LIVRE ONZIÈME

PROBLÈME

\ 53. Étant donnés (fig. 77) les plans triangulaires qui comprennent une pyramide tétraèdre , trouver sur sa base le point où tombe la perpendiculaire abaissée du sommet , et trouver sa hauteur.

Solution. Soit le triangle ABC la base de cette pyramide tétraèdre , et soient AEC, BDC AF B les plans triangulaires qui vont se réunir à son sommet; du centre C èt du rayon CD = CE soit décrit un arc qui passe par les points «et d; du centre B et du rayon BD soit décrit un arc qui coupe le premier en d ; du centre A et du rayon AE soit décrit un arc qui coupe le rayon en e ; soit trouvé le point P où se coupent les deux droites Drf, Ee (112) ; ce point sera celui où tombe la perpendiculaire abaissée du sommet de la pyramide.

Soit divisée par moitié la droite CE au point m (66) ; du centre m et du rayon mC soit décrite la demi-circonférence CpE ; soit fait à C P = C p ; la ligne E p sera la hauteur de la pyramide. - ,

Démonstration. Si dans la pyramide S ABC qui a pour base le triangle A BC et pour sommet le point S , on mène dans le triangle S CB la droite S «T perpendiculaire à CB, et si l’on élève du point J' pris dans le plan de la base ACB la perpendiculaire «Trf, elle contiendra le point P , où tombe du sommet la perpendiculaire SP (1 1 , liv. 11); de même , si du point S dans le plan SAC, on mène à AC la perpendiculaire Sé, et si du point e dans le plan de la base ACB, on mène à la même droite AC la perpendiculaire te, elle contiendra le poiutP : donc ce pointsera l’intersection des deux droites J'd, te. Mais dans la fig. 77, où les points D etE représentent le point S de la fig. 78, Drfest perpendiculaire à BC en un point S' ( \ 4 ) ; de même aussi E c est perpendiculaire à A C en un point e : donc le point P est le point cherché.

De plus , les deux triangles CPS (fig. 78), CpE (fig. 77), étant rectangles en P et p, le premier par supposition et le second par la 3 1 * prop. du liv. 3 , et CS étant la même ligne que CE, on a CP = C/>. On aura encore PS = />E;

car C%- 7 8 ) (47 » Uv ‘ 0 »