LIVRE SEGOlfD

43. Maintenant on pourra^ quand on voudra f avec quatre compas seulement , ou quatre ouvertures du même compas , et avec les deux seuls point aetb pris hors dç la circonférence , diviser la circonférence du cercle en cent vingt parties égales. En effet , après avoir ^ avec le point a y et avec trois compas^ divisé la circonférence en vingt<»quatre parties (problème élu numéro 52) , et ayant trouvé le point b (40) , qu'on fasse ^ avec le quatrième compas^ kXb =BP = PQ;^QR = RS, et par conséquent aussi = SE (41). Ensuite, pour diviser l'arc NG en cinq parties égales, dont chacune soit la cent- vingtième de la circonférence, qu'on fasse à Xb G=:hq = qp = I'7rs=0/=fâi = 09^. L'arc NG sera divisé en cinq parties égales , et Ton pourra diviser de la même manière tous les autres arcs GC , CI, etc.

Démonstration. Puisqu'on aBQ= RE, BF = FE,IF = FL, on aura aussi IQ = LRî et comme hq = QR, on aura aussi Q^ = LR := QI. De même QP étant égal kqp, Qp sera aussi égal à P/7, et à^QI. Pareillement, à cause de l'TT = QP, on aura ttP = QI; et comme on a Oop ==:BQ, 01 = IB, on aura encore I â> ;sQL De plus, à cause de a>^ = Itt, on a loi s:s:(P93r = QI : puis, comme on a

en retranchant de*part et d'autre les avcis égau^ OG, BL , on aura pour reste G^ =s LR = QI« Enfin , à cause de BI s=: LN , si on retranche les arcs s égaux BQ, L/>, on aura pour reste QI' = N/>. Donc on aura divisé l'arc NG en cinq arcs TSp, pi?, P'tT, tt^, (pG égaux chacun a Varc Q I ^ et par conséquent égaux entre eux ; et puisque l'arc N G est un vitirgt-quatrième de la circonférence (32) , sa cinquième partie en sera le cent-vingtième.

44. Nous avons donc jusqu'à présent Êiit, sanç aucun autre instrument que le compas, les mêmes divisions en parties égales de la circon*férence , que celles que faisaient les anciens en inscrivant au cercle les cinq polygones réguliers^ savoir : lé. triangle, lé carré, le pentagone, l'hexagone et le décagone, et en joignant l'usage de la règle à celui du compas , tandis que l'on y est parvenu d'une manière commode, en iprénant seulement deux points hors dé la circôn-^ férçnce , et en n'employant que quatre ouvertures d'un seul compas, ou bien quatre compas (43 ^ 8). En comparant cette méthode avec la. méthode connue, on pourra juger dé sa sîm-