LIVRE ONZIEME. IQ

dofic on aura

JtBb : bc :: (2—^/5) : (2— v/5). i/5 :: i : v/5.

Maïs si Ton suppose que A B soit coupée au milieu en T par la perpendiculaire C T , on

axira aussi

Mr.

cJt BT:TC ::l:lx/5 (104);

r^^ c'est— à-dire

'^ BT : TC :: i : \/5 :

^^^ donc bc est parallèle à TC (2 , Iw. 6), et par

5^ conséquent perpendiculaire à AB (27, ZiV. i).

^ On démontrerait la même chose pour la droite

de : donc e 6 c tZ est le carré inscrit*

lien //' Solution. Si l'on ne voidait pas se servir

^^^ de l'intàrsection des côtés donnés du triangle

'^ ABC y mais qu'étant donnés seulement les

^ trois points A^ B et C^ sommets des angles du

triangle , on dut trouver les quatre points b, c^

d, e du carré à inscrire ; du centre E , comme

dans la solution précédente^ et avec le rayon

EC, soit décrit un arc qui passe par b,Ceta}

du centre B et avec le même rayon soit décrit

un arc qui coupe en a celui qu'on vient de

tracer; du centre a et avec le rayon AB soit

IQ4 GÉOMiÀTRIE DU COMPAS.

coupée la demi-circonférence BCD^E. on H> et soit fait dans cette circonférence à H a =ï= Hl z= ÏK j du centre D et avec le rayon aK soit décrit iw» arc qui passe par b ,. le, point h sera déteripiné; du çenixe, A et du rajrpn Bb soit décrit un arc qui passe par le point e j du CfiJktre^C et du rayon C b soit décrit un autre arc qui coupe la domi^ en e;, des centres 6 et C et du rayon be soient décrits deux arcs qui se coupent en d; des centres 6 et C avec le même rayon b e soient décrits deu;x açcs» qui se coupent en c; bcde sera le carré cherché.

Ou bien eu employant lé' cerdte» BCB£J>^ e% faisant^ à AJB s: E J" ; dés. cenfees D et J^ et avec le nayon aK déterminé plus, haut soient décrits deux arcs qui se coupent en 6 ; le reste se fait comme cl^dessus..

démonstration. Le point K sera- ici détep»

miné^ comme dans la fig. 9 (52), parle moyen du mêipepoint a; alissi lare BK sera un^ vîngt-^ qu^^ttième de la^ cireonfécence* On^a ensinte^ dansilaiîg. 9.^ B K 3=1 B A: 3x BM»; si Fe» compare le&pointsav K, Bv ky A, M avec les pointa Qy it, R, S,, pyH'^e ]9> fig. 4> on tirera^poup lai Hg;. 9 > de l'équatî^ci:

îi

il*

se'

IjlTRE ONZiiME. ig5

î' celle-ci,

],. (aK)* = (Ba)»— KA:.Aa.

Or KA: est la corde d'un douzième de la circonférence. Pour trouver sa valeur , en sup-^ posant pour abréger ÂB = i , on a le sinus

de BN:??;KA=5AX0%. 12) rm-, et le double

de son cosinus, c'iest-à-dîre 2NX = NO = BD* == ^5 : d'où substituant K^ pour a: et v/S pour iicos«r, dans l'équation (159),

corde a: ?=; |/(:? — 2Cosx) ,

|i. on aura la droite

d'où

if Maintenant , si des centres D et J^ et avec le t rayon aK on décrit deux arcs qui se coupent ^ en 6 , le point B sera sur la droite BE (1 5 ), qui ^ divisera en deux parties égales à angles droits la ligne DcT au point R (14), en faisant RD

= - |/5 (104) : donc, puisque (47, Iw. i)

(D*)«=(DR)*4-(iR)',

on aura

et de là

èR= i/5— i,etôE= v/5.

Donc par la démonstration de la solution , le point b est une des extrémités du carré : on le trouvera de même avec les centres D et £ , et avec lés deux rayons aK et BD, comme dans la première partie de la II* solution; puis les deux triangles CAe^ CBb ayant tous leurs côtés respectivement égaux , on aura Tangle CBb = CAe (8, /zV. i ) = CBA; d*où le point e sera sur la ligne BA^ et sera une autre extrémité du carré. Enfin , comme, dans cette seconde solution, les droites Cb, Ce sont les mêmes de grandeur et de position que dans la première solution, et qu'on a aussi dans la première solution Cd=i ed. Ce = bc à cause du triangle équilatéral Ccd et de la ligne Ci^ parallèle à AB (2 , ZtV. 6) , les points det c seront déterminés dans cette seconde solution comme dans la première.

LXYRfi ONZIÈME. 197

PROBLÈMEi.

i 62. Inscrire dans le carré ABLF (fig. 8io) toi triangle éqidlatéral , qui a un angle B à Vtm des angles du carré.

/'• Solution. Du centre A et du rayon AB soit décrite la demi-cîrconférence BFE, en faisant à FB=FE; soit fait aussi à BE = BQ == E Q : si l'on yeut se servir des sections des côtés donnés du carré ; du centre F et du rayon FQ soit décrit un arc qui coupe deux côtés du carré aux points M et N ^ les points B ^ M , N seront les sommets des angles du triangle cherché.

Démonstration. L'angle QAB étant droit ( 83) , on aura

(BQ)« = (AB)-+(AQ)' (47, àV. 1); et faisant pour abréger AB = i ^ on aura

4=i+(AQ)«;

d'où