HE ; AE :: AB : BO
Mais HE est un côté de l'octogone inscrit au cercle qui a pour rayon AE : donc ausâ AB sera le côté de l'octogone inscrit aa cercle qui a pour xayon B 0.
LiYftJB HEUiriàvi^» 171
i4ù. Sur m côté donné AB (fig. 69) > construirB un décagone néguàer^
Solution. Du centre  et du rayon AB soit décrit le cerde BD^; soit fait dans sa circonférence à AB = BC = CD = DE = Ed; soit fait b BD = B^ =^ Ea ; soit fait cftistiite a Aa csi Bb :s=zdb. Maintenant dies centres A et B avec le rayon bE soient décrits deux arcs qui se coupent en V; du centre V et du même rayoo bE soit décrit le cercle BLMNOPQRSA, et soit fait a ABstBIi = LM £= MN =t NO sts OP :s4 PQ Œ QR s=s RS I lé point S sera dans la section dé& deuic circonférences , ^t les points A ^ B ^ L ^ M ^ etc.. ^ serpni les somm^te d^s dix angles du décagone régulier cherché*
Démonstration. La ligne 6E est uti c6té du triangle isoscèle qui, ayant pour base AB^ a chacun des angles à la base double de l'angle su sommet (137). Donc^ dans le triangle YAB^ l'angle BVA sera égal à un dnquième de deux angles droits (52 » &V. 1) ; Tare BA qui le mesure sera donc égal à u-
dixième de la circonférence , ainsi que les autres arcs BL, LM, MN : donc le polygone ABLMNOPQRS sera un décagone régulier inscrit au cercle qui a le point V pour centre, et construit sur le côté AB.
PROBLÈME
441. Sur un côté donné AB (fig. 69), construire un poljrgone régulier quelconque ^ de ceux qu'on peut inscrire au cercle (128).
Solution. Du rayon AB soit décrit un cercle BDéi; soit inscrit à ce cercle un polygone régulier semblable à celui qu*on veut construire sur le côté AB , c'est-à-dire d'un égal nombre de côtés (128), et soit BZ un côté de ce polygone inscrit ; soit ensuite cherchée une troisième proportionnelle à ce côté BZ et au rayon AB (87, 89, 90, 91, 92); avec cette ligne prise pour rayon, et des centres A et B soient décrits deux arcs qui se coupent en V; du point V comme centre et du même rayon VA soit décrit un cercle ABLMN, etc. , et soit ûiit à AB s=BLkLM=:MN, etc.; les points A, B,
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L^ M^ N^ etc. , seront les sommets des angles du polygone cherché.
Démonstration. Les cotés du triangle BA/ étant proportionnels à ceux du triangle BYA, on aura langle BAZ = BVA (5, &V. 6) : donc les arcs Bl, BA qui le mesurent , seront des portions égales de leurs circonférences;
PROBLÈME
442. Construire un carre sur une diaga^ nale AB donnée (fig. 70).
Solution. Du centre A et du rayon AB soit décrit l'arc BC DE ; du centre B avec le même rayon soit décrit Tare indéfini CP , et soit fait aBG = GD=:DE; soit fait ensuite à BD=:B£{ = Ea. Maintenant^ du centre E et du rayon Aa soit coupé l'arc C P en P ; des centres A et B et du rayon AP soient décrits deux arcs qui se coupent en L et M ; ALBM sera le carré cherché.
Démonstration. Si l'on suppose pour abréger AB = I , on aura
AP = i»/2 (104) = AL=BL;
1^4 oÉoirâTHlrB dv oohfas.
et
( AL)* + OBt/^ I = (ABy.
QfHU^ l'aQgJjs BLA Q«t droit (48* Uv. i), et les dQQV R»glc« LBA« LAB éj^WK wtreeux.
Talent diactin la moitié d'nn angle droit (5, et 5a , liv. I ). On démontrera de même qne l'angle BM A est droit, et qae les angles MBA, MAB Talent chacun la moitié d'un angle droit : doRclcs angles MBL, MAIiserOnt droits/ et et ALBM sera le carié dtcrcbé.
