle traverse, et par l'elFet des autres circonstances qui agissent sur elle : ce sont les modifications résultantes de ces diverses causes que nous avons maintenant à étudier.

142. L'air que la lumière traverse pour arriver jusqu'à nous n'est pas doué d'une transparence parfaite ; ses molécules arrêtent quelques rayons de lumière et les réfléchissent, comme le font les corps opaques. Cet effet, qui est insensible pour les objets peu éloignés, devient frappant pour les lointains; il s'étend sur les parties éclairées comme sur les parties placées dans l'obscurité; il diminue l'intensité de la clarté des premières et de l'ombre des secondes, et modifie la couleur des objets.

La lumière que réfléchissent les molécules de l'air a une couleur déterminée; l'air, comme tous les autres corps de la nature, a sa couleur particulière; c'est ce qui forme le bleu de ce que nous appelons le Ciel. Si l'air n'existait pas, ou ne renvoyait pas de lumière, le ciel nous paraîtrait d'un noir absolu, sur lequel les astres formeraient des points brillants. Le bleu du ciel est d'autant plus vif, que l'air a moins d'humidité; et c'est pour cette raison que le ciel des pays méridio-

GEOMETRIE DESCRIPTIVE. I2'i

naux est habituellement d'un azur ])lus beau que celui des pays du nord.

Lors donc qu'un faisceau de lumière traverse une étendue d'air assez considérable, il perd en chemin une partie des rayons dont il est formé, et par conséquent de son intensité.

Cette observation n'est pas aussi importante, lorsque l'on considère le rayon de lumière dans sa marche, dei»uis le corps Inminoux jusqu'à l'objet éclairé, que lorsqu'on le suit comme rayon visuel dans son retour de l'objet éclairé jusqu'à l'œil. En efîet, relativement à tous les objets éclairés par le Soleil, par exemple, qui s'ofTrent à nos regards dans un instant déterminé, la lumière traverse une couche d'air sensiblement égale pour éc]airer chacun d'eux, et la perte qu'elle éprouve dans sa marche diminue également la clarté de tous. Il y a cependant des circonstances où il est essentiel d'avoir égard à cette perte; et, pour représenter dans un tableau un elTet de soleil levant, un peintre remarquera que la lumière traversant alors horizontalement une grande étendue de l'atmosphère, avant de parvenir aux objets qu'elle coloie, a bien moins de force et d'éclat qu'au milieu du jour.

Mais c'est surtout dans le trajet de l'objet éclairé jusqu'à l'œil, qu'il est essentiel d'examiner comment la lumière est altérée par la masse d'air interposée. Non seulement une partie des rayons réfléchis par l'objet se trouve interceptée, mais les molécules d'air intermédiaires reçoivent aussi des rayons directs de lumière et les réfléchissent avec leur propre couleur, dans la direction même de ceux qui sont renvoyés à l'œil par l'objet éclairé. La sensation que cet

objet doit faire éprouver à l'œil est donc altérée de deux manières; d'abord, en ce qu'une partie des rayons qui doit la faire naître est arrêtée; et ensuite, parce que des rayons étrangers et d'une couleui bleuâtre se mêlent aux premiers. Cet efïet est d'autant plus prononcé, que la masse d'air interposée est plus considérable; et l'on peut admettre comme principe, qu'à mesure que la distance des objets éclairés à notre œil augmente, leur clarté diminue, et leur couleur propre participe davantage de la couleur bleue de l'atmosphère.

Pour les objets dans l'ombre, un effet analogue a lieu. S'il n'y avait qu'un corps lumineux et point d'atmosphère, l'ombre serait d'un noir absolu; mais les objets environnants, et particulièrement l'air lui-même, éclairent jusqu'à un certain degré les parties des corps qui ne reçoivent pas directement la lumière, et c'est ainsi que leurs formes deviennent sensibles pour nous. De plus, les rayons qu'elles peuvent nous renvoyer sont aussi en partie arrêtés par les molécules de l'air intermédiaire; ces molécules reçoivent et réfléchissent vers notre œil d'autres rayons, qui nous parviennent dans la direction où l'ombre que nous considérons est placée relativement à nous, et qui affaiblissent l'intensité de cette ombre, en y mêlant une teinte bleuâtre; on peut donc admettre également, que plus les objets non éclairés sont éloignés de nous, plus l'ombre diminue d'intensité, en se rapprochant de la teinte de l'atmosphère.

Concevons deux files d'objets semblables se prolongeant à une grande distance, l'une composée d'objets éclairés et l'autre d'objets dans l'ombre. La

clarté des objets qui composent la première ira s'affaiblissant à mesure qu'ils s'éloignent; si on les suppose de couleur blanche, le blanc diminuera d'éclat et, de plus, il changera de couleur par degrés insensibles, d'un objet au suivant, mais d'une manière marquée sur la longueur de la file, et il passera à une teinte bleuâtre. En même temps, l'ombre des objets qui composent la seconde file diminuera d'intensité; elle s'éclaircira, non pas en s'approchant de la couleur blanche, mais de la couleur bleue. Si les deux files d'objets que nous considérons s'étendent extrêmement loin, il arrivera enfin que le blanc de ceux qui sont éclairés et le noir de ceux qui sont dans l'ombre, décroissant toujours pour se rapprocher du bleu, se perdront en se confondant dans la couleur de l'atmosphère. C'est ce qu'on remarque, lorsqu'on aperçoit de hautes montagnes, dans un lointain de 25 ou 3o lieues; leurs cimes couvertes de neige et brillantes de clarté, leurs grandes ombres si prononcées, lorsqu'on les voit d'une petite distance et pendant un beau jour, tout s'éteint presque entièrement et se fond dans l'azur du ciel.

Ainsi, quand on veut faire sentir dans un tableau l'intervalle qui sépare deux objets inégalement éloignés, il est de principe de peindre celui qui est le plus distant de couleurs moins vives, en éteignant les clairs et en affaiblissant l'intensité des ombres; et quand on doit représenter des objets très lointains, les couleurs doivent prendre une teinte générale bleuâtre.

Ce principe est bien connu, et même on l'exagère, et l'on en fait très fréquemment un abus qu'il est utile de signaler. D'après ce que nous avons dit, ce n'est que lorsque la ditférence entre les intervalles qui séparent

divers objets de notre œil devient considérable, qu'il en résulte une différence sensible entre les effets produits par les masses d'air qui occupent ces intervalles, sur la lumière que les objets nous renvoient. Si l'on a par exemple devant les yeux une façade d'archileclure, dont une partie forme une saillie ou un avant-corps de i"^, la couche d'air de i"^ d'épaisseur, que les rayons visuels venant de la partie en arrièrecorps ont à parcourir de plus que les autres, pour arriver jusqu'à nous, ne leur ôtc rien de leur intensité, ou du moins leur en ôte trop peu, pour que la diminution soit appréciable par nos sens. En supposant donc l'avant et l'arrière-corps parallèles entre eux et semblablement éclai es, c'est à tort qu'on établirait une différence entre les teintes qu'il faut donner à l'un et à l'autre, comme le font beaucoup de dessinateurs; ils nous paraissent également éclairés et doivent être représentés avec la même clarté.

Cependant, nous distinguons parfaitement dans la réalité qu'une partie forme saillie sur l'autre; il n'est pas même nécessaire que 1 avant-corps porte ombre sur la partie en arrière; et lors même que la direction du rayon de lumière venant du Soleil et la position de l'œil sont tels, qu'aucune ombre n'est apparente, on juge sans peine quel est le plan le plus voisin et quel est le plus éloigné. Il est essentiel de reconnaître ce qui dirige à cet égard notre jugement, pour l'imiter s'il se peut, et que )a peinture avertisse l'œil par les mêmes moyens que ceux qui l'avertissent dans la réalité.

Représentons-nous toujours une façade d'architecture d'un ton de couleur parfaitement uniforme, et

dont une partie forme sur l'autre un avant-corps. Si l'on place un obstacle quelconque, tel qu'une planche, «lui nous dérobe la vue de l'arête par laquelle se termine l'avant-corps, il nous devient impossible de juger laquelle des deux parties est la plus voisine de notre œil; mais si l'obstacle est enlevé, on en peut juger à l'instant . Cette expérience fort bimple nous apprend donc que c'est par la manière dont la lumière agit sur l'arête qui termine l'avûnt-corps, que nous sommes avertis qu'il existe une saillie. Si l'arête dont il s'agit était une ligne droite mathématique, l'action de la lumière sur l'arête serait nulle, ou parfaitement inappréciable, et nous ne pourrions pas encore distinguer quelle est la partie qui est en avant-corps. Mais cette arête n'est jamais tranchante, jamais une ligne droite mathématique : les matériaux dont elle est composée ne sont pas d'une compacité absolue, les instruments dont on fait usage pour les tailler ne sont point parfaits, on n'a point apporté au taillage une précaution infinie ; et en sortant des mains de l'ouvrier, cette arête était déjà loin d'être ligourcusement précise. Depuis, tout ce qui a pu la frapper ou simplement la frotter a dû l'émousser davantage; et, définitivement, au lieu d'être une arête tranchante, ce n'est qu'une surface arrondie, que l'on peut considérer comme une portion de cylindre vertical circulaire et d'un très petit rayon; c'est par la manière dont la lumière agit sur cette surface cylindrique, et en est renvoyée à notre œil, que l'existence de la saillie nous est indiquée.

Nous avons montré précédemment que chaque partie d'une surface courbe reçoit d'autant plus de

lumière qu'elle se présente plus directement aux rayons lumineux, et que la lumière qu'elle renvoie à notre œjl a d'autant plus d'intensité, que cette surface s'offre plus obliquement à nos regards. D'après ces principes, il doit se trouver sur la petite surface cylindri(|ue, qui représente l'arête du côté où vient la lumière, une partie dont la clarté est plus vive; et, sur l'autre arête, une partie dont la clarté est moindre que celle de la façade du bâtiment; le tout dépendant, pour la détermination précise, de la position de l'œil et de la direction des rayons lumineux.

Ainsi, pour faire sentir, dans l'exemple proposé, qu'il y a une partie de la façade qui forme saillie, il faut ménager aux arêtes, du côté de l'ombre, une ligne un peu moins claire, et à celles qui sont du côté de la lumière, une ligne plus éclairée, qu'on appelle reflet; du reste, la teinte sur les deux plans parallèles dont se compose la façade doit être la même.

Nous devons ajouter cependant encore quelques développements qui tiennent à d'autres considérations.

Nos organes sont doués de certaines propriétés qui altèrent les sensations qu'ils nous transmettent. L'organe de la vue, par exemple, prolonge la sensation au delà de l'instant où il l'éprouve; c'est ce que démontre une expérience bien connue : quand on fait mouvoir avec rapidité un charbon allumé, placé au bout d'un bâton, on voit, non pas le charbon occupant successivement différents points, mais un ruban de feu continu.

Ce même organe jouit d'une autre propriété, c'est d'étendre, d'agrandir les objets, d'autant plus (ju'ils

sont plus éclairés; en voici un exemple frappant. Quelques jours après la nouvelle Lune, et lorsqu'elle approche de son premier quartier, elle est visible sur l'horizon, encore un peu après le coucher du Soleil ; un quart environ de son disque seulement est éclairé, mais ce qui est dans l'ombre reçoit par réflexion quelque lumière de la terre et n'est pas invisible pour nous; la partie éclairée paraît alors d'un diamètre beaucoup plus grand que celle qui est dans l'ombre, et il semble y avoir un ressaut considérable au passage de la courbure de l'une à la courbure de l'autre. A l'époque du dernier quartier, et avant le lever du Soleil, la même illusion se renouvelle; mais la partie dans l'ombre au premier quartier est alors éclairée, et paraît à son 'tour plus grande que l'autre, qui est devenue obscure. Plusieurs expériences confirment cette faculté qu'a la vue d'étendre les dimensions des objets blancs et éclairés, aux dépens de ceux qui sont obscurs; nous ne rapporterons que l'expérience suivante, comme la plus simple. Lorsqu'on place, à côté l'une de l'autre, plusieurs bandes parallèles, parfaitement égales en largeur et alternativement noires et blanches, en les regardant d'un point un peu éloigné, les bandes blanches paraissent beaucoup plus larges que les noires.

Une troisième propriété, que l'œil partage avec nos autres organes, tient à ce qu'en général les sensations fortes affaiblissent momentanément en nous la perception des sensations plus faibles. C'est ainsi que le canonnier, qui vient d'entendre la décharge d'une batterie, est insensible à l'impression d'un bruit médioci-e. Il arrive même qu'une sensation vive, éprouvée