F5.A* = (FA

donc la droite F £ sera divisée au point A en moyenne et exb^me raison ( 5o, Uv. 6 ).

46 • On aura dcmc

F« . A5 s=s (FA + A* . Ai = (/A)»

= (/A-hAô>. A^ =/A . Ai+(A6)»

=/A(/A-^/6)-f.(A6)* =r/A/-/A.yî + (A6)-.

Ayant donc

(/A)'= (/A)- -/A./ô 4- (Aè)-,

retranchant (/A)*, et ajoutant/A .fb , on aura fti^'fh = (Ai)* : donc aussi la ligne A/ sera divisée txkhy en moyenne et extrême raison.

47* Si du centre h^ et d^un rayon &A^ on décrit un arc qui coupe la circonférence au

56 GÉOMÉTRIE DU COUPAS,

poinf T, on aura

T/=Ti = 6A.

En effet, on aura

' d'où (17, Uç. 6) on tire cette proportioii

Donc les deux triangles /AT, yjT, qui ont l'angle en ^commun , auront leurs côtés contigus porportîonnels ; donc (6^ ZtV. 6) ils seront sçmb}ables; dpnc aussi le triangle/^T sera isosr cèle } ce qui 4pnn^ T ^ == T/i

48. L'angle T6iVz=T/è4-6T/(32,&V. i) î?=T^y4" ^ ATj en ajoutant Tbf, oi^ aura

Tb^H^Tb/=:;2T'bf^b^T;

mais T6 A-f- Tft/ valent deux angles droits j (i3, ZiV. i) ; donc 2Tbf+ 6 AT valent dçux angles droits. Mais Ti/= 6AT + *T A (32, àV. i) = 2*AT(5, /iv. i);donc2T6/4-AAT ?== 5 6 AT =s: dçux angles droits^ Pqnc l'angle ^AT, qui est le même que l'angleyAT, sera un cinquième de deux angles droits, et l'aro /T un dixième de la circonférence* 49: Si l'on prend la corAe/t ==yT, çn a^r?;

LfYSB SECOND. 57

aussi btsnft (47)) et les àeffx. droites tT,bf se couperont au milieu à angles droits çn uii point j' (44) ; alors on aura (Tf)' = (Tjr)* + (/r)'» d'où l'on tire

4 (T/)- = 4 (A6)« = 4 (T^)^ 4- 4 (/jr)'

= (Tty + (/A)',

MaisC/;&)'=(/A-r-Aè)'==(/A)'~a/A,Afi +-(AA)»jdonç

Or a /A. Aô = a /A (/A — /6) = a (/A)»

— a /A ,/6 = a (/A)' T- a (A *)' j dono

(T0' = 5(A*)»~(/A)«+aC/A)'-3(AA)*

= (/A)« -H (A^)' == (BA)« + aby

Dono aussi TtszzBb-^ mais T f est la corde de deux dixièmes , ou d'un cinquième |le la circonférence ; donc B b l'est aussi ; donc^ etc.

50. Dans le triangle rectangle ÂBb^ le carré du côté du pentagone e^t égal à la somme des carrés des côtés de t hexagone et du décagone. Cette proposition est la lo* du /tV. i^ $EucUde.

58 geomé'trtë du compas.

51.' Les côtés du* trîahgle rectangle* ABb sont cordes d'arcs qrii sont en progr^ession

contre harmonique. Car ces arcs sont î^, 75 • —

de la circonférence , et Ton trpuye cette proportion :