LIVRE ONZIÈME. 20g

Ce problème se trouve élégamment résolu avec la règle et le compas par Thomas Simpson, dans son ouvrage Select Exercises , etc. , Geometrical Problems , problème 1 3 . On voit qu'on peut , par notre construction , résoudre ce problème par la règle et le compas plus brièvement encore que ne le fait Simpson, en menant la droite \ av , et après y avoir pris à AB = BV = E c, en faisant à BD = V m = Bp = vm; puis en décrivant du centre A et du rayon mn le cercle PQR, et faisant tout le reste de la construction comme dans la solution précédente.

PROBLÈME

1 67 . Du centre A ( fig. 85 ) , décrire un cercle qui touche extérieurement les trois cercles inscrits par le problème précédent (166) à un cercle donné.

Solution. Cherchez une troisième proportionnelle aux deux droites AB, Am (86); avec cette ligne prise pour rayon et du centre A soit décrit un cercle ; ce sera le cercle cherché.

Démonstration. AB étant = i , et Am = 2 — [/$ , on aura la troisième propor-

tionnelle— 7 — 4^5. Si maintenant du rayon Ar== 1 , on soustrait le diamètre q r du cercle décrit du centre R , c’est-à-dire si l’on soustrait 2 R/) = 4v / 3 — 6 , on aura précisément y — . 4 1/3 : donc un cercle décrit du centre A et avec cette troisième proportionnelle pour rayon, sera tangent au point q a ce cercle îhscrit ( 12 , liv. 3) , et aux deux autres cercles.

PROB1ÈMB.

168. Inscrire dans un cercle d’un rayon donné AB (fig. 84 ), quatre cercles qui lui soient tangens et qui soient tangsns entre eux .

Solution. Soit fait dans la circonférence du cercle donné, à AB = BC = CD = DE, à BB = Ba= Ea, à A a — BF = B f , à AB a- FN = FO , et à BD = NP = OP ; du centre A et du rayon a P soit décrit le cercle QRST; puis, prenant un point arbitraire Q sur la circonférence , soit fait à B Q = F R gg —/T; enfin des centres Q, R, S, T et du rayon a¥ soient décrits quatre cercles: ils seront les cercles demandés.

Démonstration. Comme on a (27)

B F = FE = E/=t /B ,