LL

donc l’angle A B d sera droit (48, liv. 1 ), et par

conséquent le point d sera sur la droite BL.

On démontrera de la même manière que tous ■ les autres points sont sur les côtés du carré ; proposé; on aura de plus

L d — BL — Bc?= i — - 1/2 = Le,

et

(dey = (Ldy + (Le)* (47, liv. 1) = 2 (Lr/)* ; ti’où l’on tire

de = L d. y/ 2 = \/ 2 — i .

Mais on a

cd= BL — L d — Bc = BL — 2L d

donc

cd=de.

On démontrera de la même manière que tous les côtés de l’octogoné sont égaux entre eux. De plus, les triangles L de, B be , h.ak, F fg étant égaux en tout , leurs angles aux points a, b, c, d , e,f, g, h seront ' égaux : donc leurs supplémens , c’est-à-dire les angles de l’octogone, seront aussi égaux (i 3 , liv. 1).

165. Étant donné un octogone régulier ABhgfFGH,* trouver facilement (fig. 66) ^ i°. le côté d’un octogone régulier dont la surface soit double; 2 °. le côté d’un octogone dont la surface soit triple. *

Solution. Avec le côté AB de l’octogone donné , pris pour rayon , des pointe F et H comme centres soient décrite deux arcs qui se coupent en a.

i°. af ou «A sera le côté de l’octogone double.

a*. AB ou ag sera le côté de l’octogone triple. . •

Démonstration. Si Von suppose AB = ^, on aura

■ * : . nbr 6 ’

aA = àf— v/ 2 (139) ; aB = ag= |/3 (3);

mais les surfaces des figures semblables sont entre elles comme les carrés des côtés homologues (ao, Uv. 6) : donc a A sera le côté d’un octogone double et A B celui d’un triple.

ô : ■■ ' riv

• 20/f. GÉOMÉTRIE OU COMPAS.

PROBLÈME

166. Dans un cercle d’un rayon AB (fig. 83), inscrire trois cercles qui le touchent et se touchent entre eux.

Solution. Dans la circonférence du cercle donné soit fait à AB = BC = CD = DE = E d — de ; du centre B et du rayon BD soft décrit un arc qui passe par les points a , p et et ; du centre E et du même rayon BD soit coupé cet arc en a et a; avec le même rayon, des centres C et c , soient décrits deux arcs qui se coupent en V , et des centres D et d deux autres arcs qui se coupent en v ; des centres V et v et avec le même rayon soient décrits * (Jeux arcs qui passent par m et n ; des centres a et a et du rayon AB soit coupée la circonférence du cercle donné en G, H, et en g, h; soit fait dans cette circonférence au même rayon AB = GL = 11 1 = g l = hi ; soit fait à A a = BF ; à IL = L Y = I Y = ly =. ijr ; à Y y = Fm = Yn; à. Dn = Dp : du centre A et du rayon mn soit décrit le cercle PSRXQT , sur la circonférence duquel, prenant un point arbitraire P, on fasse à PA