GÉOMÉfAIB l)tJ MÛPkS

d'où (par la iG" pwpfi^ithH dtt 1^; 6) ùû ééd^it la proportion

/)Q:AQ+AP :: AQ— A/i:PQj

où substituant dé même AP au lieu de Af»^ et transposant les extrêmes ,

PQ : AQ-f-AP :: AQ-fAPiP.Q.

D« GCÀ deux ptopoi>tî6ii& On âëduirelct>iieftsément ce fameux théorème : .

Z7^7i^ w/2 triangle quelconque ^ un côté quelconque e^tàlàyonmiô deà €feusb\àii^s côtés ^ comme leur différence est à la différence oiiflla Somme des segmens que j ait sur ce côté la per^ pendiculaire menée de Vangle opposé ^ suivant qu'elle tombe en deddproU x^û dehors du triangle. ...

19. CàrdlMt^ a. On auta At^ ='p^f Otant de pa,rt et d'autre les deuj^ termes égaux (AQ)% (/>v)S et ajoutant des deux côtés la

20. Lemme. ^Timv é(ktt$ cmÀtoie' dhh^ Ds n® i5, si l'angle Rp(J est drpît {Ji^*Ji\% z^* 4ueVaiigIeh/>S£=RjiA, et/?S==7?R=/>À, A S sera parallèle et égale à P/x ) è1 l'Mt sieuM i '

(AQ/=:.(AQ)*:i.AX:PQ. '

Démonstration, En effets si des deux angjies droits B./>Q, ^p^f on soustrait les deux angles égaux R/7Â, R/'S, il restera les deux angles égaux A/?P, Spq. Mais A/)P= AP/> (5, /iV^ i)f

donc S/? jf ^ A P^ ; dotiC AP^ ^p s6trt parallèles ( 29, Iw. I )« Mais elles sont aussi égales par construction; donc les deux droites AS | P/»^ sont égales et parallèles (53^ Iw. i ).

On a aussi

(RQ)*=(R;,)«+(/»Q)'(47,//«'. 0=(Ap)--H/'Q)«; et par le femiTie 1 7»

(AQ)'=(A/i)'-hC/,Q)»-pP./,Q.

Donc

(AQ)- = (ltQ)*~pP.;)Q

= (RQ).AS./>Q.

21. Lemme. Tout étant comme dans les n~ 15 et aOi on aura (SQ)-=î=(RQ)*+AS./iQ.

Démonstration. En efiet, si on fait ST^Sp^

/)T sspP, (ll)lesdeux triangles S/? T ^ AP/i

attroiit les angles SpT, ÀPp égaux entre eux (§, àV» i). DoQC la ligne P/îT est droite (37,

Uif. I )• On. aura ^isuite

Mais on a

36 GÉOMÉTKIE DU COMPAS.

et

/;T=|>Ps=AS.

Donc

(SQ)- = (RQ)«4.AS./,Q.

Des deux lemmes précedens il résulte ce corollaire, que »

(AQ)- + (SQ)- = ^(RQ)V

22. Zeinute. Si l'on a AQs»/? Q=:BQ et Âp = pBsizpS, pS étant sur le prolongement de Bp, on aura

Démonstration. Les triangles isoscèles AQp, BQp ayant les côtés égaux entre eux^ on aura Tangle Q/> A = QpB (8, /iV. i ). On aura ensuite l'angle ApB, qui est la soitlme des deux autres , égal aussi à la sommé des deux angles SAp, hSp (Sa, &V. I ) , qui sont égatix entre eux, parce que le triangle ApS estisôstéle (5^ lii>. I ) ; chacun d'eux sera égal à l'angfe A]t)Q =/? A Q (Î5, Uu. I ). On aura donc le triangle pAS semblable au triangle QpA [5^, &V.' i ; 4, '«V. 6)j et de là .

pQ: Ap :: Ap : AS