QR = RS = ST==TQ

doBÇ l'angle TAQ sera droit; donc

Pais ayant fait AB= i ^ on aura aussi (165) FP = I ; d'où AP == a, On aura encore (27) Aa=V/2;d'oùflPs=2 — {/2;aT= {/2 — i ; d'où l'on tire

et

TQ=ï=(a— ^a) j/a ïas 3 i/a — as= 2(4/3 — 1)

donc la distance des deux centra T et Q est

égale à la somme des rayons des deux cercles décrits de ces points comme centres , donc ils sont tangens en p au milieu de TQ. On prouverait la même chose pour deux autres quelcon<jaes. Soit ensuite r le point où la ligne A r prolongée coupe le cercle décrit éa centre R; on aura

Ar2£:AR+Rr=aP+aF = PF= i s^AB:

donc le point r sera sur la circonférence du

cercle donné ; d'où l'on voit que la ligne hr passant par les deux centres A et R , sera perpendiculaire à la tangente qui les touche tous deux au point r : donc ils seront tangens entre eux (i5 et i6, Iw. 3); la même démonsr tration s'applique aux autres cercles.

PROBLÈME

169. D^ centre A (fig. 84)^ décrire un cercle qui touche les quatre que Von vient dinscrire (168) dans un cercle donné.

Solution. Cherchez une troisième proportionnelle aux deux droites FP, F« (86) ; avec cette ligne prise pour rayon et du centipe A soit décrit un cerde , il sera le cercle cherché.

Démonstration. PF étant égal à i , et Fa ■ — y/^ — 1 , on aura la troisième proportionnelle =s 5 — 2v/2 : or soit q le point oii le rayon A r coupe le cercle décrit du centre R ; qr en sera le diamètre = 2 a¥ = 2 ]/2 — 2 ; soustrayant de i =Ar cette valeur, on aura Ag = 5 — 2V/2 = cette troisième proportionnelle : . donc le point q sera dans les deux circonférences ; mais il se trouve dans la droite AH; donc la perpendiculaire à cette droite