LIVRE ONZIÈME

Supposons pour un moment inscrits les hexagones cherchés, et soit leur côté d£ qui est la quantité inconnue = je; on divisera cette ligne en deux parties égales au point o, et l’on mènera la droite Af qui lui sera perpendiculaire (83), et passera par a, centre de l’hexagone , dont d eT est le côté , en coupant aussi par moitié au point fi le côté pn de l’hexagone central ; et comme on a dans le triangle équilatéral Apn

pn : Ap. :: i : ~ ^3 ( 104 ),

on aura

x : A fL 1 : - y/5 ; d’où Au = - xi/5 ,

et

Av— 3AfÂ.z= - xt/ 3,

et encore

dv = - x:

puis, comme 1 = (A d) % — (Av) % -J- (dv)' , on aura

1=-^- x'-\~ ^x k =i'jx i ;d , oùx l =^etxz= ^ ;

valeur qui est précisément celle déterminée pour la ligne d£ dans la solution du problème , ainsi qu’on vient de le démontrer :

donc, etc.

On trouve dans Pappus, liv. 8, probl. i 5 , prop. 19 , ce problème résolu avec la règle et le compas , d’une manière qui n’est pas plus simple que la précédente. Il y a aussi ajouté une construction mécanique.

191 . Nous croyons avoir jusqu’ici rempli les promesses que nous avons faites (6 et 7 ). Quant au premier point , nous avons déjà donné tous les élémens de la Géométrie du compas, c’est-à-dire la totalité des problèmes qui suffisent pour trouver avec le compas seul et sans la règle tous les points qu’on peut trouver avec ces deux instrumens réunis. Pour démontrer ceci ( 71 ), on observe d’abord que la Géométrie élémentaire fournit le moyen de trouver les points d’un problème , ou par la section des arcs entre eux (et ce moyen est toutà-fait propre à la Géométrie du compas) , ou par la section des arcs et des lignes droites, ou par celle des lignes droites entre elles (et tout cela se trouve compris dans le livre 7 ) (1 10 et suivans). Ensuite une droite quelconque nécessaire à la solution d’un problème se