LIVRE QUATRIÈME. gi

(72) , ou eu l’ajoutant de l’autre côté ( 73) , ou en la plaçant sur CD de C vers D , si elle est plus grande ( 74) , suivant que l’exigeront les conditions du problème.

Cette solution n’a pas besoin de démonstration.

PROBLÈME

82. V enfier (fig. 3 1 ) si les points A, B , C sont en ligne droite.

Solution. Des centres A et C , et d’un rayon (AC, par exemple) pris arbitrairement, soient décrits deux arcs qui se coupent en D et E ; puis qu’on observe si DB=EB : si cela est, les trois points A, B, C sont en ligne droite ; sinon, ils u’y sont pas.

Démonstration. Si l’on a encore DB=EB, on aura l’angle DAB = EAB = - DAE

(8,ôV. i), car les deux trianglesDAB , ABE ont les côtés égaux chacun à chacun. Mais, par la même raison , dans les triangles DAC et EAC , les angles DAC, EAC sont égaux, et par conséquent chacun d’eux est égal à la moitié de l’angle DAE ; donc on aura DAB = DAC; d’où l’on voit que les trois points ABC sont en ligne droite.

Mais si la ligne DB est plus grande ou plus petite que E B, l’angle DAB sera ou plus grand ou plus petit que l’angle EAB (a5, liv. 1 ); il ne pourra donc pas être égal à l’angle DAC, puisqu il ne saurait être égal à la moitié de l’angle DAE : donc les trois points A, B, C ne pourront être en ligne droite.

PROBLÈME

83. Étant donnés trois points A, B, D (fig. 3a) , vérifier si la ligne DA est perpendiculaire à AB.

Solution. Soit doublée la ligne AB en BE (64) par le moyen du demi-cercle BPQE ; qu’on observe si l’on a D B = DE : si cela est, l’angle DAB est droit ; autrement il ne l’est pas.

Démonstration. La droite B A E étant le diamètre du cercle, fera avec DA deux angles dont la somme vaudra deux angles droits (i3,£V.i) . Déplus, dans les deux triangles DAE, DAB, qui ont les côtés AE, AB égaux et le côté AD commun , quand ou aura le côté DE.

égal au côté DB, l’angle DAE sera aussi égal à l’angle DAB (8, liv. i), et par conséquent ils seront tous deux droits. Mais quand DE sera plus grande ou plus petite que D B, l’angle