LIVRE DIXIÈME

QE est troisième proportionnelle aux deux lignes EM, EA. Donc QE sera le rayon d’un cercle qui passe par les trois points M, A, B, et le point 0 en sera le centre (145).

Dans la figure 59 , où le cercle DBf/ est inscrit au triangle N LM, AD est perpendiculaire à LD , et N AB à LB (1 51) : donc les triangles' rectangles ND A, NBL , qui ont un angle commun en N , ont aussi le troisième angle égal (3a , liv. 1 ); d’où on a la proportioü (4J liv. 6)

NL : LB :: NA : D A. , ,

Mais N L est double de L B ; donc aussi N A est double de D A , c’est-à-dire , le rayon du cercle circonscrit au triangle équilatéral est double du

rayon du cercle inscrit ; donc , etc.

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PROBLEME

147. Circonscrire et inscrire un cercle à un carré donné (fig. 73).

Solution. Soient A, B, T, F les sommets des angles du carré donné; soit fait à A B = AE; à FB=FE; du centre B avec le même rayon BF soit décrit un arc qui passe par Q et q; du centre E et du rayon EA soit coupé cet arc en Q et q ;

ia..

t8o géométrie do compas.

des centres Q et q et du même rayon A E soient décrits deux arcs qui se coupent en M ; des centres A et B et du rayon AQ soient décrits deux arcs qui se coupent en 0 ; du centre 0 et du même rayon O B soit décrit un cercle , il sera circonscrit au carré ; du même centre 0 et du rayon OM soit décrit un autre cercle, il sera inscrit au carré. • ■ . i r i

Démonstration. Si l’on fait , pour abréger , AB.» i , on aura : •

AQ = ^ v/ 3 (104)»AO==BO,

. . ■ . •» , h ! i Ai

on aura donc

(A0)»-4-(B0)*= t «»( AB}*;

d’où l’angle BOA sera droit ( 48 , liv. 1 ) , et les angles O AB , OBA seront égaux chacun à la moitié d’un angle droit (5 et 32, liv. 1 ). De plus, l’angle B AF du carré étant, droit , langue O AF en vaudra la moitié ; donc dans les deux^ triangles B AO, FAO on aura un angle égal compris entre côtés égaux 5 d’où l’on aura aussi OB = OF ( 4 , liv. 1 ). On démonte de b jfi même, manière que l’on a aussi 0B = OTq ; donc le cercle AB T F est circonscrit au .carré., La ligne OM est perpendiculaire à M4 (#5) :