DE L’AUTEUR

La première idée qui m’engagea à tenter la carrière nouvelle de la Géométrie du Compas fut celle-ci : puisque l’on, fait chaque jour de si belles découvertes, en avançant dans les Mathématiques, ne pourrait-on pas , en revenant sur ses.

pas , trouver quelque endroit encore inconnu dans le vaste champ qu’elles of-r frent à parcourir? Jusqu’ici on a regardé en Géométrie comme les solutions les plus simples celles qui n’exigeaient que le secours de la règle et du compas : c’està-dire de la ligne droite , la plus simple des lignes, et du cercle, la plus simple des courbes. A ces deux instrumens des problèmes, si l’on peut s’exprimer ainsi, qui pendant un temps constituaient et déterminaient la Géométrie élémentaire, on.

ajouta dans la suite les courbes coniques ; celles-ci furent suivies des courbes supérieures au second degré, et des transcendantes de diverses espèces.

Le domaine de la Géométrie continua à s’accroître à l’aide de ces profondes recherches et avec le nouveau secours de l’analyse finie et infinitésimale, au point que les inventions qui d’abord avaient fixé l’admiration des anciens , et mérite les sacrifices de Thaïes et de Py thagore , sont devenues l’apanage des enfans de nos jours. Je me dis à moi- meme : ne pourrais-tu pas revenir aux élemens , en rentrant dans la ligne de démarcation , et chercher s’il n’est jusqu’ici rien resté en arrière qui ait été négligé ? Est-il bien Vrai que les problèmes élémentaires d’Euclide soient de la plus simple construction possible? Ne pourrait -on pas décomposer l’élément mathématique en ses élémens fondamentaux , la règle et le compas , à l’exemple de ceux qui ont

décomposé l’eau eu deux airs , et un air regardé jusqu a présent comme simple, en deux autres substances ? Alors je m’avisai que la règle seule , ne pouvant servir qu a conduire une ligne droite , on pouvait peut-être n’employer que le compas , non pour décrire seulement un cercle ou un arc , mais en en décrivant plusieurs de différens centres et avec diverses ouvertures, trouver par le moyen des sections mutuelles de ces cercles plusieurs points utiles et précisément les points cherchés de position dans un problème quelconque. J’ai remarqué jusqu’ici que cette branche n’avait encore été cultivée par aucun mathématicien , et que les solutions de ce genre , obtenues par hasard à l’aide du compas seul , auraient été, par leur construction, plus élémentaires que toute autre.

Deux raisons cependant me firent hésiter pendant quelque temps à entreprendre cet ouvrage , dans la crainte

qu*en me servant de ce moyen , mes ef-t forts ne devinssent inutiles. D’abord je ne voyais pas trop ce qui résulterait de trouver avec le seul compas des points que d’autres ont trouvés avec le compas et la règle réunis. Je craignais en second lieu , et cela était bien naturel , que mes essais ne fussent pas couronnés du succès que j’en espérais j mon travail alors eût été perdu. Les constructions faites avec le seul compas pour déterminer les points de la Géométrie élémentaire , pouvaient être encore plus compliquées que celles déjà connues où l’on employait de plus la règle. Ma théorie aurait ainsi manqué d’élégance, et la pratique de précision ; ainsi j’étais sur le point d’abandonner mon entreprise.

’ Dans mon incertitude , il m’arriva par hasard de relire la manière avec laquelle Graham et Bird en Angleterre divisèrent leurs grands quarts de cercle astronomiques ( Encyclopédie méthodique , article

Quart de cercle mural ) . Celui qu’a fait Graham pour l’observatoire de Greenwich, non-seulement a servi de modèle à la plus grandepartie de ceux qu’on a faits depuis , mais encore a mérité par sa précision d’être regardé par les astronomes comme un des meilleurs jusqu’à ceux de Ramsden. Je m’aperçus donc que la division de cette célèbre machine avait été faite à l’aide du compas seul sans la règle ; rien de plus intéressant que la description des moyens employés par cet artiste , dans cette longue et ingénieuse opération. Je n’entrerai point ici dans l'explication des motifs qui firent exclure la règle ; ils seront facilement sentis par ceux qui se connaissent en travaux de ce genre. Pour démontrer en général la su-:

périorité de l’usage du compas sur celui de la règle, quand il s’agit de décrire avec précision des lignes à l’épreuve du microscope , il suffit de dire qu’avec une règle tant soit peu longue , il est presque

impossible de garantir la précision de tous les points qu’on trace , tant il est difficile qu’elle soit rigoureusement droite dans toute sa longueur. Fût-elle même très droite , les praticiens savent que la trace d’une ligne menée le long de la règle porte avec elle une incertitude de parallélisme dans le mouvement de l’axe de la pointe qui marque, ou de parfaite application de cette pointe à l’arète de la règle. Le compas n’est point sujet à ces deux inconvéniens , il suffit que son ouverture soit fixe et les pointes très fines; en plaçant l’une d’elles en un point pris pour centre , l’autre décrit un arc aussi exact qu’il est possible. En lisant la description de la méthode de Graham, je remarquai qu’il rencontra quatre difficultés :

La première, fut d’être obligé d’opérer par tâtonnemens. En parlant eu effet de l’arc de soixante degrés qu’il détermina par le moyen du rayon , on voit quç

toutes les subdivisions furent faites par essais. Les anciens ne nous ont laissé le moyen de diviser la circonférence avec le seul compas qu r en six parties , comme il est enseigné et démontré da ns la quinzième proposition du liv. 4 des Élémens d’Euclide ; Graham ne put donc obtenir une précision géométrique que pour un point.

Le second inconvénient fut la perte de temps, que les plus habiles mêmes ne sauraient éviter dans les expériences.

Le troisième fut d’avoir été obligé d’employer deux plans , un pour les essais , et l’autre qui était le quart de cercle lui-même , sur lequel il transposait les résultats ; ce qu’il faisait pour ne pas gâter, par les essais sur le quart de cercle , la surface du limbe.

Enfin , la quatrième difficulté fut d’avoir été obligé d’exécuter deux divisions différentes. Comme la division du quart de cercle en 90° entraînait avec elle les

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subdivisions d’un arc en 3 et en 5 parties, et que les essais de ces subdivisions e'taient imparfaits par le trop grand nombre d’erreurs inévitables, il voulut tenter une autre division du même quart de cercle , approchant de la première , qui ne divisait Tare que de deux en deux parties. Ayant donc divisé l’arc de 6o° en deux parties , il eut l’arc de 3o° ; le quart de cercle se trouvant par là divisé en 3 parties , avec les subdivisions par 2 , on eut ensuite la 6 m0 , la 12"* partie, jusqu’à ce qu’enfin le quart restât divisé en 96. Cette division était celle qui méritait le plus de confiance; mais l’autre division en 90 degrés , devant servir immédiatement aux astronomes , fut comparée à la première , et corrigée par le moyen d’une table calculée à cet effet.

Tous ces inconvéniens engagèrent sans doute Bird à recourir à une autre méthode pour diviser ses quarts de cercle.

Elle consistait à déterminer les arcs par

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leurs cordes qu’il prenait sur une échelle divisée en parties égales. Elle n’était pas cependant exempte d’imperfections, puisqu’elle manquait d’abord de précision géométrique , et qu’en second lieu , le quart de cercle avait nécessairement les inexactitudes qui se trouvaient sur l’échelle.

L’importance des instruirions astronomiques m’engagea à considérer mon projet de la Géométrie du compas sous un point de vue plus favorable. Je commençai à croire que j’aurais beaucoup fait , si je réussissais à diviser la circonférence én plus de six parties par le secours du compas seul ; j’aurais rendu aux artistes qui travaillent aux instrumens astronomiques un service d’autant plus important , que mes subdivisions de la circonférence auraient été plus étendues et plus conformes à la division du quart de cercle en 90°. Je fournissais à cette classe de mécaniciens un

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moyen de précision géométrique dans leurs divisions. Je leur épargnais le temps des tâtonnemens , la nécessité de faire deux divisions à la fois et sur deux plans différens , et surtout je rendais inutile l’usage de Péchelle dont on ne peut garantir l’exactitude , bien loin qu’elle soit d’une rigueur géométrique.

Il ne me restait que la seule crainte que ma nouvelle méthode ne fût compliquée et trop longue pour être commode dans la pratique.

Je me mis néanmoins à l’ouvrage.

Voyant que je ne devais pas attendre beaucoup de l’application de l’Algèbre à la Géométrie , j’eus recours à d’autres moyens purement géométriques. Je ne les indique pas ici , parce que dans cette nouvelle carrière je n’ai pas tenu toujours la même route , et que je dois beaucoup au hasard* Ce n’a été souvent qu’après maintes tentatives differentes quej’ai obtenu le résultatquejecherchais.

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Je laisse à d’autres le soin d’examiner là chaîne qui lie entre eux les problèmes de cette nouvelle théorie; ils parviendront peut-être à suivre le fil qui cott^duit par ordre de l’un à l’autre, et qui, s’il eût été découvert dès le commencement , aurait rendu plus courte et plus facile l’invention de la Géométrie du compas.

J’adressai alors le premier essai de mon entreprise â M. Ànnibal Beccaria , avec une lettre que je fis insérer dans le journal de Brugnatelli.

Cet excellent artiste, alors Patrice milanais , depuis membre de la municipalité et du comité d’instruction publique de cette ville , réunit à la gloire d’être le frère du célèbre auteur du livre des Délits et des Peines, celle qui lui est propre d’exécuter avec la plus grande habileté tous les instrumens de Mathématiques les plus délicats.

Mon premier essai consistait dans la

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méthode de diviser la circonférence en 24 parties , à laide d’un seul point pris hors d’elle. L’exécution de cette division est la plus simple qu’on puisse espérer, et je l’ai conservée dans cet ouvrage. Celle que j’avais donnée en 120 parties était trop compliquée; j’en ai trouvé une beaucoup moins longue , et telle même que je la crois la plus courte possible. J’y avais ajouté aussi une construction très prompte pour obtenir les racines carrées des nombres, depuis l’unité jusqu’à 10; je l’ai encore conservée dans cet ouvrage.

J’ai omis les autres problèmes exposés dans cette lettre , parce qu’ils étaient trop compliqués, ou d’une approximation insuffisante. Je suis parvenu depuis , comme on le verra , à diviser très promptement la circonférence en 240 parties , avec une exactitude géométrique , par le moyen du compas seul et de trois points pris hors de la même

circonférence. Chacune de ces parties est un degré et demi de la division en 36o°, usitée jusqu’ici. Je partage tout arc quelconque en deux parties , et cela géométriquement, par approximation.- Je divise la circonférence, avec trois points seulement, en degrés et quarts de degrés , sans erreur d’un sixième de seconde.

Avec ces mêmes points je la divise en minutes , avec erreur de moins d’une seconde. Je me suis flatté que les astronomes pouvaient être contens de cette précision , parce que je ne sache pas d’artiste , même parmi les plus célèbres j qui ait passé outre;

Cependant je ne croyais pas ëiicore avoir assez fait , si ma nouvelle théorie ne servait pas aussi à la nouvelle division du cercle.

On sait que les Français , heureux de posséder dans leur patrie les premiers géomètres de l’univers , ont enfin , d’après

leurs conseils , adopté pour tous les arts la seule division décimale tant souhaitée des savans.

Sans doute que cette division réussira avec difficulté dans les autres contrées , à cause des préjugés , et surtout de la force d'inertie; mais elle s’établira enfin d’une manière inébranlable partout où l’on aime les sciences , et où les intérêts du commerce sont bien entendus.

Une des divisions les plus difficiles à changer, était celle de la circonférence du cercle en 36o°, et la subdivision en 60 parties , employée par toutes les nations ; et cela , à cause des fatigans travaux qu’il fallait nécessairement entreprendre pour refaire les tables trigonométriques dans un nouveau système 5 x mais l’énergie d’une grande nation qui se régénère ne connaît point d’obsta*cles. Ayant déterminé 4 00 parties ou degrés dans la circonférence , le quart du cercle , qui est le fondement de la

Trigonométrie, se trouve divisé en 100 parties , chacune desquelles se subdivise en 100 autres, et ainsi de suite.

Les tables des sinus naturels et artificiels de ces divisions et subdivisions sont déjà calculées et imprimées. Mais pour que rien ne manque à la stabilité et à la certitude de la précision des nombres , on a entrepris en France de les faire imprimer en caractères soudés en plomb. On voit déjà de ces nouvelles tables exécutées d’après la méthode nouvelle et ingénieuse de Firrnin Didot , appelée stéréotype.

Une société de calculateurs très habiles en prépare encore d’autres plus étendues et avec un plus grand nombre de décimales , sous la direction du célèbre j DeProny. Toutes ces circonstances m’engagèrent à chercher une méthode, au moins d’approximation , pour diviser la circonférence en ces nouveaux degrés et parties de degrés. J’ai réussi , avec

trois points seulement et très peu d’oüvertures de compas , à obtenir cette nouvelle division décimale de la circonférence sans erreur d’une seconde.

Quand je n’eusse fait autre chose que ce que je viens d’indiquer , cela aurait suffi à la recommandation de l’usage du compas seul. Mais en avançant, j’ai trouvé qu’il n’y avait point de problème de Géométrie élémentaire qui ne puisse se résoudre avec ce seul instrument , c’est-à-dire en ce sens que le compas suffit pour trouver tous les points demandés par le problème, pour la position et la détermination des droites dont on a besoin. Ceci intéressait la théorie; j’ai voulu épuiser le sujet , donner tous les élémens pour tous les cas possibles, et démontrer qu’on peut trouver avec le compas seul tous les points qu’Euclide et les autres auteurs de Géométrie élémentaire , enseignent à trouver avec le secours de la règle et du compas réunis^

Quoique tous les problèmes élémentaires résolus avec le seul compas n aient pas une solution assez simple , j’ose dire pourtant que la plus grande partie des plus nécessaires sont résolus avec assez de brièveté et de simplicité, pour engager les praticiens à rejeter le secours de la règle, et à se servir du seul compas pour trouver les points fondamentaux.

Les moyens que je propose dans ce livre justifieront ce que j’avance. Je n’indiquerai point ici tous les problèmes semblables qui m’ont paru de quelque importance : en voici cependant quelquesuns.

Si l’on cherche avec le seul compas le centre d’un cercle, on le trouvera promptement et sans peine; on aura de même les troisièmes et les quatrièmes propor- . tionnelles, et par couséquent les moyennes proportionnelles.

On pourra aussi , avec le seul compas , construire des polygones réguliers ins-

crits ou circonscrits au cercle (i). Le seul compas suffira encore pour trouver les racines carrées des nombres , pour doubler , multiplier les surfaces des carres , des cercles et des autres figures semblables. On résoudra avec une exactitude géométrique tous ces problèmes, car leur nature les en rend susceptibles.

Ensuite , par approximation , on trouvera une longueur égale à la circonférence d’un cercle, ou un arc égal au rayon, ou un carré égal à un cercle, ou un cercle égal à un carré , ou une sphère égale à un cube , ou un cube égal à une sphère , ou un cube double , ou triple, ou quadruple d’un autre. On pourra résoudre tous ces problèmes en employant des sections d’arcs , ou en déterminant, toujours sans autre instrument que le compas , la longueur des

(i) Les ingénieurs militaires trouveront peut-être ici quelque cliose d’utile pour leurs travaux.

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côtés ou des rayons dont on a besoin pour les figures demandées.

Voilà, en peu de mots, le fond de la Géométrie du compas que je présente au public. Quant aux démonstrations , je me suis servi , autant que j’ai pu , de la Géométrie des anciens \ cela m’a paru plus conforme à la nature de mes problèmes , et plus court. Partout oü les procédés géométriques devenaient trop longs pour obtenir le résultat , j’ai employé le calcul ; j’ai donc en même temps recherché la brièveté, la clarté, l’élégance autant qu’il m’a été possible.

J’ai cité Euclide , ce grand maître en fait d’élémens. Lorsqu’il est question de proportions , les numéros des propositions qne je cite sont ceux de Tacquet, parce que son livre est plus répandu en Italie que l’ancien texte d’Euclide.

J’ai placé dans le onzième livre, en faveur des artistes qui ne voudront que s’amuser avec le compas, plusieurs pro-

blêmes récréatifs tirés de Pappus, d’ Ozanam j de Simpson et de plusieurs autres auteurs. Yoilà tout ce que j’avais à dire à mes lecteurs sur la Géométrie du compas. Elle est , quant à la construction de ses problèmes , la plus simple et la plus élémentaire qu’on puisse désirer , et je ne sache pas que cette matière ajt été traitée jusqu’ici par personne.