LIVRE DOUZIÈME
commecentre et d'un rayon égal à la distance ez prise avec le compas soit décrit un arc qui coupe la circonférence en Z»; on aura l'arc BZ= i6**i5'io'' avec l'approximation demandée.
Démonstration* Si dans l'équation (9) on fait E = •— 34**^ on trourerâ pour résultat
log sin A = 9,4469652.
Ce logarithme se trouve être celui du sinus de i6®i5'io" — : donc l'excès ne va pas à dçux
tierces.
248. ITîou^er Varc de 5" ou dun douzième de minute as^c une erreur inappréciable par ks tables ordinaires et moindre que 2"*.
I'* Solution. Soit l'arc BZ = 4^3o'; du point « comme centre avec un rayon égal à la distance e Z prise avec le compas , soit décrit un ^rc qui coupe la circonférence en un autre point Z'i on aura Tare BZ'= 32"5i'5'' avec ^'approximation demandée.
Démonstration. Si dans l'équation (9) on fait ^^4*50', on aura pour résultat
ag^ GÉouj6Tfti£ bu coupas.
log sîn A = 9,7343692 î
or
log sin S2*5i' = 9,7545529 ,
et la différence est i63; de plus, dans les ta-* blés,, la différence pour dix miantea est 326, c'est-à-dire précisément double de i63 :
donc, etc.
En calculant 1 errfeur avec de grandes tables, o^ U trouve moindre ^e 2^^^
IP Solution. Soit l'arc BZ= 5i«3o'. Dn centre a avec un rayon égal à la distance eï prise avec le compas soit coupée la circonférence en un autie point W ; on aura Tare BZ' = 5i**3o'55'' trop petit de moins d'une tierce*
Démonstration^ Si dans l'équation (9) on fait E =s 3a° 5o', on trouvera par le moyen: des tables ordinaires
logsin A=:9,8936365 = logsin5i«3o'5o" ^ j
lac[uelle fraction -J- se comparant à 10^, donnera 5'' avec un excès moindre de i"'. On aura donc A = 5i*3o'55", lequel arc soustrait de 5i'5i' donnera 5" avec l'âpproximaticm demandée .
LIYHE DOUZIÈMB. ±99
Mais il est temps de passer à la démonstraH tioQ de l'usage qu'on peut faire des douze équa^ tioDS précédentes quand on veut diviser la drconférence du cercle suivant la nouvelle
manière des Français.
249* Suivant cette manière, la circonfé'^ rence se trouve divisée en 400 degrés, afin que le quart de cercle, qui est le fondement de tonte la Trigonométrie, soit par là divisé eu 100. Chaque degré est divisé en loo minutes, chaque minute en 100 secondes, et ainsi de suite. On peut, si Ton veut, se dispenser de dénommer les degrés, minutes ou secondes , la position des décimales faisant assez connaître la nature de ces fractions.
250. Par conséquent on voit que 9 degrés anciens valent 10 degrés nouveaux, ou bien que 9'' = 0,10; que 54' == 0,01 ; que 2j' =:o,oo5j que 5'24'' = 0,001 ,• que 32"24'" s= 0,0001 ; c'est-à-dire qu'un degré nouveau vaut 54 minutes anciennes, qu^une minute nouvelle vaut 52"24''' de l'ancienne division , etc.
251 . Les divisions obtenues exactement par le moyen des trois points a, b et e dans le seoond livre donnent jusqu'à la 240* partie de la circonférence (59). L'arc qui forme cette partie est exactement de i'*32' de Tancienne
30O GÉOUéTRIE DU COMPAS.
division. Il ne s'exprime pas également avec un nombre fini de décimales dans la division moderne ; le premier arc , formé par l'assemblage de plusieurs 20®' qu'on exprime avec un nombre fini de décimales du quart de cer-
cle • est celui de -7- ou de ^ de la circonfé- ' 240 00
rence , lequel est de 4'' ^o' = o,o5 du quart de çerde , c'est-à-dire de 5 degrés de la nouvelle division. On peut donc avec les méthodes du livre second et par le moyen des trois seuls points a , b et e pris hors de la circonférence, la diviser en deux parties égales , chacune de cinq degrés modernes, et cela avec la précision géométrique, ce qui est un des ayan* tages de cette Géométrie.
252. On pourrait, si l'on voulait, par la division des arcs en deux parties égales (60) 1 diviser ensuite la circonférence en arcs de deux degrés et demi chacun ou de o,025 , et continuer ainsi cette division ; mais il est clair que par ce moyen on ne pourra pas avoir un degré avec précision. Il ne reste donc d'antre moyen à la Géométrie pour obtenir l'arc d'un degré (63), que celui de chercher quelque construction qui le donne au moins par ap-* proximation*
