LIVRE ONZIÈME

PROBLÈME

184. Étant donné un point B sur la circonférence d’un cercle donné (fig. 95 ), trouver deux autres points h et M, tels que le triangle B LM soit équilatéral et touche le cercle par le côté LM au point E qui en est le milieu.

Solution. Soit fait dans la circonférence du cercle donné à son rayon AB = BC = CD = DE=Ezf; puis, soit fait à BD=B«z=Ea:

du centre a et avec le rayon a A soit décrit un arc qui passe par a; du centre E et avec le rayon EA soit décrit un arc qui coupe le précédent en a ; du centre a avec le même rayon a E soit coupée la circonférence en P. Puis, du centre E et du rayon EP soit décrit un arc qui passe par L et M ; des centres D et d avec le rayon aP soient décrits deux arcs qui coupent le précédent en L et M ; les points L et M seront les deux points cherchés.

Démonstration. Si l’on compare les points a, A, E, a, P de la fig. g5 avec les points Q, A, p, B, P de la fig. 3, de l’équation

(AQ)* = (Ap)*+(pQ)* — pP.pQ

•a/ j -a GÉOMÉTRIE Dl) COMPAS.

qui appartient à la fig. 3, on tirera pour la fig. g5 celle-ci

(Aa)*=(AE)*-j-(En)* — EP.Ea ; et substituant les valeurs numériques ( 27)

2 = î -J- 3 — EP. v/3 ,

d’où]

2 = EP. v/3 et EP = | y/5 ;

et comme les trois points E, P , a sont dans la même droite (13), on aura

Pn = En — EP = | y/3.

Si l’on suppose menée la ligne BE qui coupe en R la ligne D d, on, aura (104)

BR = ? , RD = - ]/ 3 , BE=2j

d’où la quatrième proportionnelle aux trois

lignesBR, RD, BEsera égale à| j/3 = EM.

On aura aussi (1 04) RE = - , B D = \/5 (2),j

d’où la quatrième proportionnelle aux trois

lignesBR, BD, RE sera égale à ^ j/5 = DM:

donc les lignes EM, DM seront de la longueur nécessaire pour que le triangle BEM