U est évident que cette dixièmç équan
filYRE DOUZIEME. 'aSl
tion aura aussi ses limites^ puisque l'on ne pourraf pas y introduire toutes leç valeurs tie l'arc BZ ouBzr^Â^ qui douneraiçnt la distance aZ plus grande que ef.
227* Enfin on peut de la comparaison de l'équation (B) avec celle (E) tirer deux autres équations. Car si Ton porte une distance du point e à un point quelconque Z de la circonférence , qui soit l'extrémité d'un arc connu 9Z=E^ et que du point b comme centre et de cette distance eZ prise pour rayon on décrive un arc qui coupe la circonférence en cpielque autre point Z' qui détermine l'arç BZ' =:B, on connaîtra cet arc au moyen de son sinus de la manière suivante : soit fait dans l'équation (B) du n"" 196> Zz = 2 sinB^ dans celle (E) Zz =2sinE^ et dans toutes les deux bZ = eZ, on aura^ après avoir fait les subsr-. titutions nécessaires (f 98) ,
?jrJ^4.sinB(</5— = 3— v/2
-TT- 2 sinEv/(2rr-^/2); d'où Ton tire
2sinB( ^/5-i )= 1/5+1 -2 v/2-4sinE 1/(2- v/2)j
et multipliant les deux membres de l'équa^iou
1/5 + 1 par ■^— g-^~ , on aura
28a GÉOMÉTRIE BU COMPAS.
u 3+V/5 1/5 + 1 Ji
=ï 2 sin* 64"* -^ a sîu 54*^ 8În 45"
— 4 sinE sin ^:2*5ô' sia 54» (209) ;
d'où Ton tire (158)
sia B = I — cos io8® — ces g» — siii g» |
— -asinE (oos 5i*5o' — cos76**5o');
et par conséquent {i 56) '
(H) sin B = I + sin i8» *-* cos 9*" — sîn g' — sin(E4-5i«3o') — sm(E — Si»5o') sin (E + 76» 5o') -+. sin (E — 76^ 5o')-
228. L'équation (11) aura aussi des limites de deux côtés ; car la distance la plus petite eF = I — - |/(2 — • v/a) est moindre que celle
bf= I — - (v/5 — i) , et la plus grande ej
est plus grande que b¥.
229. Si l'on multiplie par ^^^w/''^ l'équation 2SÎnB(|/5-i)=v/5+i-2v/2-4siaEv/(2-i/'2)
que l'on a trouvée plus haut (227) ; on aura
jj Co^i LIVRE DOUZIÈBlBi jlS5
o^/j: 2 sin 54° sin 67*^30' sia 45* — sin 67^30'
i^'f — ^ ^^^ ^ ^^^ ^^* ^^^ 67** 3o' 8ia 45* ' s sin 67*^30' (cos 9* 4- sia 9**) — sin 67** 3o'
— 2 sin B sin 67** 3o' (cos 27° — sin 27°) -i&i (sin 76^30' — cx)s 76^50'
-û»' +sîn 58*5o' + cos 58'3o')
— sîn 67^ 3o' — sin B (sin 85^ 5o'
+ sin 40° 3o' — cos 40** 3o' — cos 85* 3o') ;
. i'où on a enfin
'f-fà(x\ • ^ I f sîn 96^30'— COS n6^3o' 1 . ^ o^^^ m *- E=- { +3?,5803,.+ J,58o3o' }-^^" ^' ^^ ^
î^l^^ r cos (85*>3o'— B)4- sin(85"3o'— B) ^
•^f I ) —cos (85«3o'+B)— sin(85°3o'+B) /
Qf. 2 j +COS (4o*>3o'— B)+ sin(4o«3o'— B) f '
l — cos'(4o*>3o'+B)— sin(4o«3o'+B) }
^^ équation qui n'a pas de limites.
330* Si par hasard quelqu'une des valeurs f (pi'on trouve avec ces douze équations est au premier abord très approchante de quelque Taleur utile et cherchée dans la solution defe pït>blèines , on aura l'avantage de parvenir au «ï*me but par un moyen très simple j car on
:a84 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.
n'aura à employer d'autres points pris hors de la circonférence que les trois seuls points a,b ete que l'on a déjà remarqués tant de fois, et dans la circonférence quelqu'un de ceux qui servent à la division exacte de la circonférence par le moyen des solutions des problèmes du livre second. Nous allons actuellement donner quelques exemples.
231 . Nous verrons d'abord comment on peut diviser le cercle à l'ancienne manière en degrés et minutes^ sans erreur d'une seconde.
Pour celaji nous supposerons que la circonférence du cercle BD^ (j%. 12) est divisée en deux cent quarante parties (57 , 58) , dont chacune, comme jP/, contient i'3o', que l'on commence à compter les quantités posî-* tives de B vers F , et de même les quantités négatives de B vers f, et que les points Z et Z' sont des points vagues soumis pour le moment à la seule condition de se trouver , savoir :' les points Z et Z' entre B et F sur la circonférence, et les points z et z' entre les points B etf. Nous en agissons ainsi pour éviter le trop grand nombre de figures dont on aurait besoin si Ton en répétait une pour chaque problème. D'ailleurs, la petitesse des divisions les laisserait à peine apercevoir même
,^5 ItVRE bOUZI&lIlE. 285
}^ ians Une figare beaucoup plus graude que là ^figure 13*
te'. ^
PROBLÈME
• 232. Trousser (fig. 12) Varc dun degré de
î ancienne division ^ oude i"" sans erreur d'une
demi-seconde.
/" Solution. Soit l'arc B z = — 55^ 3o' (251 ). Prenez avec le compas la distance bz^ et du point e comme centre décrivez un arc qui coupe là circonférence en un point Z; on
aura Tare B Z = Sn^Sq ^^ , c'est-à-dire de 55* ' ^ 1751 '
' sans qu'il y manque vingt-cinq tierces. On a en-
[ suite dans les divisions de B vers F exécutées
pat le problème du n^ 42, Tare de 54'== — .
On aura donc aussi l'arc 54* — 53*^ ==1** avec l'approximation demandée.
Démonstration. Si dans l'équation ( 1 2) on fait B = — 55^ 3o', on trouve à la fin du calcul
sin E = 0,7986543 = sin 53^59' j^-
IP Solution. Soit l'arc BZ =: io*»3o'; du centre a et avec la distance bZ prise pour rayon décrives^ un arc qui coupe la circonfé*
:i36 GÉOMÉTRIE DU qoll|FAS.
reoQç.en un autre paiat TI\ on aura Tare BZ'
fSâ I I
c= 29® 29' -g,- , c'est-à-dire = 29* 5o', sans er-
reur d'une demi-seconde « . On trouve ensuite dans les divisions du cercle faites au n^ 58
J'arc de 28** So'^kï -^ de la circonfiérence. Donc
on aura la différence des deux arcs égale à i* avec l'approximation demandée.
Démonstration. Si dans l'équation (7j on fait B = I o* 3o^, on trouvera à la fin du calcul
sin A = 0,49^4^ 1 5 = sin 29" 29' ^^5- :
donc les arcs ne différeront pas de 29*^ de la valeur d'un degré.
253* Cette seconde solution est moins approchée que la première de S''", mais les sections, des arcs ?'y font SiOiyn^ un angle qui diffère moins de l'angle droit.
254. Puisqu'on a l'arc de i°5o' (225), et qu'on a trouvé (226) l'arc de i % on aura aussi en soustrayant lun de l'autre l'arc de So', ou le demi -degré , et par conséquent on aura la manière Uç diviser toute la circonférence en demi-degrés sans accumulation d'erreurs, et sans qu'aucun point soit éloigné d'uqç d^ïniseconde de sa véritfible situation.
