livre onzième

A£ = i(v/5 — I) (180); et comme (3i , liv. 3)

(BE)* = (BQ)*-f-(QE) , = (BQ)*+ (Aù)*,

on aura

BQ = v/(^->

On a ensuite

/3Q = BP = 4F= ^(^*2) i d’où

BQ : jSQ :: BQ./3Q : Q3Q)* :: t/5 : — K - :: i : i (v/5 — x) :: BA : b A. ;

d’où

BQ : BQ—/3Q ;; BA : BA — ùA,

c est-a-cure

,-i ■, . , sfgnift f. •

BQ : B/3 ;; BA : B b. ;

Donc les deux diagonales des pentagones BPQRS, Bm@sl seront entre elles comme B A : b A : donc B A étant le rayon du premier pentagone, B b sera le rayon du second (*>, fcV.6).

" .. oo-> 'srÆ[.l'. ■ ; . « '■> . ,

PROBLÈME

189 . Étant donnés les sommets des angles d!un hexagone régulier BCDEdc ( 6 g. gg) j trouver les points 1, m, n, g } Pj q où se coupent celles de ses diagonales qui ne passent pas par le centre.

Solution. Soit fait àBD = Ba = Ea; puis a BC = BA=CA = Ba; àaA=««; àaB = aP = AP. Maintenant, des centres B, C avec le rayon aV soient décrits deux arcs qui se coupent en l; des centres C, D soient décrits deux autres arcs qui se coupent en m , et ainsi de suite; ces points l, m, etc. , seront les points cherchés.

Démonstration. Supposons que les diagonales indiquées se coupent en l, m, n, g, p, q ; comme on a l’angle BDc = DcE (29, liv. 3 ) , BD sera parallèle à cE (28, liv. 3 ) : donc le triangle C Im sera semblable au triangle CcE ( 2 , 5 , liv. 6), et par conséquent équilatéral. De même on aura le triangle B Iq semblable au triangle BDrf ; puis les triangles CcE et Bc?D ayant les côtés égaux, seront égaux (2) (8,4? Æ*'. 0 > et le côté BD , et par conséquent

tIVRE ONZIÈME.

Irn étant à égale distance du côté c E que le côté, Ce ainsi que ql du côté d D (i4> ZiV. 3), si l’on applique le triangle BeZD sur le triangle CcE, la droite q l tombera sur la droite Im , et elles seront égales; mais B Z = Iq : donc B Z = Im. De même on démontre que Dm— ml :

donc, en faisant le rayon du cercle BC = AB as i (2), on a

BZ = i BD = ^ i/3;

de même C Z = | y 3 ; mais on a fait précisément

BZ=CZ=rtP = | y/3 (184) :

donc Z est un des points cherchés. On démontre la même chose pour les autres points m, n, g , p, q ; donc, etc. j t

PROBLÈME

*iA

190. Dans le cercle du rayon donné AB (fig. ioo), inscrire sept hexagones réguliers , dont un soit concentrique au cercle , et les autres soient disposés autour du premier.

Solution. Soit fait dans la' circonférence du

cercle donné àAB = BC = CD = DE — Erfj puis à DB = DV = dY. Des centres C et A avec le rayon CV soient décrits deux arcs qui se coupent en P ; du centre P avec le même rayou P C soit coupée la circonférence du cercle en J 1 ; dS' sera le côté des hexagones à inscrire , et que l’on inscrira facilement l’un près de l’autre. Ensuite , des centres d et S' avec le même côté dS' pris pour rayon soient décrits deux arcs qui se coupent en a; du centre et et avec le même rayon soit décrit un cercle dans lequel on inscrive (i5, liv. 4) on hexagone régulier dj'm/ipq. Du centre A avec le même rayon soit décrit un cercle qui passera par np; soit décrit dans ce cercle l’hexagone qui a pour un des côtés la ligne pn', sur les côtés de cet hexagone soient décrits les autres hexagones , comme on a fait d’abord sur le côté dd' , et l’on aura les sept hexagones demandés.

Démonstration. En faisant pour abréger AB = i , on aura CP = CV = V 7 (1 00) = A P ; puis on aura

AP ; A «T :: Ad' : £d ( 86 ),

. • . ; ^ * 1 - • . ; /‘►.ii.. • ' »’ , •' , \*

c’est-à-dire

j /7 : I :: 1 : dW; d’où dV=