DES CENTRES

PBQBLillB.

14$. Trouver le centre dun cercle donné UA.B (fig. yr).

Sobaion* Ajant -pris pour centre un point (pelccmque A de sa circonférence, d\in rayon arbitraire AB , plus petit que le diamètre art Mtle donn<$, et plus grand que le quart de ce diamètre, soit décrite la demi-cîrconférencé BCDE^ en faisant b ABznBCs CD sDEf soit M. le point où elle coupe la circonférence in cercle donné; des centre» £ et A arec le niyon EM soient décrite demc arcs qui se cou^ pent en L ; du centre L et du n^ême rayon LA soit coupé le cercle BME en Q ; des cen- ^s B et A et du rayon BQ soient décrits deux arcs qui se çQU|^ent en ; le point sera le point cherché.

Démonstration. La ligne B AE étant droite (i5, Ihr. 4), Fangle extérieur LAB est égal

176 GÉOMÉTRIE DU GOMPAS«

aux deux angles intérieurs opposés ÂLË^ ÂEL pris ensemble dans le triangle A LE (^2, liv. i). Or les triangles LAË^ LAQ ont tous les côtés égaux entre eux ^ et par conséquent les angles opposés aux côtés égaux sont aussi égaux (8, &V. !)• Doncl'angie AEL=QAL,etrangle ALE= ALQ ; donc l'angle LAB est égal aux deux angles QAL et QLA pris ensemble; et retranchant de part et d'autre l'angle QAL^ on a l'angle restant QAB = QLA : donc la somme des deux angles LAQ^ LQA dans le triangle.LAQ, est, égale à la somn^e.des deux angles AQB, ABQ dans le triangle ABQ (32, liv. I ). Mais ces deux triangles LAQ, ABQ sp,nt isoscèles par construction ; donc lesangles à leurs bases seront égaux chacun à la. demi-*' somme. ( 5 , li9. i ) , et par conséquent égaux entre eux dans l'un et l'autrei triangle ; donc les triangles LAQ, ABQ. seront seaiblabks ( 4 , Iw* 6 ) , et. l'on aura

LA: AQ :: AQ:QBj

et substituant les valeurs égales ,

ME:EA :: ABrOBj

donc les triangles isoscèles M AE, AOB ayant les côtés proportionnels, sont équiangles entre

IflYRE DIXIÈME. • . , I^y

eux (5, &V. 6)9 et on a l'angle OAB =ss: AME = AEM. Mais l'angle exiBriçur MAB est égal à la somme des deux angles intérieurs AME, AEM égaux entre eux , dans le triangle AEM {52, Uv. i); donc il sera égal à l'angle OAB pris deux fois^ ou bien on aura OAB =:OAM. Mais les deux triangles OÀB^ OAM ont encore les côtés AB ^ AM égaux entre eux^ et de plus le côté O A commun , c'est-à-dire ce& deux triangles ont un angle égal compris entre deux côtés égaux : donc (4> /^V- i) le troisième côté B de l'un de ces triangles sera aussi égal au troisième côté ,0M de l'autre ; donc les trois lignes OB , Ok, OM sont égales , et par conséquent le point est le centre que l'on cherchait du cercle MAB (9, Uv. 5)*

144. Quand on a trouvé la valeur de QB^ troisième proportionnelle aux deux lignes L A ^ AQy ou aux deux lignes EM^ EA^ valeur qui, est celle du rayon du cercle dont on cherche le centre , il suffit de prendre deux points à volonté dans la circonférence du cercle , et de oes points comme centres avec le même rayon > décrire deux arcs qui se coupent ; le point de leur intersection sera le centre du cercle.

145. Pour obtenir des sections à angles moins aigus, il sera utile , dans la pratique , de choÎF'

1^8 GÉOMÉTRIE D0 COUPAS.

à ttie d'oarl tm rayon AB ifai approohe delà valeur du layôn du cerclti que Voû chetd».

PROBLEME

l46. Circonscrire et inscrire un cerch à m triangle éqidlatéral donné (fîg. 72).

' Solution. Soient A, B et M le^ sommets des angles du triangle d6nné; du centre A et da fayon AM Soit tracé Tare MDE, et soit faH à A Msrî! MD === DE ; des centres B et A avec le rayon BD , soient traces deuir arcs qui se eott-^ j:ient en L ; du centre L avec le même rayon LA soit décrit uU arc qui coupe l'arc D!E en Q; des sommets de deux angles du triangle, des points A et B , par exemple , pris pour centrés et avec le rayon QE > soient décrits deux arcs qnis^ c6upent en O; du centre et du ïnéme rayon A 6oît décrit un cercle , il sera drconscrit io triangle. -

Soit divisée la ligne QE en deux parties égales aU point m (66) ; du même centre O et dit rayon Qm soit décrit un autre cercle ; il sc«a inscrit au triangle,

'Démonstration. De la démônistmïioëu tiu n^ I4â> il résulte que la ligne BAE étautdroîtr^

LITKE DlXliHK. lyg

QE est troisième prdportîoaiidle oiox dccix lirh goe& £M> ISêAm Donc QE sera le nyoa d'ua cercle qui passe par leâ trcns points M^ A^ B> et le point ea sera le centre (44S)<^

Dans kl figure 5^ , ou le cercb DBii est ins^ dit ku triangle NLM^ AD est perpendiculaire, à LD / et N AB a LB (iSI) : donc les trianglesi rectangles ND A, NBL ^ qui ont un angle com** immi'en N ^ oot a^ùssl- lé troisième teg^e égal (3:2 , li9. i); d'où on a la proportiND» {^, hç^ &j^