PROBLÈMES DIVERS

PROBLÈME

151. Étant donnée une échelle SL , trouver la surface du triangle ABD et du quadrilatère A O CD (fig. 76).

Solution. Faites à BA=Ba, et à DA = Da (11); portez sur l’échelle SL les distances A a et BD prises avec le compas. Supposons, par exemple, que l’on trouve An = 7, BD = 8; multipliez ces deux nombres entre eux, prenez le quart du produit = 14» ce nombre exprimera la surface du triangle ABD.

Pour trouver la surface du quadrilatère ABCD, après avoir déterminé le point a comme ci-dessus, on fera à BC=Bc et à DC=*Dc; on trouvera sur l’échelle les deux distances Aa, Ce; soit, par exemple, A a = 7, Cc = 5; prenez la somme de ces deux quantités = ta : multipliez par cette somme

l86 GÉOMÉTRIE Dü COMPAS*

= 12 la valeur de BD trouvée sur l’échelle = 8 , prenez le quart du produit — 24, ce nombre exprimera la surface du quadrilatère ABCD.

Démonstration. La ligne A a est double de la perpendiculaire qui tombe du point A sur la ligne BD ( 14 ); mais la surface du triangle ABD est égale à la moitié de la surface d’un parallélogramme qui aurait pour base la ligne BD, et pour hauteur cette perpendiculaire ( 4 » » AV. 1) : donc elle est égale au quart du produit de A a par BD. De même la surface du triangle BCD est égale au quart du produit de Ce par BD : donc la surface du quadrilatère ABCD est égale au quart du produit de la somme des deux parallèles A a, Ce par leur perpendiculaire BD.

152 . Le problème précédent peut servira mesurer la surface d’un espace renfermé par un polygone quelconque , en imaginant des droites qui le partagent en autant de triangles ou de quadrilatères que l’on jugera convenable. On pourrait proposer encore d’autres manières de la réduire en trapèzes ; mais 011 peut facilement les déduire de la méthode avec laquelle on a résolu ce problème.