LIVRE ONZIÈME

le rayon A B , comme dans le problème 1 75 , du centre B et du rayon B a soit décrit l’arc a N , et soit fait à A a = EN ; des centres A et E avec le rayon AN soient décrits deux arcs qui se coupent en n ; du même rayon n A coupez la demi -circonférence BCDE au point S. Enfln divisez en deux parties égales LM au point m ( 66) , ainsi que QR en q. i °. BS sera la hauteur de la pyramide; 2 °. QR sera le côté du carré qui lui est égal en surface; 5°. M/n sera le côté du carré qui forme la base d’une py-

ramide de hauteur égale au côté de celle proposée , et qui lui est égale en solidité; 4°- Qÿ

sera le côté du carré qui sert de base à une py-

ramide égale en hauteur et en solidité à celle

proposée ; 5°. AN est le diamètre d’une sphère circonscrite.

Démonstration. Si du sommet S de la pyramide on abaisse une perpendiculaire S/n sur le côté AB, à cause du triangle équilatéral SAB , elle coupera par moitié au point m la droite AB ( 12 , liv. i). Donc si, sur la base ABC, on élève au point m de la droite AB la perpendiculaire mT, elle passera par C (i i , liv. i), et contiendra le point T où tombe la perpendiculaire abaissée du sommet S sur la base (ii, liv. n). On démontre de même que le

pûtot T est dans la droite Bn, qui divise en deux parties égales le côté AC. Soit menée la droite mn, elle sera parallèle à BC (2, liv. 6), et le triangle Am 71 sera équiangle au triangle ABC (27, liv . 1), et BC sera double de mn (4, liv. 6); puis les triangles B CT, mnT auront les angles égaux chacun à chacun, et l’on aura (4 , liv . 6)

BC ; mn :: CT : mT.

Donc CT est double de mTj d’où mT = ^ Cm ; puis faisant AB = i , on a

Cm=:Sm = ^ \/3 (104) :

donc

Tm=^3.

De plus, comme on a

(Sm)* = (mT)* + (ST)* (4 7 , liv. 1), c’est-à-dire

on aura d’où

7^-KST)*,

st = v /î.