LIVRE DOUZIÈME

PROBLÈMES RÉSOLUS PAR APPROXIMATION

1 92. Tous les problèmes supérieurs au se^ cond degré ne peuvent être résolus géomélriquejcnent seulement avec la vègle et le compas; mais ils exigent des intersections de cour})es coniques ou de d^gré supérieur , et p^r conséquejpt on ne peut les réspudre exactement avec la seule Géométrie du coofipas. Les insr trumens faits pour décrire 1» cycloïde , la con^ cboïde^ la cissoïde, H trajectoire et d'autres courbes semblables qui servent à la résolution d^ ces problèmes , sont assurément d'une in-^ vention très ingénieuse et d'un prompt et élégant usage dans la pratique. Pourtant^ lorsqu'on n'a pas besoin d'avoir toirte la trace de la courbe à laquelle ils sont destinés ^ et qu'il suffit d'obtenir un point par l'intersection de cette courbe avec d'autres lignes p comme ils laissent toujours quelques soupçons de petites erreurs qu'on ne peut pas quelquesfois bien calculer ^ il vaudra mieux , dans beaucoup de cas , préférer à l'exactitude théorique

26o OÉUMÉTRlE DU COMPAS*

de ces méthodes, l'approximation pratique suffisante d'une construction faite avec la règle et le compas. Alors je dis que le plus souvent une solution obtenue avec le seul compas sera encore préférable. On pouri^a s'en convaincre par des exemples , en comparant nos solutions avec celles déjà connues.

495- Comme il n'y a encore aucune méthode générale pour obtenir par la Géométrie élémentaire ces approximations, on ne doit pas attendi*e que j'en propose aucune par ma Géométrie du compas. Je n'appelle point mé^ thode géométrique d'approximation celle par laquelle on obtient une valeur approchée à l'aide d'une de ces échelles qu'on nomme géométriques, puisque avant de s'en servir il faut faire un calcul arithmétique : une telle méthode doit être plutôt appelée arithmétique.

Supposons, par exemple, qu'on veuille la racine cubique du nombre 2 , l'extraction qu'où veut faire arithmétiquement de cette racine, pour pouvoir ensuite prendre les portions décimales ou une fraction quelconque sur une échelle géométrique avec le conipas afin de doubler un cube , se fait par un moyen qui est plutôt du ressort de l'Arithmétique que de celui de la Géométrie.

LITRE OOOZIÈHB. sGl

i 94- Je n'ai pu encore jusqu'ici apercevoir dautre moyen d'obtenir d'une manière très approchée la solution de plusieurs problèmes utiles supérieurs au second degré , que celui de trouver des genres, et pour ainsi dire des classes différentes de construction de figures élémentaires ; puis de soumettre au calcul le plus grand nombre possible de cas particuliers presque innombrables qui en résultent, 6t de choisir parmi ceux qui tendent le mieux au but qu'on se propose, et l^s employer à résoudre le problème.

195* J'ai déjà examiné plusieurs de ces genres, et pour ainsi dire de ces classes de constructions, et j'ai entre les mains des recherches sur cette matière. La classe la plus simple est celle dont nous ferons presque uniquement usage dans ce dernier livre de notre Géométrie. Elle est fondée sur les trois points remarquables a, bete (Jîg. 9, 1 1 et 12) ( 59)^ qui nous ont déjà tant servi dans les livres précédens , et sur lesquels nous avons à donner les douze équations que nous avons promises (59).

196. Soit le point Z un point quelconque pris sur le quart de la circonférence BF dans ïa fig. 12 construite comme dans le livre se-

le degré de Tare BZ = E ^ égal à la moitié de l'arc qui a pour corde Zz = sin E, en substituant dans l'équation (E) du n"* 196 pour {eZy sa valeur 2 — 2 cos E'; pour (eB)* sa valeur 5 — {/2 , et pour AE sa valeur ^{2 — ^2) = 2 sîn 22** 5o' (1 98, 58) , on aura

2 sinE v^(2 — i/a) = 2 cos E' + i — ^2}

ce qui, en multipliant par 1/(2 + \/2) v^a, donne

4sinE = 2COsE'. v'2v'(2 + \/2) — (|/2 — i)v/2 {/ {2+ 1/2) = 2 cos E' 4/(2+ 1/2) v/2-(2- v/2) 1/(2+ /a) = 2 cosE' 4/(2+^/2) v/2- \/{2-{/2)\/2;

puis divisant par 4, et considérant que Ton a ï/(2+v/2)=2sin67* 3o'(57)et i/2=2sin45', onaura(156,157,158)

sin E = 2 cosE' sin 67® 5o' sin 45®

— sin 22* 5o' sin 45® ,

ou sin E = cos E' [cos (67*50' — 45*)

— cos (67* 5o' + 45*)] — sin 22* 5o' sin 45*;

ou bien

sin E = cos E' cos 22*5o' cos E' sin 22®5o' — sin 22®3o' sin 45° ;

ou enfin

cos (E'+ 22« 3o')+sm (E'+ 22° Sof)

22**3o' COS 22° 3o'

fcos (li' +22» 3o:)+sm {,E + 8În22«»3o'+cos(E'— — sîn(E'— 22«3o')— ce

211. Ainsi des trois équations (A), (B) et (E) , nous en avons tiré six au moyen desquelles des arcs étant donnés^ nous pourrons en obtenir de nouveaux , ainsi que leurs nou^ Telles cordes^ à l'aide des trois seuls points c, b et e.

212. Comme il peut y avoir une infinité d'arcs, chacune de ces équations donne une infinité de solutions. Mais si l'on ne veut avoir la valeur que des arcs que l'on peut trouver par le moyen des mêmes points a, b et e, on en trouvera 120 pour chaque équation, qugnd il n'y aura de limites particulières pour aucune d'elles. En efibt , on pourra , par le moyen de ces trois points, diviser la circonférence en ^4^ parties égales (57.) , et' par conséquent la demi-circonférence en 120 j on. aura donc 60 points iÇ et 60 points z , qui , pris ensemble , détermineront 1 20 cas pour chaque équation ; mais qfuelqu'une d'elles aura des limites particulières.

213* Si l'on voulait prendre avec le compas, P^r exemple, la corde de 3**, c'est-a-dire de

la cent -vingtième partie de la circonférence (42), et décrire un arc en plaçant en a la pointe du compas , cet arc ne pourrait couper la circonférence en aucun point Z, attendu que sa corde est plus petite que la distance aF= 1/2—* 1. On ne pourra donc pas dans l'équation (4) mettre au lieu de A' l'arc de 3*, et si l'on veut le faire ^ on trouvera pour sin A une valeur plus grande que l'unité»

c'est-à-dire une valeur absurde. Pour voir quel est le premier arc qu'on pourra mettre à la place de A' entre les arcs de- la série i*5o', 5**, 4^*50', etc., on observera quel est l'arc qui a pour cor4e la distance aY y qui est la plus petite entre le point a et le cercle, et qui est

égale à V^a— i = 2rsin45* \ = Oy^\l\i\%

zzicorde 2V 54' ^tô; Donc le premier arc qu'on

puisse employer de ceux qu'on trouve par le moyen des trois points a, b et e sera celui de 24^* Après cet arc, on pourra employer tous ^es autres arcs de la suite 25** 5o', 27% 29''5o' jusqu'à iSo"*; car les cordes dé tous ces arcs peuvent être des distai;ices du point a à quelque point Z ou z de la circonférence.

21 4. Les équations (5) et (6) sont plus limitées; car dans Téquation (5) on ne peut pas