FM)' = (FN

ig8 QÉOMÉTAIB DIT COitPAS.

et par conséquent^

(MN)*=(FM)* + (FN)*=8 — 4i/5; ensuite 9 comme on a

LM=LF— FM=i— (v/5— 1)=2 — V5,

on aura

(LM)'=7-.4v/5j d'où

{BM)*tt=(BL)»+ (LM)*= 8—4^/3 = (MN)\

On Remontre de même que (BN)*==(MN)* : àonc

BM=MN = BN.

//• Solution. Sî Ton ne suppose données que les quatre extrémités A, B, L, F du carre, après avoir trouvé comme dans la première solution le point Q^ soit décrite du centre F et avec le rayon FQ la cirCôtiférence QRSNMî puis faisant à FQ = QR=RS = SN, du centre B et avec le rayon BN soit coupée cette circonférence au point M ; les points B, N^ M seront les sommets des angles du triangle cherché.

Démonstration. L'arc QRSN e^t la moitié de la cii*conférence (i5, Z«V. 4) : donc le point N est sur la droite QFA^ et est aussi éloigné de F que dans la première solution' ; donc il est

xiTRB OKzi'ÈiiB. igg

le même. Le poÎDt M se trouve aussi dans la première solution, comme dans la seconde, à l'intersectÏMi des deux arcs ^rits des centres F et M et avec des rayons égaux à FQ et à BN : donc il est le même , donc , etc.

163- Dans un triangle équilatéral dont, lessommets p , 'q , R sont donnés ■, inscrire un hexagone réguUer.

Solution. Divisez la ■élance QR {fig. 8i) en trtMS parties égales aux points c etd{ 68) ; des centres C et tf et du rayon cd décrivez deux arcs qui se coupent en A ; du même rayon et dû point A pris pour dBntre décrivez un cercle ; ùites sur la circonférence à de =x cB= BC = CD = DE; les points B,C,D,E,(f, e seront les sommets de l'hexagone inscrit.

Démonstration. Le b-iangle BcQ a ses côtés ^c et Qc éganx aux côtés Xd et cd du triangle iidcj de iduSf l'angle compris entre ces cotes «fit égal dans chaque triangle à cause du parallélisme des lignes B c et A rf (27 , lii>. 1 ) : donc QBS deux triangles sont égaux (4> -i'^- ' ) > ^' l'angle cQB = f2cA=s=cQF; donc le point E

aOO GÉOMÉTHIE DU COMPAS.

est sur la droite PQ. On dAnbntre de k même manière qne les autres points C, D , E sont sor les c6tës du triangle proposé : donc , etc.

PROBLÈME

164. Dans un carré donné ABLF, inscrire un octogone régulier.

I" Solution. Si l'on veut se servir des intersections des côtes du carré donné, du point A pris pour centre {Jig. 8a) et du rayon AB décrivez la demi-circonférence BCDE, en disant à AB = BC = CD= DE; faites à BF=BQ; àEA=EQ; du rayon AQ et du centre A déterminez les points è et ^ j puis du même rayon et des centres B, L et F, coupez les côtés aux points a, d, e,f, e, h; ces points seront les sommets de l'octogone abcdefgk

II' Solution. Ayant déterminé le point Q comme dans la première solution , du rayon A Q et des points, A et B pris pour centre décnvez deux arcs qui se coupent en O; avec le même rayon et du centre A détenninei Je pomt b sur le côté AB; du point pris pour centre et du rayon Ob décrivez ua cercle qui coupe les côtés du carré dans ie&