LIVRE ONZIÈME

quatre autres pentagones pqfQ e > çrARg, rskSi, sfimBl.

Démonstration. Les points B , P , Q , R > S seront les sommets des angles d’un pentagone régulier inscrit au cercle donné (40 , 1 28) ; d’où les points fi, p seront dans la diagonale BQ, et les points p, q dans la diagonale PR (186); et comme B/)=/3Q, on aura B/3 =/>Q.

On prouvera de même que P p=q R, et a cause de BQ = PR (27, liv. 3) on aura aussi B/3 z=Vp, et /3 p=pq. On prouvera aussi de la même manière que tous les côtés du pentagone fipqrs sont égaux entre eux. Déplus, on a l’angle @pq, c’est-à-dire B/?R== B PR + P B/> (32 , liv. 1); mais PB/?, c’est-à-dire PBQ QPR ; donc fipq=BPQ. Oa démontre de même que les autres angles du pentagone fipqrs sont égaux aux angles du pentagone B PQRS : donc ils sont tous deux réguliers. En outre , l’angle QBR formé par deux diagonales du pentagone B PQRS, qui est l’angle @Bs, sera égal à l’angle fi q s , formé par deux diagonales du pentagone fipqrs ( 20 , liv. 6). Or comme les triangles fiBs t fiqs sont isoseèles, ils auront aussi les angles à la base commune /3 s égaux entre eux (5, 32, liv. 1); d’où aussi les triangles seront en tout égaux (26, liv, 1) ; d’où les triangles

B m /3 , i Qpq ayant tous les côtés égaux entre eux, auront aussi les angles égaux (8, liv. i), ainsi que les triangles BZa , srq : donc tous les côtés et tous les angles du pentagone Brnfèsl seront égaux aux côtés et aux angles du pentagone /3 pqrs; ils seront donc tous deux réguliers. On démontre la même chose pour les autres pentagones ficVdp, peQJ'q, qgVk.hr , riSks : donc, etc.

188. Le point b sera le centre du pentagone jümBls , et la distance bB le rayon du cercle circonscrit à ce pentagone et aux autres qui lui sont égaux, ainsi que nous le démontrerons bientôt : ce qui ajoute encore une belle propriété au point b que nous avons déjà remarqué tant de fois dans cette Géométrie. Car, outre les divisions en moyenne et extrême raison qu’il nous a fait obtenir dans le diamètre BAE (45, 46), outre qu’il a servi à déterminer le côté bV du pentagone inscrit au cercle du rayon AB (40) , le côté b A du décagone inscrit au même cercle ( 41 ) ; on a encore le rayon B b du cercle circonscrit aux six pentagones qu’on peut inscrire au plus grand cercle du rayon AB, comme dans le présent problème ; car si l’on suppose le rayon AB = i , on a