LIVRE DOUZIÈME
et
Ai = i(v/5~i) (180):
si l’on fait a Z — a, on aura
(A') . . . a* = 3 — 2 sinA. \Zz.
Cette équation comprend aussi le cas où l’arc A est négatif comme Bz , dans lequel le signe — placé devant 2 sin A 1/2 se change en -+-•
1 99. La valeur de a peut toujours être celle d'une corde quelconque du cercle B Dr/, excepté dans le cas où la valeur de la distance az exprimée par a est plus grande que 2 . Pour calculer alors plus facilement la valeur de a, comme on a
\/ 2 = BF = 2 sin45% et
2 sin A . sin 45° = cos (A — 45°) — cos A -f- (45°) =cos(45°-A)-sin(45°-A) (158),
on aura
(*)a*=3 — 3 cos (45° — A)-f~ 2 sin (45* — A).
200. Dans les autres cas où a est plus petit que 2 , en appelant A' l’arc dont a est la corde , on aura
— cos A'
= ! — sinAv/^=! — sin A. cos 45° ;
d’où réduisant ,
cos A' = 2 sin A. cos 45° — ^ ; d’on encore (159),
cos A'=; sin (A+45°) sin (A — ^5 *) — sin 3o* ,
ou bien ,
( i )cos A'=cos(45 °— A)— s in (45° — A) — sin 3o“.
201 . Si l’on veut se servir de cette équation pour obtenir une des divisions de la circonférence que l’on ne peut pas avoir exactement , on y introduira, au lieu de A, un arc précis, par exemple, la vingtième partie de la circonférence = i 8 °, en faisant BZ = i 8 ° (Jig. 12 ), et l’on aura
cas A' = cos 27 ° — sin 27 * — sin 3o°.
Or
Googl
LIVBE DOUZIÈME.
sin 27 0 = 0,4559905 sin 3 o° = o, 5 oooooo
o» 9 53 99 ° 5 COS 27* = 0,8910065
d’où cos A' = — 0,0629840.
On trouve ensuite dans les tables
0,0629840 == sin 3 ° 36 ' •
Or comme la valeur de approche tellement de | qu’il n’y a pas seulement erreur d’une
unité entière dans le dernier chiffre du nombre 1935, on pourra prendre 0,0629840 pour le sinus de 3 ° 36 ' 40*, sans qu’on puisse reconnaître avec les tables ordinaires s’il y a erreur d’une tierce. Donc l’arc A', qui a son cosinus négatif, sera = 93° 36 ' 40', et B Z étant supposé = 18 0 , la distance aZ sera la corde de cet arc ; donc en appliquant pour corde sur la circonférence la distance aZ prise avec le compas, on déterminera un arc = 93° 36 ' 40* avec une approximation suffisante.
202 . Pour rechercher l’erreur qui se trouve dans les nombres des tables ordinaires, on observe que le sinus de 18 0 étant égal à la
a66 GÉOMÉTRIE DU COMPAS.
moitié de la corde de la dixième partie de la circonférence , c.-à-d. = ~ kb = ^ ( y/5 — i),
et le cosinus de 45 ° étant égal à ^ \/ 1 , l’équation cos A' = 2 sin A . cos 45 ° — - ( 200 ) donne
cos A' = i 1/2 (t /5 — i)—l
Puis, calculant aussi avec plus de chiffres le sinus de 5 ° 56 ' \o " , on trouve
et eu se tenant à huit décimales, on trouve sin 3 ° 36 ' 3 g' = 0,0629792 1 :
la différence pour 1" ou 6o w est de 485 : donc si 485 donne 60'", 8 donnera et par conséquent ne donnera pas une tierce entière; donc l’arc qui a pour corde la distance aZ , n’excède pas d’une tierce entière 93 <> 36 / 4 Q ,, • 203 . D’après cela, voici l’usage qu’on pourrait faire de cette valeur pour l’ancienne division du cercle. Il est clair qu’elle pourrait servir à diviser une minute en trois parties.
