LIVRE ONZIÈME; 1 gf

le même. Le point M se trouve aussi dans la première solution , comme dans la seconde , à l’intersection des deux arcs décrits des centres F et M et avec des rayons égaux à FQ et à B N : donc il est le même , donc , etc.

PROBLÈME

163 . Dans un triangle équilatéral dont les sommets p, q , R sont donnés, inscrire un hexagone régulier.

. Solution. Divisez la distance QR (Jig. 81) en trois parties égales aux points c et d ( 68) ; des centres c et d et du rayon ed décrivez deux arcs qui se dbupent en A ; du même rayon et du point A pris pour centre décrivez un cercle ) faites sur la circonférence à</c = cB = BC =3= CD = DE) les points B, C, D, E, d, «seront les sommets de l’hexagone inscrit.

Démonstration. Le triangle BcQ a ses côtés Bc et Qc égaux aux côtés Ad et cd du triangle A de; de plus, l’angle compris entre ces côtés est égal dans chaque triangle à cause du parallélisme des lignes Bc et A d (27 , liv. 1) : donc ces deux triangles sont égaux (4, liv. 1), et l’angle cQB = (te A = cQP ; donc le point B

est sur la droite PQ. On démontre de la même manière que les autres points C, D , E sont sur les côtés du triangle proposé : donc , etc.

PROBLÈME

164. Dans un carré donné ABLF , inscrire un octogone régulier.

I" Solution. Si l’on veut se servir des intersections des côtés du carré donné, du point A pris pour centre ( fig . 82) et du rayon AB décrivez la demi-circonférence B CD E, en faisant, à AB = BC = CD= DE; faites à BF=BQ; à EA = EQ; du rayon AQ et du centre A déterminez les points b et g ; pÆs du même rayon et des centres B , L et F , coupez les côtés aux points a, d, c, f, e, h; ces points seront les sommets de l’octogone abcdefgh.

II’ Solution. Ayant déterminé le point Q comme dans la première solution , du rayon AQ et des points A et B pris pour centre décrivez deux arcs qui se coupent en 0 ; avec le même rayon et du centre A déterminez le point b sur le côté, A B ; du point 0 pris pour centre et du rayon Oô décrivez un cercle qui coupe les côtés du carré dans les