Diviser la distance AB en trois parties égales
Solution. Qu’on ajoute en ligne droite de part et d’autre à AB {fig. 20) les deux distances ÂE , BV qui lui sont égales ( 64 )»; des centres E et V et du rayon EV soient décrits les deux arcs indéfinis QV q , PE p; des mêmes
centres E et V et du rayon EH soient décrits deux autres arcs qui coupent les premiers en Q, q , et P,/»; avec ce même rayon EB,, et des centres P et p, soient décrits deux arcs qui se coupent en T? enfin , avec le même rayon et des centres Q, q soient décrits deux arcs qi^ se coupent en t, la ligne AB sera divisép eq trois parties égales aux deux points T et f.
Démonstration. l»es points T , t seront dans la ligne droite VE ( 13 ); puis , ^ 4 e l’angle commun en E (5 et 3 a, U y. 1 ; 4»(^V. Ç) , le triangle isoscèle EPT sera semblable 34 triangle isoscèle EPV; donc (PE)*=ET.ËV (17, liv. 6). Substituant dans çette équation 2 AB pour PÉ , et 3 A B pour Ê V , elle deviendra | AB ET ; d’où AT =4 ^ AB.. On
démontrerait de même que Vi t est un tiers de AB, et par conséquent aussi T t.
PROBLÈME
69 . Diviser une distauce A B en un nombre quelconque de parties égales
... • * , . \ ' : • rt:*,'
Solution. Un exemple ou deux feroqt mieux sentir la règle, générale. ■ nv
Exemple /". Soit {fig- 21 ) la distauce AB
1,1 «R fc .TROISIÈME. 79
à diviser en cinq, parties égales ; qu’on lui ajoute eu ligne droite les quatre distances AE , EJF *, F G, GH (65 j qui lui sont égales , de manière quelle soit quintuplée en B H, /c’est-à-dire multipliée pay aqtaii t, d’ uni tés qu’il y eu a dans le nombre qui indique en combien de parties on -veut la diviser. Des extrémités B et H comme centres, et- avec ûn rayon AB de la longueur de la distance qu’on veut diviser, qu’on décrive deux arcs ipdélinif AC, GI; des; mêmes centres B et H , et avec un ray on B H , soient décrits les deux arcs H.I, BC; puis du centre C et du premier rayon AB qu’on décrive? qn arc indéfini B Q ; enfin , du centre rf avec le rayon CI qu’on décrive un aire qui coupe l’arc BQ en Q; la distance BQ sera sur la direction de la ligne B A , et en sera la cinquième partie. ‘ ' . .
Si l’on ajoute ainsi à BQ la droite égale Qq (64), et ensuite les autres lignes égales qr, ps ; on aura déterminé toutes les cinquièmes parties de la droite B A.
Exemple IL Si l’on veut diviser la distance AB en sep^parties égales fc/îg. aa ) , soit faite la ligne BH sept fois plus grande que B A ; des extrémités de cette ligue , c’est-à-dire des points B et H, et avec le «yon AB, soient
8o GÉOMÉTRIE DD COMPAS.
décrits les arcs indéfinis AC, GI; des mêmes centres B et H, et du rayon B H , soient décrits les deux arcs HI, BC; du centre C et du premier rayon AB soit décrit un arc indéfini BQ ; du centre H et du rayon C I soit décrit uri arc qui coupe cet arc BQ en Q ; BQ sera sur la direction de BA , et en sera la septième partie;
Démonstration. Les triangles CQI, IHQ ayant leurs côtés respectivement égaux, orl aura l’angle CIQ = IQH(8, liv. i) ; donc CI est parallèle à HQ (28, liv. 1). De plus, la ligne CI étant aussi parallèle à B H ( 23 ), le point Q sera sur la ligne BHl D’où l’on voit que les deux triangles isoscèles GBQ, CBH ayant un angle à la base commun en B , seront semblables ( 5 , 3 a, liv 4 1 ; 4, liv . 6) ; ce qui donne
HB ; BC :: BC : BQ,
ou bien
HB : AB :: AB : BQ:
donc la ligne AB sera autant de fois plus grande que BQ , que la droite HB sera de fois plus grande que AB.
Solution II. Si l’on veut diviser (Jîg. a 3 ) la ligne AB , par exemple , en cinq parties égales, après avoir déterminé , comme dans la solution I, la ligne B H cinq fois plus grande que
