Observation. Quand nous dirons
Construire uhe figure ou un poljrgone^ nous entendrons , trouver tous lés points qui suffL-sent pour déterminer de grandeur et déposition toutes les droites quHl conviendrait de tirer pour construire entièrement le poljgone.
126. Sur i^ côté dorme zh ^ constfruire ufi triangle semblât^ à un trjtcffigle dQîjtné kl^Ç
Solution. y pyezW^. r^ ..
PROBLÈME
126, Étant donnée (fig. 58) une Jipire ABCEFDy construire une figure qui lui soit semblable, et dont la surface :^it avec celle de cette figure dans un rapport donné.
Solution, ^i Ton veut , p^ exemple , que
lO..
Jt48 6ébM£TRIB I^U GÔltPiÉS*
la surface de la nouvelle figure soit les deui cinquièmes de la surface de la figure donnée.
D'un rayon ÂB, le plus grand qu'il sera possible, construisez la figure 4^ (1 00) ; preness dans cette figure la ligne kaisz ^^ pour rayon ; du centre (^g. 58) décrivez le cercle plus petit t dans la circonférence duquel se trouve le point i^. De la ligne ET = |/5 {fi^. 45)> prise pour rayon , et du même centre 0^ décrivez le cercle plus grand, dans la drcenférence duquel se trouve le point Y , déterminé par raj^rt au point (^, ^e telle manière que la ligne V s^ soit à peu près tangente au point ^ du cercle intérieur.
Supposez la figure donnée divisée en autant de triangles ABC, ACD, CDE, EDPy en iniaginaiit des droites AG , CD, etc. , et placez
les nombres 1,2,3,49^9 ^^c* 9 ^^^ ^^^ ^^ tances AB, AG, GD, etc., qui mesufènt les côtés de ces triangles; appliquez successivement les distances i , :2 , 3 , etc. , comme cordes à autant d'arcs consécutifs du cercle Y , savoir : Atf de Y en i , AG de i en 3 , BC de 2 eif 3, et ainsi de suite jusqu'à la fin ; ce que Ton fera en prenant la dislance ÂB pour rayon, et en décrivant du point Y pris pour centre un arc qui coupe cette même circonférenee au point r, etsc*
LITRB NEUYIÈMfi. I'49
D'un nayon égal à Y (^ ^ et en pi^enant isucces^ sivement pour centres les points i^ ^^ 3> 4^ etc., décrivez des arcs qui coupent successivement la plus petite circonférence aux points i., a, 3, 4f etc. , jusqu'à la fin.
Les cordes du cercle intérieur, ou les dis-r tances de (^ à i, de i à :2, de 2 k 5, de 5.k 4^ etc., seront les d^tés ab, ac, bc, cd, etc. , de la nouvelle figure que l!on construira triangle par triangle; avec la dîstanpe du point (^ au point i, on déterminera les deux points aet ^; des cen^ très aet b , et avec la seconde et la troisiènie distance^ prise dans le cercle intérieur (la seconde di^ pqii^t I au podnt 2, et là troisième du point 2 au^ppint ^) , décrivez deux arcs qui se coupent en. c ; de» centres c eta, et avec les distances quatrième et cinquième, prises dans^Ie cerdeintérieurfla quatrième de 3rà4> et la cinquième de 4 à 5) , décrivez deux arcs qui se coupent end; on déterminera de la niême manière les. points, e et y, et la figure sera, construite.
Dénuxnstration. Les^ cordes du. cercle intérieur $<pint aux coides homologues du cercle ex-* teneur, comme le rayon Oi^.est au rayon V (95) 9 ou comme ^2 est à v/5 : donc tous les ràté$ des triangles de la figure abçef^y et les
i5o GÉotfârridB du doMi^As.
c6tés homologues des' triangte de la figure ABCEFD sont dans le même rap^ft; donc les triangles des deux figures sont éqûiâiÀgles çhtve ejix, et par conséquent S6mbl£^le^'(â, &V. 6 , déf. 1 ) ; donc les deux même» figures polygones sont semblables (20, &V. 6), et les 3ui^faces étant entre elles comme les carrés des côtés homologues , là surfkcé dri polygone abcefdseta â celle dû polygobë ABCEFD, pomme :2 est à 5 ,- JiotiC la surface de là plus ^ïetîte des deux figures Sera à celte de la |)liis grande ^ conftme % est à 5. ^
~ D'après cet exempté , il est facile de voir la méthode à ^suivre pour ré^udre lé problème > kjuel que soil le rapp(M^ qu*6h pto{>oâe tfétttbllr «utre la suçiace de la figuré à coustruire et délie de la figure donnée.
On déci*lra deux cîrcôtiféréndes étY avec des rayons qui soient eittre eux cohime lés i^^iues des noinbres qui expriment le rapport ûes sur&ces j sur celle dès deux drconféretices qui correspond à la figure donnée , on portera •sncdessiyem^ comme eôrdès lés côtes des 4Èriattglesi dans lesquels cette 'figui^ e6t Siàpptfsée liifeisée. On déterâiineQ^a , par la méthode cidessus exposée ,- dans l'autre circonféréflce , &!S cordes \prapbrti0anellei qui ^é^ont les côfé&
KspectÊfe des triangles de la nbimUe figjiré. , Xtq Tsippoit des , ttoîjbîés deà racines étant lé méaM que celuiv 4es iàçmës . ëètiètes , s la figure 4^ Sierrira d$cts plusieurs cas (104)^ Foiir les autres eas y voyez, les nuinéroè 404 ^ 402> et 105.
;.0a prend, eiisuite un rayoa AB (ifig* 44 ^^ 45)^. le plus grand que l'on, peut employer commodément ^ pour que les cercles puissent mieux, recevoir les lopgueurs des cordes à ap^ pliquer , et pour que les intersections qui en rë$iiJitenr|; sç tassent à angles plus approchans de l^angle droit.
1 2S7. Si l'on avait donné le rapport des cotés AB et a b entre eux^ ou de deux autres drpites quelconques entrq elles ^ on choisirait dai^s ce rapport les deiix rayons OV, 0(^> les plus grands possibles.
iPKOfiLÈME.
128- Inscrire à un cercle donné ^n quel^ conque des polygones réguliers que Von peut y inscrire en se servçM de la règle et du campfts^ , , .
Solution^, Divisç2( la circonférence eu autant
l5l GÉOMÉTRIE DU COMPAS.
de parties égales que le polygone quW veut inscrire a de côtés (27, 29, 50, 51, 52, 38, 40, 41 ,42, 55, 57, 60, 65), les points de division seront les sommets des angles du polygone régulier cherché , et les cordes des arcs en seront les côtés.
Démonstration. Tous les côtés étant égaux comme cordes d'arcs égaux , les angles qu'ils forment seront égaux , puisque ayant leur sommet à la circonférence, ils sont tous appuyés sur des arcs égaux (2 1 , Iw. 3). On a donc inscrit au cercle un polygone régulier d'autant de côtés que Ton voulait {déf. i , àV. 5).
429* Puisque avec trois points seulement pris hors de la circonférence et six ouvertures de compas au plus (59) , on peut la diviser en 240 parties égales (57) , on pourra inscrire an cercle avec ces trois points et ces six ouverr tures , autant de polygones réguliers qu'il y a de nombres exactement diviseurs de n^o : or.
ces nombres sont : 2, 5, 4^ ^7 6, 8, 10, 12, i5, 16, 20, :24, 3o, 4û, 48, 60, 80, 1.30, ^40 ; on pourra dope , en omettant le diviseur 2 , inscrire au cercle un polygone régUr lier de 3, de 4? de 5, de 6, de 8, de 10, etc., et enfin de ^240 côtés.
4[50. Si le nombre des côtés du polygone.
LIYR£ NEUYliMB. l55
qiie l'on veut inscrire se trouve êti^ un de ceux dans lesquels on a divisé la circonférence , par les méthodes enseignées (27 , 50 , etc.)^ par exemple, le nombre 12, on divisera la circonférence en douze parties égales (SI); les deux extrémités de chacune de ces divisions seront les sommets des angles du polygone qu'il était question d'inscrire , ou , ce qui est la même chose y les cordes de ces arcs seront les côtés du polygone.
Si le nombre des côtés du polygone à inscrire ne se trouve point précisément dans les problèmes du liv. II; par exemple, si l'on veut inscrire un polygone de 60 côtés , on doublera, triplera, quadruplera, etc., ce nombre jusqu'à ce qu'on parvienne à avoir un de ceux exprima dans les problèmes précédens : c'est ainsi qu'en doublant 60 , nombre des côtés du polygone indiqué, on a 120. Or, on a donné (43) le moyen de diviser la circonférence en 1 20 parties égales; ces parties prises deux à deux fourniront 60 arcs égaux , dont les cordes sont les côtés du polygone en question.
S'il avait fallu tripler le nombre , par exemple , si l'on eût voulu inscrire un polygone de 16 côtés , on aurait alors, comme au problème (58), divisa la circonférence en 48 parties, non;^-
l54 GÉOMÉTI^IB DU QOHFAS.
bre triple de i6; on aurait pvB ensaite trois ife im arcs pour en avoir un qui. fàt :1a seizième partip de la circOïrfe'rence, et chactin de ce^ arcs égato aurait eu pour èorde un côté du polygone à^ iQ côtés.
PROBLÈME
151. Circonscrire un triangle équUatéral (1 24) à un cercle donnéBCJ)d (fig. SgJ.
Solution. Soit fait au rayobi A B dq ce cerde =BC=ïCD, etàBD=BL=t=DL=;D£/=:ïDN
Les trois points L , M , N seront les sommets des angles du triangle équilatéral circonscrit au cercle*
Démonstration. Le triangle BD^f^ inscrit au cercle (29 > 150), étant équilaténal, lés triangles DLB, NDd, a[BM auront leùrâ côtés égaux à ceux.de ce triangle; doneleurs angles seront égaux (8, /iV. i)j lestrois angles ND«î, ^DB, BDIi seront donc égaux aux trois angles du triangle inscrit, c'est-à-dire a deux droits (3:3, lis^i i) : donc la ligne ND L sera droite {i4f li^» i). On démontrerait la: m^mô chose pour .les deux lignes LBM^ N^M; et CQpainQ
chacune- d'elltes èit double du côté BD/ellè^ ^roat |>a'i^ cottsécpient égales entre êlle^. Dôn^ le triangle L MN est équilatéral ; ensuite leâ anglais ND^f^ DLB étant égaux/la droite Drf sera parallèle à LB (29 ; lti>. i), ou aLM. Ot led points Nf A^ B sont -dans une même- dtohë perpendiculaire -à îid (15, 1 4) ; donc A B est aussi perpendiculaire à LM (27, Iw. i); donc LM est tangente au cercle (i6, /zV. 3). On démontrerait la même chose pour les deux lignes NL, NM j donc le triangle NLM est équilatéral et circonscrit au cercle {déf. 2 , lisf. 4).
PROBLEME
1 52. 'Circonscrire un carre à un cercle donné (fig. 60).
/ * r 1 •.,'*i ,/«• *.> <***" '.«là . i 4 t I
Sobaion, Divisez la circonférence de ce cërdë en:quàtre pwfies égalesvaux pbintS'B^^'F ^ £•, f f^) ; de . ces points comme ' centres: et dii rayon AB^i décrive^ des arcs qui se coupent fen R,, S., T^\} ces quatre deitjiers ^Joints serpnt les sommets des angles du carré circonscrit au cerelé;<. ..:•..■..'•, ^. .
Dànonsiration. Les angles^ TBA, SBA étant droits (100)> la. vh'giive TSB est une droite
l56 GÉOMÉTRIE DU GO.MFAS.
(i4;/iV. i)perpeD4îca}aire au diamètre BE, e( par coQséquei^t taogeatç au cercle (i6, Uv. 3) : pn de'moutreraijt U niiàme chose pour les autres lignes TFY , VER , R/S. De plus , les triangles BFT, BFA ayant les côtés respœtlvenieAt égaux,onaurarangleBTF=:BAF(8, iV. i), et par conséquent droit (27) : la même chose ^e démontrerait pol^' les^autres angles Y^ R^ $; donc, e^c.
PROBLÈME
1 55. Circonscrire à un cercle dorme un pei^ tagone régulier.
Solution. Soit le cercle BDE (Jlg. 6i) décrit avec le rayon ÂB; divisez sa circonférence ei^ cinq parties égales (40) aux points B, C, D^ E, F; d^un de ces points C comme centre et du rayop CB décrivez la demi^-circonférence BDP ( 64) ; prenant pour centre le point E opr posé à Tare CB et avec le rayon EC coupez Tare BDP en /i; des centres B^ G^ D, E, F et avec le rayon Pp décrivez des arcs qui se cou** peut aux points bf c, d, e,f; ces points d'ior tersection seront les sommets des atigles du pentagone circonscrit au cercle^
tiYRE ITBUTIÈME- 1^7
jLa démonstration est là même que celle du ]^roMème suî'^ant.
PROBLÈME
i^. Étant donnés les ibmmèts des angles d'un poljrgonie régulier quelconque inscrit au cerclé y trousser lés sommets des angles if un poljrgone semblable circonscrit.
Solution. Soient les points B, C^ I); E {fig^ 612 ) leÈ sommets des, angléa du polygone inscrit : de l'ùndecespointsC pris pour centre et d'un rayon égal à la distance CB , de deux d'entre eux y décriiez la demi-drdonférence BDP (64) j des centres B et G et ayec le rayon BD, décrivez deux arcs qui se coupent au point y fdans'le^ cas.du problèéae .pâ?écédent {fig. 6i)> le t>oiiit V coïncide avec lé point £) : de ce même rayon BD et du pditit. V qomme centre coupez la circonférence BDP enp; avec Pp pour rayon et d^ centres B ^ G ^ D ^ E, etc. , qui sont les sommets des angles du polygone inscrit , décrivez les arcs qui • se coupent aux points b , c, d, e^ etc. } ces points seront les sommets des angles du polygone régulier circonscrit;
l58 GÉQjl()É.irpVIE.PD .Ç9|lfA8.
Oém>HstftKmn. fXA a pÇ . VÇ^ss^ÇP)* (22),
c'est-à-dire cC.BD = (BC)»| 4'oà (17 , liv. 6)
BD : BC :: BC : Ce.
Mais BC = CD ^ et Bc = cC : donc les deux trifiA6le3.teQ3ie!fè}i$^ 3C.D, ^cG îaurftftt leursTcôtés {»so{iQjrti0nisi^|sj>4o^c (^V^V^ 6) l'aogje ^CB aeria égal À lattgle-Cî3P.j .d'oil» ^vWit que le? deux lignes cC/ JBI) ^^tront p^M^àle^ ( a§» ^^- J )• On prouverait de m^me que Cdest aussi pa- ^i^allèle à' B0 J L16B fiQÎnls^ ^ ^ C^ i/ sercnct donc dsfiM |à it^èmef lî^ae di^te : inais deiceqùe^B.C z±2r<ED>^'ilsml(;qtte le t^yon AC est perfiendi- Culàire à 0D ( 44) ; il le séira; donç; aussi .à la 'AM\iecdy(âi^y'lw} i) ^ dônc^ 'r d^ est jtangCRte À'^ vnbitié^eri C(i6v^ &Vj16>; On^déÀil^àl^etait ^ i&kifÉeocpiedkt^ ed>est tuigentelà^: moitié en S))^ asiisiide^éirliiesjILe.nonlbsaiAectfsH Bera'ëga^ àloekiî xittS(fMn]ifeJiB9tÇ^!I)^iE,.'^àtc.
*»4**« .vJ»* * •- y •%/ I»
155^ Sfit un c^té donne A% (fig: i)/in>ttrtraire' un triangle équilàtéval,' /. . '
Solution. On trouvera le point D suivant la
méthode indiquée (1 ) ; le triangle A DE sera le triangle chercha. '
PROBLEME
