LIVRE DIXIEME

donc BMA est tangente au cercle décrit avec le rayon OM. On démontre la même chose pour les autres côtés AF, FT, TB : donc le cercle décrit du centre O et du rayon OM est inscrit au carré.

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148. Circonscrire et inscrire un cercle à un polygone régulier quelconque (fig. 74 ).

Solution. Soient B , A , M les sommets de trois angles de ce polygone régulier, dont celui du milieu A soit également éloigné des deux autres B et M ; du point A comme centre et du rayon AB soit décrite la demi-circonférence BCDE (64) ; des centres A et E, et du rayon ME soient décrits deux arcs qui se coupent en L , du centre L et du même rayon L A soit coupée la demi-circonférence B€DE en Q : la ligne B Q sera le rayon du cercle circonscrit j puis des sommets B et A , par exemple , de deux des angles du polygone comme centrés et du rayon B Q soient décrits deux arcs qui se coupent en 0 ; le point 0 sera le centre de ce cercle-. ■ .>0 .... : •. Jj

Si AB est un côté du polygone , on le divi->

sera en deux parties égales au point T ( 66 ) ; OT sera le rayon du cercle inscrit que l’on décrira du même centre O; si une autre ligne quelconque A b est un des côtés du polygone , on la divisera en deux parties égales au point t, et O t sera le rayon du cercle à inscrire avec le même centre 0 .

Démonstration. Il résulte de la démonstration du n° 1 4 , que 0 est le centre du cercle qui passe par les trois points B, A, M; donc il est le centre du cercle circonscrit , puisque par les trois points B , A , M , on ne peut faire passer qu’un seul cercle (?.5 , liv. 3). On a ensuite OT perpendiculaire à TA (83); d’où TA sera tangente au cercle décrit du -centre 0 avec le rayon OT ( 16 , liv i). La même démonstration s’applique à tous les autres côtés égaux à AB ; donc ce cercle est inscrit au polygone qui a pour côté AB. On démontre de même que le cercle décrit du centre 0 et du rayon P t, est inscrit au polygone qui a pour côté A b.

• 149. Si AB est un côté du polygone dans lequel on veut inscrire le cercle , il y aura plusieurs manières de le diviser en deux parties égales ( 66 ) ; nous avons donné la plus simple pour le carré (147) : pour le triangle