LIVRE SIXIËMB. Il

c est- à-dire

(Aa)**+(BD)'=2{AB)r4-2(AM}»^

ou biea

a4-3 = 2 + 3(AM)'; d'où

6=:4(AM)', v/6 = aAM, AM = iv/6.

De la comparaison que l'on vient de faire des points Q, T, qj E, R, A de la fig. 4^ avec les points kf q^^f Q, P,/? de la fig. 5, il résulte (15) qu'on a dans la fig. 45> AQ=A5r=QR=p.5f. On verra par les mêmes raisons que les droites AP, A/?, PT, Tp sont égales entre elles ^ et aux quatre lignes A.Q, A^r, QR, Ry. Donc les deux triangles îsoscèles PTA, QAR ayant tous les côtés égaux entre eux , on aura Fangle PAT =QRA (8, Uv. i); et comme la ligne TAR est droite, P A sera parallèle à QR (29, liv. i); d*où Von voit .aussi que PQ est égale et parallèle à AR(55, Iw. i). ^

Mais Q^ est perpendiculaire à AR (1 4); donc elle l'tsst atis^ à PQ (27, liv. i). Ensiiile dans les triangles PAT, RA^r, les deux angles PAT, RAç seront égaux (8, Iw. i), et la ligne TAR sera droite. Donc les deux angles PAT, PAR étant égaux à deux angles droits ( 1 5 , liv. t) , les deux angles PAR, R A^ le seront aussi ; d'où

Il6 GÉOMÉTRIE DD ClOMPAS.

la ligne P Aç sera droite aussi (i^y Uv. i). Donc (P5r)»=(aRQ)'=(PQ;* + (Qç)« (47, fii>. .); c'est-à-dire

d'où

2 = (Qj)«etQî = i v/7- Puis on a

d'où

Aa = -^ = -|/8.

On a aussi BR = - = - ^/g.

Si l'on compare les points B, L, R, If A de la fig. 45 avec les points Q, A , ^ , B, P de la fig. 3 de l'équation

(AQ)« = (AP)» + (PQ)«-|-Pp.PQ(l6).

on tirera pour la fig. 45 l'équation

(BL)* = (LA)* + (AB)*+AR.AB; ou bien

d'où

BL = -/io.