MC : AM :: BS : AB
donc les côtés M C, BS seront aussi proportionuels ; donc langle MCA sera le même que BSA (5, ZiV. 6); donc les points A, C, S seront dans la même droite ^ et B S sera la tan-* gente et AS la sécante de l'arc BC.
Si le cercle décrit du centre M et du rayon MA ne . coupait pas la circonférence , ou la coupait sous des angles trop aigus , il faudrait avoir recours aux moyens indiqués ( 89 ou 90 et 91).
jiutre solution pour trousser la tangente et la
sécante.
Décrivez (64) la demi-circonférence BCE (Jig. 56) j du rayon BC et du centre E coupezla au point Q ; du rayon C Q et des centres A et B décrivez deux arcs indéfinis qui se coupent en V , et avec le même rayon C Q et du centre V coupez la circonférence en e; du rayon Ee et des centres A et B décrivez deux arcs qui se coupent en m; du même rayon E^ et du centre m décrivez la demi-circonférence ABS (64) : SB sera la tangente et SA la sécante de l'arc BC.
Démonstration. Si Tare BCF est égal au quart de la circonférence = FE, comme on a par construction BC := QE , on aura aussi CF = FQ. On sait déplus^ par les définitions trigonométriquesy que le sinus de l'arc CF est le même que le cosinus de l'arc B C , et que la corde de Tare CFQ, double de l'arc CF, est double du sinus de l'arc C F ou du cosinus de l'arc BÇ : cette corde est égale à CQ= AV,* on a de plus (22)
AV.Ee = (AB)«.
LIVRÉ HUITIÈIIE. 1^%
La ligne AmS (64) étant droite = 2 Ee et a V == 2 COS. BC ; on aura
2Ee.cos. BC = (AB)» = AS^cos. BC;
donc (17, àV, 6)
cos.AC : AB :: AB:AS;
donc AS sera troisième proportionnelle au cosinus et au rayon ^ et par conséquent égale à la sécante^ suivant les démonstrations trigonométriques. De plus^ Tangle ABS étant droit (5i , Iw. 5), la sécante AS sera déterminé^ de position^ et par conséquent BS sera la tangente.
i 20* Etant doi^né le sinus m n dun arc dun rayon donné AB, tromper cet arc.
Solution. Décrivez {fig. 67) avec le rayon AB^ le cerclç CcK^ doublez mn (64) ; d'un rayons;::^!»/}, «t d'un point. quelooaque C de la cûrconfiéreoce ^ décrivez un arc qui la coupe enc; divisez l'arc Ce en deux partiels? égales au point B ( 60) , B C sera l'arc cherché.
Démonstration. Le sinus de l'arc B C^ d'après
l44 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.
les définitions trigonométriques^. est la moitié de la corde double de BC; donc^ etc.
PROBLÈME
121. Étant donné le cosinus ma itun arc dun rayon donne A B ^ trousser cet arc.
Solution. Décrivez le cercle CcK (Jig. 5j) avec le rayon ÂB; doublez ma (64); d'un point quelconque c de la circonférence pris pour centre et d'un rayon = 2 ma, coupez la circonférence au point K; déterminez la demi-circonférence KcC{ 64) ) ; divisez en deux parties égales l'arc Ce an point B (60) : B G sera l'arc cherché.
Démonstration. Tirez l'autre corde Ce; elle sera divisée au point M en deux parties égales et à angles droits par le rayon AB (14). Mais l'angle CcK étant inscrit et appuyé sur le diamètre y est aussi droit (Si, &V. 5); donc les deux triangles CMA^ CcK, qui ont un angle commun en C , et chacun un angle droite sont équiangles entre eux (^2, lii^. i): donc
Qiï a (4, &V. 6)
CM : Ce.:; MA : cK.
LIVBE HUITIÈME. t4^
Mais CM est la moitié de Ce ; donc
de plus^ MA est le cosinus de l'arc BC| donc y etc.
PROBLÈME
122* Étant donnée la tangente sb duit arc dun rayon donné AB (fig. 55), trousser cet arc.
Solution. Décrivez avec le rayon AB lé cercle BCeT; au point B élevez sur AB une perpendiculaire BS==6^ (5^6)î trouvez (iH) le point C où SA coupe la circonférence; BG sera l'arc cherché.
Cette solution n'a pas besoin de démons^ tratiôn.
PROBLÈME
125. Étant donnée (fig. 55) ta sécante sa dun arc dun mjon dbHTié AB, trouver cet arc.
Solution, Décrivez avec le rayon AB la circonférence BCeT j sur AB portez B V = AB
( 64) ; puis des centres A et Y et du rayon sa >
lO
i46 géohAtris du cohipas.
décrivez deux arcs qui se Canpeat£n'S; trou-» vez (111) le point C où la ligne SA coupe la circonférence : BC sera Taifc -cherché*
Démonstration. La ligne SB sera perpendîculaire à B A ( 83) ; donc elle sera la tangente de Tare BC^ et par conséquent SA en sera la sécante.
