LIVRE OMZliME

Supposons pour un moment inscrits les hexagones cherchés ^ et soit leur côté dj" qui est la quantité inconnue =:^ a:; on divisera cette ligne en deux parties égales au point i'^ et Fon mènera la droite A <^ qni lui sera perpendicu- ' lairè (SS), et passera par ct^ centre de l'bçxa^ t- gone, dont dj" est. le côté^ en coupant aussi • par moitié au point fz le côté pn dé l'hexagonç central ; et comme on a dans le triangle équî-^ i latéral Apn

•: pn : A^ :: I : - ï/5 (404),

on aura

0? : A)x :: I : - v/3j d'oùA|u=-a»t/5, '

et encore

dy.zzz^ X}

pi^is, comme, i = {Kdf :^ (Ai^)' + {ds>)% ou aura

i=^ar'+Ja:*=7a:*;d'où^*=^etj:=^^ ;

256 GÉOMÉTRIB Dn COMPAS.

valeur qui est précisément celle pour la ligne d^ dans la solutioEi du problème, ainsi qu'on vient de le démontiier; donc, etc.

On trouve dans Pappus, liv. 8, prabl. i5, prop. jig f ce problème résolu avec la règle et le compas, d'une manière qui n'est pas plus simple que la précédente. Il y a aussi ajouté une construction mécanique.

191- Nous croyons avoir jusqu'ici rempli les promesses que nous avons faites (6 et 7j. Quant au premier point , nous avons déjà donné tous les élémens de la Géométrie du compas j c'est-à-dire la totalité des problèmes qui suffisent pour trouver avec le compas seul et sans la règle tous les points qu'on peut trouver avec ces deux instrumens réunis. Pour démontrer ceci ( 71 ) , on observe d'abord que la Géométrie élémentaire fournit le moyen de trouver les points d'un problème , ou par la section des arcs entre eux (et ce moyen est toutà-fait propre à la Géométrie du compas) , ou par la section des arcs et des lignes droites, ou par celle des lignes droites entre elles (et tout cela se trouve compris dans le livre j) (HO etsuivans). Ensuite une droite quelconque nécessaire à la solution d'un problème se

CQj(^ LIVRE ONZIÈME. 257

i{ ^|irouve dëterminëe de grandeur et de position. 5ûJÉ^^^ rapport à la grandeur , nous avons enjgjg^igné dans le liv. 5 (64 et suivans) et dans le liv, 4 (72 , 75 , 74 ) , à agrandir , diminuer , • I diviser une grandeur quelconque finie en un I .nombre quelconque de parties; puis , dans le liv. 5 (86 et suiv.). à trouver les troisièmes, «les quatrièmes , les moyennes proportionnelles, ainsi qu'à diviser une droite dans un r rapport quelconque donne. Quant à la position ; des droites, elle se détermine par la position de deux points pour chacune d'elles; or le , liv. 4 ( 76 et suiv.) enseigne à trouver les points I pour tous les C£^s des perpendiculaires et des ^ parallèles. Le liv. 8 (1 1 5 et suiv.) donne tout ; ce qui est nécessaire pour déterminer la posi- , , tion des lignes droites entre elles sous un angle ' <Iuelconque, donné par le moyen de deux points. On a épuisé dans le liv. ^ (27 et suiv.) ' les divisions de la circonférence du cercle et de ^ tous les arcs qui sont du ressort de la Géométrie élémentaire. Je ne vois plus , d'après tout cela , quels autres élémens on pourrait désirer. À l'égard du choix des problèmes que nous avons recueillis ici , nous laisserons aux mathématiclens le soin de juger si , dans un grand nombre de cas utiles ou récréatifs , il

^58 GÉOMÉTBIE DU COMPAS.

n*est pas préférable , non-seulement ponr la précision du résultat, mais encore pour la promptitude dé la construction, d'abandonner la règle et de se servir du compas seulement , jusqu'à ce qu'ayant trouvé les points nécessaires au problème , on mène , s'il le faut , d'un point à l'autre une ou plusieurs droites que Yôïï ne peut pas à la vérité tracer avec le compas seul , et qui exigent l'usage de la règle.