AB = EO
et
AO=i=^AB,et€. ■'■'■
Solution m. Pu çenti;*e A et du rayon A B ifië' ^9) sôîl décrite la. demi - cîrcojiféreacQ BCDÊ (64);* avec le méine rayon AB, et des centras B et E , '3bi0rit décrits les arcs indéfinis CP, Un; des n^émes ceiitres B et E, et du rayon BE, soient décrits les arcs ^pqr, BPQR, od pourra trouver le point]|^^ enfaisant P]Vï== tB, EM = Py (solution //)( 66);! Actuellement,, qu'on fasse à AP = BQ = QN^^ Ég^;' qu'oa fasse aussi à Q2===£JN[^ lepûip^N^ ^ra au milieu de la droite A M. Soit fait pareillement à AC^t.BRii&ROû^Er^eiàRri^fiai lé point sera au milieu de la droUf; AJS»\ ^^. \\ o
Démonstration, Après avoir fait dans la^g. 5 (z3) les substitutions necessrarès', 6ti aura
^6 GÉOMéxaiE DU COMPAS.
MaisB£r=aAB, et(BQ)*=B- (AB)' (vo^ez la démonstration de la solution P* ); donc
aQî.AB=r4(AB)'--|(AB)'î puis 9 divisant par :k AB, et réduisant, on a
Q9=|ab.
Donc aussi EN = r AB; donc la droite A B
étant la mèn^ie dans les deux^g. 1 8 et i g, les côtés des deuij: triangles Q'NE (Jig. i8)^ QNE {fi^. tq), {Seront aussi les mêmes. D'où en superposant les trois points B , Q, E de la^g. ig, sur les trois points B, Q% E de la^g. i8, les points ]N d(ss deux figures se confondront aussi;
De même, faisant les substitutions nécessaires dans la figure 5 (25)} on a
Rr.BE = (BE)*— (BR)*.
Mais (BR)*:^ I (AB)* {démonstration de làso^ lution /'*); donc
Rr.BE^(BE)'-|(AB)»;
pu bien, substituant 2 AB à BE, otk s^
' LfVRE TROISliMB. 77
aAB.Rr = 4(AB)* — |(AB)*;
puis, divisant par 2 AB et réduisant ,
Rr=|AB=OE.
Donc les points £, R, B de la fig. ig coïncidant avec les points E, R', B de la fig. 18, et les lignes RO et EO y étant respectivement égales aux lignes R^O, EO de la fig. 18, le point coïncidera aussi. D'où l'on voit que le point se trouvera au milieu de la ligne AN.
On démontrerait de même pour les antres divisioïis jusqu'à l'infini.
On pourrait employer d'autres nioyens pour trouver les mêmes points : mais nous passerons h d'antres divisiojûts de la ligne AB en un nombre difi^érent de parties.
PROBLÈME
6Sl* Dwiser la distance hB en trois parties égales^
Solution. Qu'on ajoute en ligne droite de part et d'autre à AB (Jig. 20) les deux distances AE > B V qui lui sont égales (64) f des centres E et V et du rayon E V soient décrits les^ deux an» indéfinis QVç, FE/?; des mêmes
centres E et V et du rayon E B soient décrits deux autres arcs qui coupent les premiers en Q, q , et VffS avec ce même rayon EB, et des centres F et p, soient décrits deux arcs qui se coupent en T;' enfin, avec le même rayon et des centres Q, q soient décrits deux arcs qui se coupent en ^, la ligne AB sera divisée en trois parties égales aux deux points T et /.
Démonstration. Les points T, t seront dans la ligne droite YE (45); puis, à cause de l'angle commun en E (5 et 3 3^ liif. i ; 4? liv. 6) $ le triangle isoscèle EPT sera semblable an triangle isoscèle ÉPV; donc (PEj*=ET.EV (17^ ZiV* 6). Substituant dans cette éîquatîon 2 AB pour PE , et ^AB pour EV , elle de-
viendra | AB ^ ET j d'où AT « | AB. Oa
démontrerait de même que B^ est tm tiers de AB^ et par conséquent aussi T t.
PROBLÈME
69. Diviser une distance k^ en un nombre quelconque de parties égales
SolufiUM. Un exemple ou 4eux« feront mieas) seûtir la règle. généiiale. . . / i in
< Exemple /•'. Siît (yfg. 21 } U>dîstaïice'AA»
LJVJiK TROlSiÈMK. 79
à diviser e^ ciqq «parties ég^le;s ; qu'pn lui ajoute
en ligne droite les quatre dis^nc^ A|), ËF,
FG, GH (Ç5) qui lui .sont égalas , de manière
qu'eUe soi(t quintuplée en BH , cest-à-dim
multipliée par autant d'unités qu'il y en a àsivA,
le nom!t)re qui ii^^ique en combiea de parties
on veut la dWî^^^* ^^^ extrénûtés B et H ^
CQii)i|ie ççu1;res^ et avec un rayon A B de la
lougueur de 1^ distance qu'on veut diviser,
qu'on décrive deux arcs i^défîm$ AC, GI; des.
mêmes centfes ]Ç et H , et avec un rayon BH,
soient; décwta le^ 4eux; arcs HI , BC ; puis dii,
cenixe C et du prfpaiçr rayon AB qu'on décrîVeî
uoiarc ^4^$^if(Q; enfin, du centre H avec'
la rayçu CI qu'on décrive- un atc qui coupe ^
TaW; BQ eu Q; la^ distance BQ sera sur la diî-
rection de la ligne B A , et en sera la cinquième
