BD)*=(BE)*— (DE

Mais rintervalle BC étant égal à CD = AB, on aura encore DE = AB (i5, Iw. 4)> ^^ D E =: I et BE = 2. On aura donc

(BD)» = 4 — 1=3; d'où

BD=v/3;

ce qu'il fallait démontrer , et ce qu'on ne pouvait faire sans la règle. Cette proposition est la 1 2* du livre 1 5 d'Euclide .

3- De la définition précédente (1 ), il résulte qu'à la Géométrie du compas appartiennent tous les problèmes que l'on peut résoudre avec le seul compas , quoiqu'on ne puisse pas les démontrer avec ce seul instrument. Tel est le problème précédent (2).

4- Cette Géométrie sera , comme on le verra par les exemples , d'un très grand usage dans la pratique pour trouver des points avec la plus grande précision possible^ et même beau^ coup plus promptement avec le seul compas, qu'en y joignant le secours de la règle.

5- Nous résoudrons donc les problèmes avec le seul compas , et l'on pourra ensuite, pour les

^8 GÉOMÉTRIE HV COMPAS.

démonstrations , se servir de construction»

faites, suivant lusage^ avec la règle et le compas. C'est pourquoi nous citerons les proposi— tions et les livres d'Eudide.

6. On aura atteint complètement le but de ce traité, sî Ton n'a omis aucun des élémens nécessaires pour que Ton puisse , avec le seul compas , déterminer , dans quelque problème que ce soit, tous les points qui jusqu'ici n'ont pu être déterminés qu'avec la règle et le corn* pas réunis.

7. Nous ne placerons pourtant pas ici tous ces problèmes; maïs après avoir démontré les élémens nécessaires et suffisans pour tous, nousen résoudrons un grand nombre des principaux , et surtout ceux qui sembleront les plus, utiles^ ou préférables à cause de leur élégance.^

8. Nous ajouterons ici en faveur des artistes, pour lesquels , en grande partie , . cet ouvrage est écrit, que, bien convaincus de l'importance des erreurs qui résultent de Técart et du rapprochement de branches du compas pour obtenir avec précision des ouvertures différentes , nous aurons soin de résoudre les problèmes avec le plus petit nombre possible d'ouvertures de compas. Il serait même mieux que l'artiste eût à sa disposition autant de ces Qoxaçz^jidèles

tlYRE PREMIER. 2g

{aîtisi appelés^ parce qu'on peut s'assurer qu'ik conservent exactement Fouverture donnée) , qu'il j a d'ouvertures exigées par la solution du problème ; car il arrivera souvent que nous serons obligés de nous servir plusieurs fois de la même ouverture^ après en avoir em|)loyé une ou plusieurs autres : alors , sans élargir ou resserrer un seul compas , nous reprendrons le compas mis de côté qui conserve cette ouverture. C'est pourquoi nous appellerons quelquefois du nom de premier, second, troisième compas, les ouvertures successives avec les-^ quelles on aura résolu le problème.

9. D'ailleurs, comme pour la précision pratique de la position d'un point , il importe que la section des lignes qui le déterminent se fasse à angle droit ou approchant, nous ferons toujours en sorte qu'un arc en coupe un autre, ou à angle droit , ou au moins sous un angle qui en diffère peu.

10. Afin d'être plus courts, sans cependant devenir obscurs , en indiquant la construction des figures , nous emploierons souvent des expressions abrégées ^ que la seule inspection de la figure fera bientôt comprendre. Par exemple ^ dans la figure 2 , au lieu de dire : H jis^ec le rayon AB, et du centre C^ soit dé^

3o GÉOMÉTRIB! DU GO^MPÀS.

» c^ un nrc qui coupe la. circonférence BGD » cobL point G; pids avec le même rayon et du }> centre G, çufon décris^ un arc qui coupé la M même circonférence en >!}, etc. n ; nous dirons sealêniMt : cr Soit fait à AB =: B G ta G D^ etc^ » En effets c'est assez dire <]ue les points B, G et D , avec lesquels on indique. la même circonféreiice BGB,. sont des points de cette circonférence; ainsi il n^ a aucun risque d'équivoque.

14 . De même étant donnés B Â par eicèmple , trois intervalles AB, GD, EF, quand on G D

dira : a Soit fait àÇ^li^EQ y • • .

à AB ss= F6, » on devra G

entendre ceci : « jivec un

j> rayon GD, et du centre E F

» E, soit décrit un cercle

» dans la circonférence duquel soit le point G;

» ensuite , avec V intervalle A B et du centre F^

» soit déùrit un. autre cercle qui coupe le pre^

fi mier au point G ».

1 % D'autres fois d^ns les démpostr^tions f>

nous désignerons quelques lignes drmtes qui

ne seront pas dans la» figure^ en nommant les

deiix points extrêmes auxquels elles devraient être menées ^ comme si y dans la figure j r ^ on

l^ommadt k droke AB^ ou hieft CD. C'est ainsi que nous ferons quand il n'y aura pas à craindre d'obscurité., pour eouserver la figure nette^ et faire imeux paraître la construction faite ayec le seul cei*cle/

i5. Lemme* Si des deux centres  et B, et' ayec ies rayons AP et AQ, on décrit des arcs qui: se coupent en P et/? , Q et y ^ les points Q , ^ , P et /i seront dans la même ligne droite.

Démonstration. Tous les côtés des triangles PlV p, BPp {Jig. 3), étant respectivement égaux «utre eux par construction, l'angle AP/? sera. égal à l'angle BP/? (8, liv. i ). On démontre dé même que AP Q=BPQ. Donc

AP/>=:APQ = BP/7 + BPQ.

Mais la somme de ces quatre angles est égale à quatre angles droits (i3, ZzV. i, corolL).

Donc chacune des sommes de deux angles est égale à deux angles droits. Donc la ligne QPp

est àro'defÇi^f ^^' ^ )• Ondémontre de la même manière que la ligne J?pq est droite. Donc les points Qjf P, p, q sont dans la même ligne droite,

i 4» Les choses étant comme au numéro précédent, les droites AB, P/>, ainsi que celles AB, Qg, se couperont à angles droits en deux par-

Sa GÉOMÉTRIE DU COMPAS.

ties égaler au point M, et les droites QP> qp. seront égales.

Démonstratibn. En effet > à cause de Tëgalité des côtés des deux triangles APB^ Ap'B, on a l'angle PAB=/iAB (8, /iV. i). Mais on a encore AP/?=A/?P (5, Iw. i). Donc aussi AMP = AM/> (corroll. propi Sa, &V. i). Donc ces deux angles sont droits (i3, Iw. i), et la ligne "Pp sera partagée en deux parties égales au point M par la démonstration de la proposition lo t Us>. I . On démontrera de la même manière que les droites Qg et A B sont divisées en deirx parties égales au point M. Donc^ en retranchant des droites égales Q M et 9 M , les parties égales PM, /7 M, les restes Q P, 9 p seront égaux.

1 5. Corollaire. On aura donc

(QM)- = (AQ)'-(AM> (47, W. i).

16* Lemme. Tout étant comme au numéro i S , on aura

:(AQ)'=(APy-f-(PQ) + Pp.PQ.

Démonstration. Car on a ( AQ)* = ( AP)•-^- (PQ)•+aMP.PQ (12, liv, 2). Maison a 2 MP = Pp (14). Donc, etc.