LITRE CINQUIÈME

PROBLÈME

89. Trouver (fig. 57) une troisième proportionnelle à deux distances Qp, MN, dont la première est plus petite que la moitié de la seconde.

Solution. Du centre p et du rayon MN soit décrit un arc indéfini BAS; du centre Q et du rayon Q p soit décrite la demi-circonférence p b Q' ( 64) ; du centre Q' et du rayon Q 'p soit décrit un arc indéfini ; si cet arc coupe l’arc B AS en deux points B et A , qu’on détermine la demi-circonférence BAS' (64), et qu’on ajoute en ligne droite à AS' (64) une droite égale S'S, la ligne A S sera la troisième proportionnelle cherchée.

Démonstration. On a (22)

AS'.pQ' = (Ap)‘ = (MN)‘.

Mais pQ' = 2 pQ; donc

aAS'.pQ = (MN)*;

ou bien AS.pQ = (MN)*, d’où (17, liv. 1) pQ : MN :: MN : AS.

90* Si cependant l’arc pcQ" (Jig. 38) décrit

§8 GÉOMÉTRIE DU COÛTAS.

du centre Q' et du rayon Q'p coupait l’arc BAS décrit du centre p et du rayon MN, déterminez la demi-circonférence pCQ*, et décrivez du centre Q* et du rayon Q "p un arc indéfini ; s’il coupe l’are BAS aux deux points A et B, déterminez la demi-circonférence BAS' (64) ; quadruplez AS' (65), et faites AS = 4AS'. Cette ligne sera la troisième proportionnelle cherchée.

Démonstration. En effet, on a (28) AS'.pQ"=(Apy = (MN)*,

4 AS' .pQ = (MN)* =s AS.pQ;

d’où ( 17 , Uv. 6 )

pQ : MN :: MN : AS.

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91. On procéderait de la même manière, quand même la distance Q "p serait plus grande que la moitié de MN ; c est-a-dirê on prendrait une distance double de cette ligne, et huit /fois plus grande que Q p, et l’on octuplerait la ligne AS' que l’on vient de déterminer. Cette distance octüple de AS' serait là troisième proportionnelle cherchée, et ainsi de suite.

La démonstration est la même que celle qui précède.