QR = RS = ST = TQ

donc l’angle TAQ sera droit; donc

(TQ)* = (AT)‘ + (AQ)* = a(AT)‘.

Fuis ayant fait AB = i , on aura aussi ( 165 ) FP = i ; d’où AP = a. On aura encore ( 27 ) Aa=v/2jd’oùaPs=2 — {/a;aF — [/a — i ; d’où l’on tire

2( AT)* =* a (avy ** (‘PQ)* es a(a — y a)* et

TQs£=(a— \/ a)\/a = 2 \/a — 2= 2(1/2 — 1) ^=aaF;

j 1 Oÿyfr ÿ*i a v M v yj

donc la distance des deux centres T et Q est égale à la somme des rayons des deux cercles décrits de ces points comme centras donc ils sont tangens en p au milieu de TQ. On prouverait la même chose pour deux autres quelconques. Soit ensuite r le point où la ligne A r prolongée coupe le cercle décrit du centre R; °n aura

Ar*=AR 4 ^Rr=aPH-ttF==PF= t =AB .

ull yili fi

donc le point r sera sur la circonférence du

cercle donné ; d’où l’on volt que la ligne A r passant par les deux centres A et R , sera perpendiculaire à la tangente qui les touche tous deux au point r : donc ils seront tangens entre eux (i 3 et 16, liv. 3 ); la même démonstration s’applique aux autres cercles.

PROBLÈME

169 . Du centre A (fig. 84 ) j. décrire un cercle qui touche les quatre que l’on vient d’inscrire ( 168 ) dans un cercle donné.

Solution. Cherchez une troisième proportionnelle aux deux droites FP, Fa (86) ; avec cette ligne prise pour rayon et du centre A soit décrit un cercle , il sera le cercle cherché.

Démonstration. PF étant égal à 1 , et Fa = t/2 — 1 , on aura la troisième proportionnelle = 5 — 2 [/s : or soit q le point où le rayon A r coupe le cercle décrit du centre R ; qr en sera le diamètre = 2 aF = 2 {/ 2 — 2; soustrayant de 1 = A r cette valeur, on atira Aç = 3 — 2^/2 = cette troisième proportionnelle : donc le point q sera dans les deux circonférences; mais il se trouve dans la droite AR; donc la perpendiculaire à cette droite