LIVRE ONZIÈME

d’où l’on voit que les côte's EN = g, BN = BE = ~ seront en proportion arithmétique.

PROBLÈME

180. Former (fig. 91 ) un triangle rectangle dont les côte's soient en proportion géométrique.

Solution. Du centre A avec un rayon AB soit décrit un cercle BD d, et soit fait dans sa circonférence à AB = BC = CD = DE = Ec?

— de; soit fait ensuite à BD = B<z = Ea et à A.a=J)b — db = C/3 = cfi; maintenant du centre E et du rayon b fi soit coupée la circonférence du cercle en N ; le triangle BNE sera le triangle cherché.

Démonstration. La ligne AB est divisée en b en moyenne et extrême raison (46) : donc si l’on fait AB = 1 f A b s= x , on aura

B£=i — x , et x % — 1 t— x; et résolvant cette dernière équation ,

d’où résulte

i/3=2Aft=v'5 — i = EN; on a ensuite (3i , liv. 3) (47, liv. 1)

(BE)* = (EN)**+-(BN)*;

c’est-à-dire

4 6 — 2 j/5 -J- (BN)* y

d’où l’on tire

(BN)*= a(v/5 — 1) = BE.NE; donc on a ( 1 7 , liv. 6)

BE : BN :: BN : NE:

donc, etc.

1 81 . Lemme. Si l’on fait les côtés des cinq polyèdres réguliers = 1 , on aura le rayon d’une sphère

au tétraèdre

au cube =-^/3 >

circonscrite < à l’octaèdre = - \/ 2 , au dodécaèdre = ^ à l’icosaèdre = I y/(—