LIVRE QUATRIÈME* Qt

(72), oa en l'ajoutant de l'autre côté (75) , ou en la plaçant sur CD de C vers D , si elle est plus grande ( 74) , suivant que l'exigeront le& conditions du problème.

Cette solution n^a pas besoin de démonstra*lion.-

82. rérifieriûg. 5i) si les points X , B,C sont en ligne droite.

Solution. Des centres A et C , et d'un rayon (AC, par exemple) pris arbitrairement, soient décrits deux arcs qui se coupent en J) et £ j puis ; qu'on observe si DB=EB : si cela est, les trois points A, B, € sont en ligne droite; i^inon, ils n'y sont pas.

DémanstrdtioH. Si l'on à encore. DB.;;:=»£B,

on aura fangle DAB = EAB = i DAE

(8, Z/v. I ), car les dçux triangles D A B , A B E ont les côtes égaux chacun à chacun. Mais, par la même raison , dans les triangles DAC.et EAC , les angles D AC , EAC sont égaux , et par conséquent chacun d'eux est égal à la moitié de Tangle DAE : donc on aura DAB = DACj d'où l'on voit que les trois points ABC sont en ligne droite.

gS GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

Mais si la ligne DB est plus grande ou plus petite que EB^ l'angle D AB sera ou plus grand ou plus petit que l'angle EAB (aS,. Iw. i); il ne pourra donc pas être égal à l'angle DAC, puisqu'il ne saurait être égal à la. moitié de l'angle DAE : donc les trois points A^ B^ C ne pourront être en ligne droite.

PROBLEME

85. Etant donnés trois points A^ B^ D (fig. Zn) y vérifier si la ligne D A est perpendiculaire à AB.

Solution. Soit doublée la ligne AB en BE (64) par le moyen du demi-K^ercle BPQE; qu'on observe si l'on a D B = DE : si cela est^ l'angle D AB est droit ; autrement il ne l'est pas.

Démonstration. La droite BAE étant le diamètre du cercle^ fera avec DA deux angl$ dont la somme vaudra deux angles droits ( 1 5, ftV. 1 ) . De plus, dans les deux triangles DAE, DAB, qui ont les côtés AE, AB égaux et le côté AD commun ^ quand on aura le côté DE égal au côté DB, l'angle DAE sera aussi égal à l'angle DAB (8, /iV. i), et par conséquent ils seront tous deux droits. Mais quand DE sera plus grande ou plus petite que D B, l'angle