V R E DIXIÈME

seul (446), le rayon du cercle inscrit est la moitié du rayon du cercle circonscrit ; dans le carré seul , il est égal à la moitié du côté.

PROBLÈME

(4 50). Trouver le centre S (fig. r j5) d’un cercle qui passe par trois points donnés P, Q, R.

Solut. Des points P et Q comme centres et d’un rayon arbitraire soient décrits deux arcs qui se coupent en A et B ; des centres Q et R et d’un rayon arbitraire soient décrits deux arcs qui se coupent en C et D ; le point S où les lignes AB, CD se coupent (4 4 2) sera le centre cherché.

Démonstration. Voyez (25, liv. 3).

Dansle double problème pre'senté (146), Masclieroni n’a traité qu’un cas particulier de chaque question ; et s’il a généralisé (1UO) la première, sa solution , qui est celle d’Euclide, n’est pas fondée sur l’usage seul du compas. Cette condition est remplie dans les solutions suivantes, qui embrassent les deux problèmes avec plus de généralité.

i" Problème. Circonscrire un cercle à un triangle donné {fig- bis). ,

Soient A, B, C, les trois angles du triangle : supposons le cercle décrit ; soient OB, OC, deux rayons. Si par le point C on mène une tangente , les angles formés par cette tangente avec BC et avec CO seront égaux, l’un à A , l’autre à ioo°. Donc O CB = ioo°— A. Or il est facile de déterminer cet angle sans le secours de la règle.

Pour avoir l’angle OCB, de deux points m et m situés à égale distance du point A , je décris avec des rayons égaux, mais plus grands que Km , des arcs qui se cou*.

peut en P. Du point A et du rayon AP, je décris un arc qui coupé le côté AC en Q : PAQ est l’angle cherché : car PAQ — PAB — A=ioo® — A. Pour le porter en C, je décris de ce point et du même rayon AP un arc yo=PQ; le point o appartiendra au rayon CO. Si donc du point o et du rayon Cor=z AP on décrit une circonf. , elle touchera le cercle cherché. Or on sait qu’en menant par le point de contact de deux cercles une droite quelconque, les cordes interceptées par les deux circonf. sont entr’elles comme les rayons. On a donc CO Co : : CR : C#\ Donc CO est une 4'"“ proportionnelle aux lignes connuesCB, C^etCo. L’ayant construite (95), on décrira des points A et B, et avec cette ligne pour rayon, deux arcs : leur point d’intersection O sera le centre cherché.

a' Problème. Inscrire un cercle dans un triangle donné.

On sait que les tangentes menées d’un même point à un cercle sont égales. Si donc on connaissait un seul des points de contact, ou la distance de ce point aux deux sommets adjacens, en décrivant des arcs de ce point et avec des rayons respectivement égaux aux distances trouvées, les rencontres de ces arcs avec chacun des deux autres côtés du triangle , détermineraient les deux autres points de contact. On connaîtrait ainsi trois points du cercle, qui serait dès lors déterminé. (V . le problème précédent.) Cherchons donc les distances d’un de ces points de contact aux deux sommets adjacens , c.-à-d. les longueurs des tangentes menées de ces sommets. Or, i“. la somme de ces tangentes est égale au côté sur lequel on les compte; 2 °. la double somme des trois tangentes étant égale au périmètre du triangle , leur somme est égale au demi-périmètre. Si de la somme des trois tangentes ou du demi-périmètre on retranche la somme de deux d’entr’elles ou un des côtés, on aura la troisième, celle qui part du sommet opposé à ce côté. Chaque tangente est donc égale au demi-périmètre, moins le côte opposé à son point de départ. (Note du Traducteur.)