LIVRE SECOND

==GÀ-==Æi==HI==IK==HTO==/n/, delà première ouverture de compas , et le problème sera résolu. .. ,

Démonstration. En effet, si des arcs égaux GF , GB (5o) , on retranche les arcs égaux CF, NB (31) , les restes GC et GN seront égaux.

Or CN est la douzième partie de la circonférence; donc GC et GN en seront les vingtquatrièmes parties.

On a ensuite FN=GL ; retranchant la partie commune FG, on aura NG=FL. Donc aussi FL sera la vingt-quatrième partie de la circonférence, et par conséquent lamoitié deFD (31).- On démontrera de la même manière que les arcs DH, HO, FI, IC sont égaux, ainsi que tous les autres qui ont été déterminés ci-dessus.

33. Pour être plus courts, nous continuerons à nous servir , sans les citer , ainsi que nous venons de le faire, des propositions 26 et 27 du liv. 3 d 'Euclide, que dans un même cercle , ou dans des cercles égaux , les droites égales soutendent des ares égaux.

34. Les anciens , au moyen du centre A et du rayon AB , divisaient , avec le compas seulement , la circonférence en six parties égales. Ils obtenaient les autres divisions atec la règle et le compas , en prenant différens. points hors

46 GÉOMÉTBIE BD COMPAS.

delà circonférence. Nous sommes parvenus à déterminer ùtt point a , qui seul suffit pour la diviser en vingt-quatre parties égales avec le compas seulement ; ce qui est en même temps plus expéditif, plus commode et beaucoup plus exact que les méthodes des anciens.

35. On peut remarquer en même temps la loi élégante que suivent les ouvertures de compas suffisantes pour cette division.

L’ouverture du premier compas = \/i , celle du troîsième=:t/ 2 > etcelledndeuxfième=i=^/3.

36- Lemme. Si dans le cercle BGE, on a le rayon AB=i, et que Tare B G soit la huitième partie de la circonférence , on aura le Carré de sa corde BG, c’esb-à-dire (B G)*

Démonstration. Sur le diamètre BE, soit abaissée la perpendiculaire GP. Dans le triangle rectangle GPA, à cause de l'angle BAG = 45° , on aura aussi AGP = 45° (3a, Uv. i), et par conséquent GP = PA.

Or, on a (AG)* = (PG)* -h (AP)* (ty, liv. ,); donc (AG)* = a( AP)*, ou a (AG)*=4(AP)*, ou encore a = (2 A P)*; donc

l/a= aAP; AP — ^ [/a; BP = AB — AP