LIVRE ONZIÈME

on aura donc aussi

LM = E m.

De plus, on démontre que les autres côtés MN, NQ, LQ ont la même valeur. De tout ce qui précède , il résulte que les angles extérieurs au quadrilatère LMNQ qui ont leurs sommets aux points L, M, N, Q sont droits:

donc les angles intérieurs le seront aussi ; donc on aura les cinq carrés demandés.

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PROBLÈME

186- Étant donnés les cinq points A, B, C, D , E sommets des angles dun pentagone régulier (fig. 97 ) , trouver les cinq points a , b, c , d , e où se coupent les diagoiuiles de ce pentagone.

Solution. Des centres A, B, C, D, E avec le côté AB du pentagone pris pour rayon, soient décrits des arcs qui se coupent en a, b, c, d, e; ces points seront ceux d’intersection des diagonales.

Démonstration. Si l’on suppose les diagonales menées et les côtés du pentagone ABCDE

3/ t 8 GÉOMÉTRIE DI! COMPAS.

tracés, on aura l’angle BAC = BD A (29, liv. S) = CAD; d’où A A = AD (6, liv. 1). On aura ensuite B AA = AD A + A AD ( 32 , liv. 1) = BAA-f- AAD = BAD = ABD ( 5 , liv. 1); d’où le triangle AB A sera isoscèle (6, liv. 1 ) , c’est-à-dire on aura AB = AA=AD : donc, etc.

PROBLÈME

1 87 . Dans un cercle d’un rayon A B donné (fig. 98) , inscrire six pentagones réguliers.

Solution. Soit fait dans la circonférence du cercle donné, à AB = BC = CD = DE=E</, à BD=Ba = Ea, età A«=BF = DA = rfA; soit aussi fait dans la même circonférence à AF = BP ~ PQ = QR = RS; avec le même raj'on AF et des centres B, P, Q, R, S soient décrits des arcs qui se coupent en /S , p, q, r, s. Maintenant des centres / 3 , P avec le rayon f&p soient décrits deux arcs qui se coupent en c ; avec le même rayon et des centres P , p soient décrits deux arcs qui se coupent en d ; on aura deux des pentagones cherchés , savoir :

fipqrs qui a son centre en A, etfipdVc qui touche le cercle donné en P. On trouvera de la même manière les sommes des angles des