LIVRE ONZIÈME. a3l

Démonstration. Le carré du diamètre de la sphère circonscrite à la pyramide comprise entre quatre triangles équilatéraux , vaut ( 1 3, liv. 1 3) une fois et demi le carré du côté de la pyramide , c’est-à-dire en faisant le côté= i , le diamètre est égal à y/ ^ ; d’où le rayon = ^ ^

Le carré du diamètre de la sphère circonscrite au cube vaut ( i5, liv. i3) trois fois le carré du côté de la pyramide , c’est-à-dire le

diamètre = y/3 ; d’où le rayon = l - y 3.

Le carré du diamètre de la sphère circonscrite à l’octaèdre (corps régulier terminé par huit faces qui sont toutes des triangles équilatéraux), est ( 14 , liv. i3) double du carré du côté d’un de ces triangles , c’est-à-dire le diamètre = [/ 2 ; d’où le rayon = ^ j/a.

La sphère circonscrite au dodécaèdre (corps régulier , terminé par douze faces qui sont toutes des pentagones réguliers), est aussi circonscrite ( 17 , liv, 1 3) à un cube qui a pour côté une diagonale de ces pentagones. Mais si l’on fait ( Jig. 64) le côté AB = 1 , la diagonale BN

du pentagone ABLMN = ^ ( i/' 5 —H 1 ); en

effet, on a (15 7)

a32 GÉOMÉTRIE DO COMPAS.

BN=ÔE=AÔ+AE=^ (t/5— (180)

donc BN ou la diagonale d’un pentagone qui a

le côté = i , est égale à ^ (|/5 + i ). Si sur

cette ligne on forme un cube , on aura le carré du diamètre de la sphère qui lui sera circons-

crite=3(BN)*, et le diamètre=^( l/5+i). \/5:

donc le rayon de la sphère qui comprend le dodécaèdre = î t/3.(i/5 4" i)*

Si AB est le diamètre de la sphère qui comprend l’icosaèdre (Jig. 92 ), et qu’après avoir pris sur ce diamètre AC= 4 CB, et élevé la perpendiculaire C D qui rencontre en D la demicirconférence AD B, on décrive avec le rayon DB un cercle, et dans ce cercle un pentagone régulier, le côté de ce pentagone sera ( 1 6 , ô>. 1 3) le côté de l’icosaèdre (corps régulier terminé par vingt faces, qui toutes sont des triangles équilatéraux); or le côté du pentagone est au rayon du cercle circonscrit comme B b est à B A (y%. 12 ) (40) : mais faisant AB = 1 , on a