LIVRE SECOND

moyen de ces seuls points pris hors de la circonférence , nous avons divisé la même en deux cent quarante parties égales, et nous sommes ensuite parvenus à en déterminer la deux-centquarantième partie, en n’employant que les cinq ouvertures de compas AB, BD, A a, aN, A b. Comme ces points peuvent servir dans la suite à plusieurs autres usages importans , nous trouverons, par rapport à eux, trois équations fondamentales , desquelles nous tirerons, quand il sera à propos, douze autres équations, et dont nous ferons voir les applications lorsque l’occasion s’en présentera. , , ,

PROBLÈME

60. Diviser un arc quelconque BC (fig. i3) en deux parties égales en G.

Solution. Avec le rayon AB, qui a décrit l’arc BC à diviser, et des centres B et C, qui sont les deux extrémités de l’arc, soient décrits les arcs AD, AE; qu’on fasse à BC=AD = AE (10); puis des centres D et E, et d’un rayon D C = BE, soient décrits deux arcs qui se coupent en F. Maintenant avec le rayon A F, et des mêmes centres D et È, qu’on décrive deux autres arcs qui se coupent en G, le point

G sera sur ht circonférence , el l’on aura l’arc BG = GC

Démonstration. Les côtés des trois triangles DBA, BAC> ACE, étant respectivement égaux, on aura l’angle BCA = CAE(8, liv. i).

Donc BC sera parallèle à AE (28, liv. 1) ; donc BAEC sera un parallélogramme (35, liv. 1).

On prouvera de la même manière queBCAD est un parallélogramme. On a ensuite, dans le parallélogramme BCAD, la diagonale AB égale aux côtés opposés BD , AC. Donc le carré de la diagonale DC sera égal à la somme du carré de l’autre diagonale AB, et des carrés des deux côtés AD, BC (25), c’est-à-dire (DC)* = (AB)*-f- 2 (AD) a ; et comme les deux droites D A , AE sont parallèles à la droite BC, les points D , A , E seront dans la même ligne droite. De plus, les triangles F AD, FAE ayant tous leurs côtés égaux, les angles F AD, FAE seront égaux (8, liv. 1), et par conséquent droits ( 1 3 , liv. 1 ). On aura donc

( D F ) a = ( AD )*-{-( A F )* ; m$is (DF) a = (DC) a ; donc -> :

(ÂD) a + ( AF) a =.( AB) a + 2 ( AD) a j ’

et ôtant (AD )% on aura • < '